河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020高二下学期第四次月考考试数学（理）试卷 10页

河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020‎ 高二下学期第四次月考考试数学（理）试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)‎ A.36 B.120 C.720 D.240‎ ‎2.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是(　　)‎ A.y=2-3x2 B.y=lnx C.y= D.y=sinx ‎3.用反证法证明命题:“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3 整除”时,假设应为(　　)‎ A.a,b都能被3整除 B.a,b都不能被3整除 C.a,b不都能被3整除 D.a不能被3整除 ‎4.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为(　　)‎ A.4 B.- C.2 D.- ‎5.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,从n=k到n=k+1时,等式左边应添加的式子是(　　)‎ A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.(k+1)‎ ‎6.cos2xdx=(　　)‎ A. B. C. D.- ‎7.把正整数按如图所示的规律排序,则从2 011到2 013‎ 的箭头方向依次为 ‎(　　)‎ ‎ ‎ ‎8.对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是(　　)‎ A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上 ‎9.当x=a时,函数y=ln(x+2)-x取到极大值b,则ab等于(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D. 2‎ ‎10.已知i为虚数单位,z为复数,下面叙述正确的是(　　)‎ A.z-为纯虚数 B.任何数的偶数次幂均为非负数 C.i+1的共轭复数为i-1 D.2+3i的虚部为3‎ ‎11.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围(　　)‎ A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)‎ ‎12.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,‎ f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)‎ A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)‎ C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)‎ 二:填空题(本大题共4小题每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13. 将A，B，C，D，E排成一排，要求在排列中，顺序为“ABC”或“CAB”(可以不相邻)，这样的排法有________种.‎ ‎14.设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.‎ ‎15.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是________.‎ ‎16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)设存在复数z同时满足下列条件:‎ ‎(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限;(2)z·+2iz=8+ai(a∈R).‎ 试求a的取值范围.‎ ‎18.(12分)已知函数f(x)=x3-x+2,其导函数为f′(x).‎ ‎(1)求f(x)在x=1处的切线l的方程.‎ ‎(2)求直线l与f′(x)图象围成的图形的面积.‎ ‎19.已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.‎ ‎(1)确定a的值.‎ ‎(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.‎ ‎20.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.‎ ‎(1)求出f(5).‎ ‎(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.‎ ‎(3)求+++…+的值.‎ ‎21.已知=40，设f(x)=.‎ ‎(1)求n的值.‎ ‎(2)f(x)的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可).‎ ‎(3)求f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可).‎ ‎22.(12分)设a∈R,函数f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx.‎ ‎(1)当a=1时,求f(x)的极值.‎ ‎(2)设g(x)=ex-x-1,若对于任意的x1∈(0,+∞),x2∈R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.‎ 答案 一、 选择题:‎ ‎1-5:CCBAB 6-10:ABAAD 11-12:CD 二、填空题 ‎13: 40 14.:f(2n)≥ 15:a≥3 16:-10,‎ 由(2)得,x2+y2+2i(x+yi)=8+ai,‎ 即x2+y2-2y+2xi=8+ai.‎ 由复数相等的定义得,‎ 由①得x2+(y-1)2=9,因为x<0,y>0,所以-3≤x<0,所以-6≤a<0.‎ ‎18.：解(1)f ′(x)=3x2-1,所以k=f′(1)=2,‎ 又f(1)=2,所以l:y-2=2(x-1),即:y=2x.‎ ‎(2)由⇒x1=-,x2=1,‎ 所以S=[2x-(3x2-1)]dx=-x3+x2+x|=.‎ ‎19. 解(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x.‎ 因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′(-)=3a·+2·(-)=-=0,‎ 解得a=.经检验满足题意.‎ ‎(2)由(1)知g(x)=(x3+x2)ex,所以 g′(x)=(x2+2x)ex+(x3+x2)ex ‎=(x3+x2+2x)ex ‎=x(x+1)(x+4)ex.‎ 令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.‎ 当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;‎ 当-40,故g(x)为增函数;‎ 当-10时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;‎ 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.‎ ‎20.解(1)因为f(1)=1,f(2)=1+4=5,f(3)=1+4+8=13,f(4)=1+4+8+12=25,‎ 所以f(5)=1+4+8+12+16=41.‎ ‎(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,‎ f(3)-f(2)=8=4×2,‎ f(4)-f(3)=12=4×3,‎ f(5)-f(4)=16=4×4,‎ 由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n,‎ 所以f(n)-f(n-1)=4(n-1),‎ f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),‎ f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),‎ ‎…‎ f(2)-f(1)=4×1,‎ 所以f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]‎ ‎=2(n-1)·n,所以f(n)=2n2-2n+1.‎ ‎(3)当n≥2时,= ‎=(-),‎ 所以+++…+=1+(1-+-+…+-)‎ ‎=1+(1-)=-.‎ ‎21. 解：(1)由已知=40，可得n(n-1)(n-2)(n-3)=40·，求得n=7.‎ ‎(2)f(x)=的展开式的通项公式为Tr+1=·(-1)r·，‎ 令7-为整数，可得r=0，3，6，故第1项、第4项、第7项为有理项.‎ ‎(3)由于f(x)的展开式中第r+1项的系数为·(-1)r，故当r=4时，即第5项的系数最大；当r=3时，即第4项的系数最小.‎ ‎22.解：(1)当a=1时,函数f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)==.‎ 令f′(x)=0得:x1=,x2=1.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:‎ x ‎(0,)‎ ‎(,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 因此,当x=时,f(x)有极大值,且f(x)极大值=--ln2,‎ 当x=1时,f(x)有极小值,且f(x)极小值=-2,‎ ‎(2)由g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.‎ 令g′(x)>0,解得x>0;令g′(x)<0,解得x<0.‎ 所以g(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,即g(x)最小值=g(0)=0.‎ 对于任意的x1∈(0,+∞),x2∈R,不等式f(x1)≤g(x2‎ ‎)恒成立,则有f(x1)≤g(0)即可.‎ 即不等式f(x)≤0对于任意x∈(0,+∞)恒成立.‎ f′(x)=.‎ ‎①当a=0时,f′(x)=,令f′(x)>0,解得01.‎ 所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,f(x)最大值=f(1)=-1<0,‎ 所以a=0符合题意.‎ ‎②当a<0时,f′(x)=,令f′(x)>0,解得01.‎ 所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1+∞)上是减函数,‎ 所以f(x)最大值=f(1)=-a-1≤0,‎ 得-1≤a,‎ 所以-1≤a<0符合题意.‎ ‎③当a>0时f′(x)=,f′(x)=0得x1=,x2=1,a>时,‎ ‎00,解得01;‎ 令f′(x)<0,解得