数学文·黑龙江省哈尔滨六中2017届高三上学期8月月考数学试卷（文科） Word版含解析 25页

‎2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）8月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合M={y|y=2x，x∈R}，N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N等于（　　）‎ A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．{2，4} D．{（2，4），（4，16）}‎ ‎2．给出如下四个命题：‎ ‎①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；‎ ‎③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；‎ ‎④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．‎ 其中不正确的命题的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3．若复数的实部与虚部相等，则实数b等于（　　）‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎4．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ），y=f（x）的部分图象如图，则=（　　）‎ A．2+ B． C． D．2﹣‎ ‎5．设f（x）=sin（x+），若在x∈[0，2π）上关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根x1，x2，则x1+x2的值为（　　）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎6．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（　　）‎ A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21‎ ‎7．已知函数f（x）=sinx﹣cosx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，2]，则b﹣a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设=， =， =x+y，则（x，y）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎10．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．[﹣1，] C．（0，] D．（1， +]‎ ‎11．已知函数f（x）=sin x+cos x，则下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①函数f（x）的最大值为2； ‎ ‎②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；‎ ‎③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称；‎ ‎④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；‎ ‎⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，则θ=﹣．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），b•f（a）的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（0，2） D．‎ ‎　‎ 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知2﹣=（﹣1，），=（1，）且，||=4，则与的夹角为 　　．‎ ‎14．在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=　　．‎ ‎15．对于函数f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f（x）的“下确界”，则函数f（x）=的下确界为　　．‎ ‎16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x ‎﹣‎ Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎﹣3‎ ‎0‎ ‎（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点最近的对称中心．‎ ‎19．已知函数f（x）=cos2+sincos﹣（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎20．设=（，m）（m＞0），=（sinx，cosx）且函数f（x）=•的最大值为2．‎ ‎（1）求m与函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）△ABC中，f（A﹣）+f（B﹣）=12sinAsinB，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=，c=，求△ABC的面积．‎ ‎21．某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为α的一条小路行进a百米后到达山脚B处，然后沿坡角为β的山路向上行进b百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D坡角为γ，然后继续向上行进c百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图，假设A、B、C、D四个点在同一竖直平面 ‎（1）求B，D两点的海拔落差h；‎ ‎（2）求AD的长．‎ ‎22．设函数f（x）=ex+ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．‎ ‎（1）求a，b值，并求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣9．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）8月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合M={y|y=2x，x∈R}，N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N等于（　　）‎ A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．{2，4} D．{（2，4），（4，16）}‎ ‎【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．‎ ‎【分析】求出指数函数、二次函数的值域，可求出M和N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}=（0，+∞），N={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}=[0，+∞），‎ ‎∴M∩N=（0，+∞）∩[0，+∞）=（0，+∞），‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．给出如下四个命题：‎ ‎①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；‎ ‎③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；‎ ‎④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．‎ 其中不正确的命题的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】命题的否定；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】‎ ‎①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．‎ ‎【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；‎ ‎②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；‎ ‎③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；‎ ‎④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．‎ 其中不正确 的命题的个数是：2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．若复数的实部与虚部相等，则实数b等于（　　）‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．‎ ‎【分析】直接利用复数的除法运算化简为复数的代数形式，然后由实部等于虚部列式求b得值．‎ ‎【解答】解： =．‎ 因为复数的实部与虚部相等，所以，解得b=3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ），y=f（x）的部分图象如图，则=（　　）‎ A．2+ B． C． D．2﹣‎ ‎【考点】正切函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，根据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知T=2×（）=，所以ω==2，‎ 函数的解析式为：f（x）=Atan（2x+φ），‎ 因为函数过（，0），可得：0=Atan（+φ），‎ 又|φ|＜，‎ 所以解得：φ=，‎ 又图象经过（0，1），可得：1=Atan，‎ 所以：A=1，‎ 所以：f（x）=tan（2x+），‎ 则f（）=tan（+）=tan=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．设f（x）=sin（x+），若在x∈[0，2π）上关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根x1，x2，则x1+x2的值为（　　）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的对称性；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】函数f（x）的图象和直线y=m有2个交点，且x1，x2是这两个交点的横坐标．分这两个交点关于直线x+=对称、这两个交点关于直线x+=对称两种情况分别求得x1+x2的值，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得x+∈[，），函数f（x）的图象和直线y=m有2个交点，‎ 且x1，x2是这两个交点的横坐标．‎ 若这两个交点关于直线x+=对称，则有x1+x2=；‎ 若这两个交点关于直线x+=对称，则有x1+x2=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（　　）‎ A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．‎ ‎【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，‎ ‎∴a8=a4+a4=﹣24，‎ ‎∴a10=a8+a2=﹣30，‎ 故选C ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=sinx﹣cosx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，2]，则b﹣a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】通过化简可得y=sin（x﹣）∈[﹣，1]，画出其图象，即得结论．‎ ‎【解答】解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），‎ ‎∵f（x）的值域为[﹣1，2]，‎ ‎∴y=sin（x﹣）∈[﹣，1]，其图象如图：‎ 其中A（，﹣），B（，1），C（，﹣），‎ ‎∴b﹣a的最小值为：﹣=，‎ b﹣a的最大值为：﹣=，‎ 即b﹣a的取值范围为：[，]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设=， =， =x+y，则（x，y）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据AD=2DB，AE=3EC，利用B、F、E三点共线和C、F、D三点共线分别表示出向量，根据平面向量基本定理可求出x、y的值．‎ ‎【解答】解：∵AD=2DB，AE=3EC ‎∴，‎ 同理向量还可以表示为，‎ 根据平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的 则对应系数相等可得解得，所以，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．‎ ‎【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R ‎∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2‎ ‎=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．‎ ‎∴f（x）是奇函数 ‎∵f（x）在（0，+∞）上是增函数 ‎∴f（x）在R上是增函数 a+b≥0可得a≥﹣b ‎∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）‎ ‎∴f（a）+f（b）≥0成立 若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知 a≥﹣b ‎∴a+b≥0成立 ‎∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．‎ ‎　‎ ‎10．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．[﹣1，] C．（0，] D．（1， +]‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】本题可以利用换元法，得到一个二次函数，再根据条件，求出新变量的取值范围，然后求出二次函数在区间上的值域，得到本题结论．‎ ‎【解答】解：设t=sinx+cosx，‎ 则t2=1+2sinxcosx，‎ ‎．‎ t=．‎ ‎∵x是三角形的最小内角，‎ ‎∴0＜x，‎ ‎∴，‎ ‎∴t∈（1，]．‎ ‎∵f（t）=在（1，]上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（t）∈（1，]．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=sin x+cos x，则下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①函数f（x）的最大值为2； ‎ ‎②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；‎ ‎③函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称；‎ ‎④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；‎ ‎⑤设函数g（x）=f（x）+2x，若g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，则θ=﹣．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】把函数利用两角和的正弦化为y=Asin（ωx+φ）的形式，求出最大值判断①；由f（）≠0判断②；把h（x）变形判断③；数形结合判断④，由已知条件求得θ值判断⑤．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin x+cos x=2sin（x+）．‎ ‎①函数f（x）的最大值为2，故①正确； ‎ ‎②∵f（）=2sin（）=2sin=1，故②错误；‎ ‎③∵h（x）=2sin（x﹣）=2sin（x﹣π+）=﹣2sin（x+），∴函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x﹣）的图象关于x轴对称，故③正确；‎ ‎④作出f（x）=2sin（x+）的图象如图，‎ 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当m=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，‎ 令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，‎ ‎∴此时x1=0，x2=，x3=2π，‎ ‎∴x1+x2+x3=0++2π=，故④正确；‎ ‎⑤函数g（x）=f（x）+2x=2sin（x+）+2x，由g（θ﹣1）+g（θ）+g（θ+1）=﹣2π，‎ 得2sin（θ﹣1+）+2θ﹣2+2sin（θ+）+2θ+2sin（θ+1+）+2θ+2==﹣2π．‎ ‎∴，则θ=﹣，故⑤正确．‎ ‎∴正确的命题为：①③④⑤．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），b•f（a）的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（0，2） D．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】作出函数f（x）的图象，利用a＞b≥0，若f（a）=f（b），确定a，b的取值范围，将b•f（a）转化为b•f（b）的形式，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出函数f（x）对应的图象如图：‎ ‎∵函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，‎ ‎∴由a＞b≥0时，f（a）=f（b），‎ 必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），‎ 由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），‎ f（a）∈[，2）．‎ ‎∴设y=b•f（a）=b•f（b）=b•（b+1）=b2+b=（b+）2﹣，‎ ‎∵b∈[，1），‎ ‎∴，‎ 即b•f（a）∈[，2）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知2﹣=（﹣1，），=（1，）且，||=4，则与的夹角为 　60°　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量的数量积的坐标形式的公式求出，利用向量数量积的运算律展开，将已知代入求出，再利用向量的数量积公式求出两向量夹角的余弦，求出夹角．‎ ‎【解答】解：设的夹角为θ ‎∵‎ ‎∴‎ 即 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴θ=60°‎ 故答案为60°‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=　3﹣　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A与C的度数，以及AB的长，利用正弦定理即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：∵AB=，A=45°，C=75°，sin75°=sin（45°+30°）=×+×=，‎ ‎∴由正弦定理得： =，即BC===3﹣．‎ 故答案为：3﹣‎ ‎　‎ ‎15．对于函数f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f（x）的“下确界”，则函数f（x）=的下确界为　0.5　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】利用判别式法求函数的下确界．‎ ‎【解答】解：设函数y=，则（y﹣1）x2+2yx+y﹣1=0．‎ 当y﹣1≠0时，△=4y2﹣4（y﹣1）（y﹣1）≥0，解得且y≠1．‎ 当y﹣1=0时，x=0成立，∴．∴函数的下确界为0.5．‎ 故答案为：0.5．‎ ‎　‎ ‎16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ‎⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ‎⇒2a﹣b2=c2﹣bc，‎ 又因为：a=2，‎ 所以：，‎ ‎△ABC面积，‎ 而b2+c2﹣a2=bc ‎⇒b2+c2﹣bc=a2‎ ‎⇒b2+c2﹣bc=4‎ ‎⇒bc≤4‎ 所以：，即△ABC面积的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；‎ ‎（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行，‎ 所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，‎ 所以tanA=，可得A=；‎ ‎（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，‎ ‎△ABC的面积为： =．‎ ‎　‎ ‎18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x ‎﹣‎ Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎﹣3‎ ‎0‎ ‎（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点最近的对称中心．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】（1）由f（x）的最大值得出A=3，把第1，3列数据代入ωx+φ即可得出ω，φ，从而得出f（x）的解析式；‎ ‎（2）根据函数平移规律得出g（x）的解析式，根据正弦函数的对称中心坐标得出g（x）的对称中心．‎ ‎【解答】解：（1）由表格可知f（x）的最大值为3，∴A=3，‎ 解方程组可得ω=2，φ=．‎ ‎∴f（x）=3sin（2x+）．‎ 数据补全如下表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x ‎﹣‎ Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎﹣3‎ ‎0‎ ‎（2）g（x）=f（x﹣）=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）．‎ 令2x﹣=kπ，解得x=+，k∈Z．‎ 令k=0得x=．‎ ‎∴y=g（x）的图象离原点最近的对称中心为（，0）．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=cos2+sincos﹣（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化成标准形式，然后利用周期公式求出ω的值，根据正弦函数的最值求出函数f（x）的最大值和最小值；根据正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos2+sin﹣‎ ‎=‎ ‎==sin（）．‎ 因为T=，ω＞0，所以ω=2．‎ 因为f（x）=sin（2x+），x∈R，‎ 所以．‎ 所以函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣1． ‎ ‎（Ⅱ）令，k∈Z，‎ 得2k，k∈Z，‎ 所以，k∈Z．‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为[，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎20．设=（，m）（m＞0），=（sinx，cosx）且函数f（x）=•的最大值为2．‎ ‎（1）求m与函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）△ABC中，f（A﹣）+f（B﹣）=12sinAsinB，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=，c=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】平面向量的综合题．‎ ‎【分析】（1）根据函数的最大值为2，求m与函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）利用，结合正弦定理，可得a+b=3ab．结合余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，变形得c2=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC即3a2b2﹣ab﹣2=0，求出ab，即可求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）…‎ 知，令，得.…‎ ‎（2）由（1）知时，．‎ 则，得…‎ 结合正弦定理得，‎ 即a+b=3ab．‎ 结合余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 变形得c2=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC即3a2b2﹣ab﹣2=0．…‎ 解得ab=1或ab=﹣（舍去），‎ 故．…‎ ‎　‎ ‎21．某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为α的一条小路行进a百米后到达山脚B处，然后沿坡角为β的山路向上行进b百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D坡角为γ，然后继续向上行进c百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图，假设A、B、C、D四个点在同一竖直平面 ‎（1）求B，D两点的海拔落差h；‎ ‎（2）求AD的长．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）分别过点C，D作CE⊥BE，DF⊥CF，垂足分别为E，F，解三角形可得，‎ ‎（2）根据余弦定理即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）分别过点C，D作CE⊥BE，DF⊥CF，垂足分别为E，F，‎ 在Rt△CBF和Rt△DCF中，CF=bsinβ，DF=csin γ ‎∴h=CF+DF=bsin β+csin γ．‎ ‎（2）：联结AC．在△ABC中，由余弦定理得AC2=a2+b2+2abcos（α+β），‎ 在△ACD中，由余弦定理得AD2=AC2+c2﹣2cACcos（π﹣γ+θ），‎ 所以AD=α．‎ ‎　‎ ‎22．设函数f（x）=ex+ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．‎ ‎（1）求a，b值，并求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣9．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求a，b值以及f（x）的单调区间；‎ ‎（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式．‎ ‎【解答】（1）解：f′（x）=ex+a，‎ 由已知，f′（0）=﹣1，f（0）=﹣1，‎ 故a=﹣2，b=﹣2，‎ f′（x）=ex﹣2，‎ 当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故f（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增；…‎ ‎（2）证明：设g（x）=f（x）﹣（x2﹣9）=ex﹣x2﹣2x+7，‎ g′（x）=ex﹣2x﹣2，‎ 因为g′（0）=﹣1＜0，g′（2）=e2﹣6＞0，0＜ln2＜2，‎ 所以g′（x）在[0，+∞）只有一个零点x0，且x0∈（0，2），=2x0+2，‎ 当x∈[0，x0）时，g′（x）＜0，‎ 当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，‎ 即g（x）在[0，x0）调递减，在（x0，+∞）时，单调递增，‎ 当x≥0时，g（x）≥g（x0）=﹣x02﹣2x0+7=9﹣x02＞0，‎ 即f（x）＞x2﹣9，…‎ ‎　‎ ‎2016年10月29日