专题58 直线与圆锥曲线的位置关系之中点弦、焦点弦问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 14页

‎ 考纲要求:‎ 1． 掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．　‎ ‎2.了解圆锥曲线的简单应用．‎ ‎3.理解数形结合的思想．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 ‎(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：‎ ‎ |P1P2|＝＝·|x1－x2|＝ ＝ |y1－y2|‎ ‎(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．‎ ‎2．圆锥曲线的中点弦问题 遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．‎ 在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；‎ 在双曲线－＝1中，以P(x0， y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　；‎ 在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.‎ 在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0.‎ 应用举例:‎ 类型一　弦的中点问题 ‎【例1】【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【例2】【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】直线过点且与双曲线交于两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设， ‎ 则 两式作差，得： ‎ 即，又线段的中点恰好为点 ‎∴ ‎ 故选：D ‎ ‎【例3】已知椭圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设两点的坐标分别为，‎ 由得，‎ 整理得，可得。‎ 所以直线AB的方程为，即。选A。‎ 点评：弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：‎ ‎1．由中点弦确定直线方程．‎ ‎2．由中点弦确定曲线方程．‎ ‎3．由中点弦解决对称问题．‎ 类型二 直线与圆锥曲线位置关系之焦点弦 ‎【例4】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线交于， 两点，且，则双曲线离心率的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例5】已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．‎ 解析：直线l的方程为y＝x＋1，‎ 联立得y2－14y＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，‎ ‎∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.故填16.‎ ‎【例6】【2018届福建省福州市闽侯第六中学高三上学期期中】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证： .‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴与互余，‎ ‎∴‎ 点评：直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．‎ 类型三 中点弦问题 ‎【例7】已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）‎ A． B． C．2 D．-2‎ 解析：设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A. ‎ ‎【例8】以点为中点且被椭圆所截得的弦所在的直线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【例9】已知椭圆C: ()的右焦点为F(2,0),且过点P(2, ). 直线过点F且交椭圆C于A、B两点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程。‎ ‎【答案】（1）；（2） 或 ‎（2）当斜率不存在时,不符合题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－2),‎ A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0), ‎ 由得, ‎ 因为, 所以, ‎ 所以,, 因为线段AB的垂直平分线过点M(), ‎ 所以,即,所以, 解得, , ‎ 所以直线l的方程为 或 点评：(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．‎ ‎ （2）遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.‎ ‎ (3)对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为：‎ ‎①设点：即设出弦的两端点坐标． ‎ ‎②代入：即代入圆锥曲线方程．‎ ‎③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开．‎ ‎ ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、处理中点弦问题常用的求解方法 ‎（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．‎ ‎（2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．‎ 实战演练:‎ ‎1.【2017届安徽省淮北市第一中学高三最后一卷】已知抛物线，过点作抛物线的两条切线， 为切点，若直线经过抛物线的焦点， 的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 2.【2017届河北省衡水中学高考猜题卷（一）】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎3.已知AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　)‎ ‎ A．b2 B．Ab C．ac D．bc 解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.答案：D ‎4.过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　)‎ ‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 解析：记抛物线y2＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos60°＝＝＝＝，由此得＝3，选C.‎ ‎5.【2017届江西省南昌市三模】已知直线与抛物线： 及其准线分别交于两点， 为抛物线的焦点，若，则实数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎6．【2018届广西河池市高级中学高三上学期第三次月考】双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为AO分别是的中点，所以∥，故，在中， ,设，则，又，即，由得 ‎，所以， ，故选A.‎ ‎7．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 (　　)‎ ‎ A．＋＝1　　　　 B．＋＝1 ‎ ‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简变形得＝－，而＝＝，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又因为a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.故选D.‎ ‎8．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为 ．‎ ‎ 9．过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求椭圆的方程．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎（2）右焦点关于直线的对称点设为 则解得 ‎ 由点在椭圆上，得， ‎ 所求椭圆的方程的方程为. ‎ ‎10、如图，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为，点是轨迹为上不同于的两点，且满足 ‎，求证：的面积为定值．‎ ‎（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，‎ 则直线斜率必存在且不为0，又由已知．‎ 因为，所以．‎ ‎ ‎