【数学】2019届一轮复习人教A版概率与统计、算法、复数、推理与证明学案 20页

一、回扣教材，纠错例析 7．概率与统计、算法、复数、推理与证明 [要点回扣] 1．排列与组合 (1)解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列， 无序组合． (2)解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插 空法；定位问题优先法；多元问题分类法；综合问题先选后排法；至 多至少问题间接法． [对点专练 1] 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其 中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种． [答案] 70 2．二项式定理 注意区分二项式系数与项的系数． [对点专练 2] 设 x－ 2 x 6 的展开式中 x3 的系数为 A，二项式系数 为 B，则 A∶B＝________. [答案] 4∶1 3．条件概率 在 P(A|B)中，事件 A，B 发生有时间上的差异，B 先 A 后；在 P(AB) 中，事件 A，B 同时发生． [对点专练 3] 设 A、B 为两个事件，若事件 A 和 B 同时发生的概 率为 3 10 ，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为1 2 ，则事件 A 发生的概率为________． [答案] 3 5 4．分布列 求分布列，要检验概率的和是否为 1，如果不是，要重新检查修 正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式． [对点专练 4] (2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投 3 次，至少投 中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各 次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 [答案] A 5．正态分布 正态分布计算的依据是“3σ原则”． [对点专练 5] 已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，且 P(ξ<4) ＝0.8，则 P(0<ξ<2)等于( ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 [答案] C 6．抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个 个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样． [对点专练 6] 某社区现有 480 个住户，其中中等收入家庭 200 户、 低收入家庭 160 户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层 抽样调查中，高收入家庭被抽取了 6 户，则该社区本次抽取的总户数 为________． [答案] 24 7．统计图表知识 对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中 提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一 个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信 息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰 了． [对点专练 7] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 50 名学 生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图 如图所示．若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该班学生中 能报 A 专业的人数为________． [答案] 20 8．样本的数字特征 在频率分布直方图中，众数为频率分布直方图中最高矩形的底边 中点的横坐标，中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直 线与横轴交点的横坐标，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． [ 对 点 专 练 8] 已 知 一 个 样 本 中 的 数 据 为 0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中 位数分别是________． [答案] 0.15、0.145 9．回归直线方程 利用散点图判断一组数据的相关关系，回归直线y^＝b^x＋a^必须过 样本中心点( x ， y )． [对点专练 9] 某产品在某零售摊位上的零售价 x(单位：元)与每 天销售量 y(单位：个)的统计资料如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 由上表可得线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－4，据此模型预计零 售价定为 15 元时，每天的销售量为( ) A．48 个 B．49 个 C．50 个 D．51 个 [答案] B 10．独立性检验 如果 K2 的观测值 k 越大，说明“两个分类变量有关系”的这种 判断犯错误的可能性越小． [对点专练 10] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对 该班 50 名学生进行了问卷调查，得到了如下的 2×2 列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百 分数表示) 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d P(K2>k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [答案] 99.5 11．算法 (1)首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结 束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还 是不满足条件时结束． (2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其 中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条 件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点 值． [对点专练 11] 执行如图所示的程序框图，则输出 a 的值为 ________． [答案] 341 12．复数的概念 在复数中，对实数、纯虚数、模、共轭复数的考查是重点． [对点专练 12] 若复数 ＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实 数，则实数 m 的值为________． [答案] －2 13．复数的运算法则 复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用． [对点专练 13] 已知复数 ＝1－ 3i 3＋i ， z 是 的共轭复数，则| z | ＝________. [答案] 1 14．合情推理与演绎推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定 理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果 的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程 中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于 创新意识的培养． [对点专练 14] 图 1 有面积关系：S△PA′B′ S△PAB ＝PA′·PB′ PA·PB ，则图 2 有体积关系：________. [答案] VP－A′B′C′ VP－ABC ＝PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC 15．直接证明与间接证明 直接证明——综合法、分析法；间接证明——反证法；数学归纳 法． [对点专练 15] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个 不 大 于 60°” 时 ， 应 假 设 ___________________________________ _____________________________________． [答案] 三角形三个内角都大于 60° [易错盘点] 易错点 1 排列、组合混淆致误 【例 1】 如图所示，A，B，C，D 是海上的四个小岛，要建三座 桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？ [错解] 对于有一个中心的结构形式有 A44，对于四个岛依次相连 的形式有 A44，∴共有 2A44＝48(种)． [错因分析] 没有理清题目中的顺序关系，混淆排列与组合． [正解] 由题意可能有两种结构，如图： 第一种： ，第二种： 对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有 C 14种 方法．对于第二种结构，有 C24A 22种方法． ∴总共有 C14＋C24A22＝16(种)． 对于排列、组合的混合问题，可以通过分类，画图等搞清其中的 顺序． [对点专练 1] (1)4 名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录 用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( ) A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．60 种 (2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分 到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的 种数为________(用数字作答)． [解析] (1)每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一 家企业录用一名，有 C34A33＝24 种；一种是其中有一家企业录用 2 名 大学生，有 C24A33＝36 种，∴一共有 24＋36＝60 种，故选 D. (2)甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有 1 种；甲和丙或丁两人一组，有 2 种；甲、丙、丁一组，也是 1 种．然 后再把这两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A22＝8 种分法． [答案] (1)D (2)8 易错点 2 二项式系数与项的系数混淆致误 【例 2】 已知 x＋ 1 2 x n 的展开式中前三项的系数成等差数列， 则 n 的取值所构成的集合为________． [错解] 由已知条件可得 2C1n＝C0n＋C2n， 化简可得 n2－5n＋2＝0， 此方程无整数解，故没有满足条件的 n 值．故填∅. [错因分析] 错解中前三项的二项式系数成等差数列，没有搞清二 项展开式中二项式系数和系数的概念． [正解] 由题设，得 C0n＋1 4 ×C2n＝2×1 2 ×C1n， 即 n2－9n＋8＝0，解得 n＝8，n＝1(舍去)． 在解此类问题时，关键要抓住：在二项式(a＋b)n 的展开式中，其 通项Tr＋1＝Crnan－rbr是指展开式的第r＋1项，因此展开式中第1,2,3，…， n 项的二项式系数分别是 C0n，C1n，C2n，…，Cn－1n . [对点专练 2] (1) 2x＋ 1 3 x n 的展开式中各项系数之和为 729，则该展开式中 x2 项的系数为________． (2)已知 2x－ 1 x n 展开式的二项式系数之和为 64，则其展开式中 常数项是________． [解析] [答案] (1)160 (2)60 易错点 3 基本事件概念不清致误 【例 3】 先后抛掷三枚硬币，则出现“两个正面，一个反面” 的概率为________． [错解] 所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反； ∴出现“两正一反”的概率为1 4. [错因分析] 没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可 能的． [正解] 所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反， 正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反) 八种，而“两正一反”事件含三个基本事件．∴P＝3 8. 对于公式 P(A)＝m n(n 和 m 分别表示基本事件总数和事件 A 包含 的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立．解题 时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性． [对点专练 3] (1)从 1 到 10 这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另 两个数之和的概率是( ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 (2)甲、乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货 物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装 货物需要的时间都为 20 分钟，倘若甲、乙两车都在某 1 小时内到达 该货场(在此期间货场没有其他车辆)，则恰好有一辆车需要等待装货 物的概率是________． [解析] (1)其中一个数是另外两个数之和的情况有(1,2,3)，(1,3,4)， (1,4,5)，(1,5,6)，(1,6,7)，(1,7,8)，(1,8,9)，(1,9,10)，共 8 种，(2,3,5)， (2,4,6)，(2,5,7)，(2,6,8)，(2,7,9)，(2,8,10)，共 6 种，(3,4,7)，(3,5,8)， (3,6,9)，(3,7,10)，共 4 种，(4,5,9)，(4,6,10)，共 2 种，故所求概率 P ＝ 20 C310 ＝ 20 120 ＝1 6 ，故选 A. (2)设甲、乙货车到达的时间分别为 x，y 分钟，据题意基本事件 空间可表示为Ω＝ x，y| 0≤x≤60， 0≤y≤60 ，而事件“有一辆车等待 装货”可表示为 A＝ x，y| 0≤x≤60， 0≤y≤60， |x－y|≤20 ，如图据几何概型 可知其概率等于 P(A)＝ S 阴影 S 正方形 ＝ 60×60－2×1 2 ×40×40 60×60 ＝5 9. [答案] (1)A (2)5 9 易错点 4 抽样方法理解不清致误 【例 4】 某校高三年级有男生 500 人，女生 400 人，为了解该 年级学生的健康情况，从男生中任意抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行调查．这种抽样方法是( ) A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 [错解] A [错因分析] 没有理解三种随机抽样的概念，本质特点没有抓住． [正解] 显然总体差异明显，并且按比例进行抽样，是分层抽样， 选 D. 简单随机抽样常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体 中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用 于总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样．分 层抽样是高考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其 他两类抽样应用空间大． [对点专练 4] (1)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150,120,180,150 个 销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这 600 个销售点中抽取一 个容量为 100 的样本，记这项调查为①；在丙地区有 20 个大型销售 点，要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查 为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ) A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 (2)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将 他们随机编号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的 方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间[1,450]的人做问 卷 A，编号落入区间[451,750]的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽 到的人中，做问卷 C 的人数为________． [解析] (1)一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽 样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样 法．故选 B. (2)设第 n 组抽到的号码为 an，则 an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由 750<30n － 21≤960 ， 得 25.70，b^>0 B.a^>0，b^<0 C.a^<0，b^>0 D.a^<0，b^<0 [解析] (1)依题意得，x＝7×85－(78＋79＋80＋85＋96＋92)－80 ＝5；y＝83－80＝3，x＋y＝8，故选 B. (2)作出散点图如下： 观察图象可知，回归直线y^＝b^x＋a^的斜率b^<0， 当 x＝0 时，y^＝a^>0.故a^>0，b^<0，故选 B. [答案] (1)B (2)B 易错点 6 循环次数把握不准致误 【例 6】执行下边的程序框图，若 p＝0.8，则输出的 n＝________. [错解] 3 或 5 [错因分析] 陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致 错． [正解] n＝1，S＝0,0<0.8，S＝0＋1 2 ＝1 2 ， n＝2，1 2<0.8，S＝1 2 ＋ 1 22＝3 4 ， n＝3，3 4<0.8，S＝3 4 ＋ 1 23＝7 8 ， n＝4，7 8>0.8， 故输出 n＝4. 解答循环结构的程序(算法)框图，最好的方法是执行完整每一次 循环，防止执行程序不彻底，造成错误． [对点专练 6] (1)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是 4，则常数 a 的值为( ) A．4 B．2 C.1 2 D．－1 (1)题图 (2)题图 (2)执行如上图所示的程序框图，输出的 S 的值是________． [解析] (1)S 和 n 依次循环的结果如下： 1 1－a ，2；1－1 a ，4.所以 1 －1 a ＝2，a＝－1，故选 D. (2)由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cosπ 4 ，n＝2；S＝cosπ 4 ＋cos2π 4 ， n ＝ 3 ； … ； S ＝ cos π 4 ＋ cos 2π 4 ＋ cos 3π 4 ＋ … ＋ cos 2014π 4 ＝ 251 cosπ 4 ＋cos2π 4 ＋…＋cos8π 4 ＋cosπ 4 ＋cos2π 4 ＋…＋cos6π 4 ＝251×0＋ 2 2 ＋0＋ － 2 2 ＋(－1)＋ － 2 2 ＋0＝－1－ 2 2 ，n＝2015，输出 S. [答案] (1)D (2)－1－ 2 2 易错点 7 复数的概念不清致误 【例 7】 若 ＝sinθ－3 5 ＋ cosθ－4 5 i 是纯虚数，则 tan θ－π 4 的值 为( ) A．－7 B．7 C．－1 7 D．－7 或－1 7 [错解] 由 为纯虚数，知 sinθ－3 5 ＝0， 则 sinθ＝3 5 ，从而 cosθ＝±4 5. ∴tanθ＝±3 4.由 tan θ－π 4 ＝tanθ－1 tanθ＋1 ， 得 tan θ－π 4 ＝－1 7 或－7.故选 D. [错因分析] 混淆复数的有关概念，忽视虚部不为 0 的限制条件． [正解] 由 为纯虚数，知 sinθ－3 5 ＝0，且 cosθ－4 5 ≠0.则 sinθ＝3 5 ， 从而 cosθ＝－4 5.所以 tanθ＝sinθ cosθ ＝－3 4. ∴tan θ－π 4 ＝ tanθ－tanπ 4 1＋tanθ·tanπ 4 ＝ －3 4 －1 1－3 4 ＝－7，故选 A. 纯虚数是指实部为零且虚部不为零的虚数． [对点专练 7] (1)复数 1 2 ＋ 3 2 i 2(i 是虚数单位)的共轭复数为( ) A．－1 2 ＋ 3 2 i B.1 2 － 3 2 i C.1 2 ＋ 3 2 i D．－1 2 － 2 2 i (2)若复数 1＝4＋29i， 2＝6＋9i，其中 i 是虚数单位，则复数( 1 － 2)i 的实部为________． [解析] (1)由题意知， 1 2 ＋ 3 2 i 2＝1 4 －3 4 ＋ 3 2 i ＝－1 2 ＋ 3 2 i，其共轭复数为－1 2 － 3 2 i.故选 D. (2)( 1－ 2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i， 故( 1－ 2)i 的实部为－20. [答案] (1)D (2)－20