数学理卷·2018届云南省玉溪一中高三上学期第四次月考（2017 7页

玉溪一中 2018 届高三第四次月考试题 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本小题 12 小题，每小题 5 分，计 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，） 1.已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B 等于( ) A． {1} B． {1,2} C． {0,1,2,3} D． {－1,0,1,2,3} 2.设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( ) A． 充要条件 B． 充分而不必要条件 C． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 3.设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于( ) A． －3 B． －2 C． 2 D． 3 4.已知集合 A={1，2，3}，集合 B={4，5}，映射 f：A→B，且满足 1 对应的元素是 4，则这 样的映射有（ ） A． 2 个 B． 4 个 C． 8 个 D． 9 个 5.对于函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若存在实数 m 使得 f(m)<0 成立，则一定有( ) A．f(m－1)<0 且 f(m＋1)<0 B．f(m－1)<0 且 f(m＋1)>0 C．f(m－1)>0 且 f(m＋1)<0 D．f(m－1)>0 且 f(m＋1)>0 6.已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A． 1 B． 4 C． 1 或 4 D． 2 或 4 7．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 在 方向上的投影为( ) A． B． C． D． 8.若实数 满足 ，则 的最小值为( ) A． B． 2 C． D． 4 9.已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若 ，则 =（ ） A． B． C． D． 10.设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题，其中正确命 题的序号是( ) ①若 m ⊂ β，α⊥β，则 m⊥α； ②若α∥β，m ⊂ α，则 m∥β； ③若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则 m⊥β. A．①③ B．①② C．③④ D．②③ 11.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)>0， 且 g(－3)＝0，则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )． A．(－3，0)∪(3，＋∞) B． (－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D． (－∞，－3)∪(0，3) 12.已知函数 f（x）=|cosx|sinx，给出下列四个说法： ①函数 f（x）的周期为π； ②若|f（x1）|=|f（x2）|，则 x1=x2+kπ，k∈Z； ③f（x）在区间 上单调递增； ④f（x）的图象关于点 中心对称．其中正确说法的个数是（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 第Ⅱ卷[KS5UKS5UKS5U][KS5UKS5U] 本卷包括必考和选考题两部分，第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第 22 题—第 23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分） 13.二项式 的展开式中常数项为_______． 14.已知 ，则 的值是_______． 15.已知 满足不等式组 ，且 的最大值是最小值的 3 倍，则 ． 16．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ， 则 ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 70 分） 17.(本小题12分)在等差数列{ }中， ＝3， 其前 n 项和为 ，等比数列{ }的各项均为 正数， ，公比为 q，且 ， (1)求 与 ； (2)证明： 18.(本小题 12 分)如图，正方形 ，直角梯形 ，直角梯形 所在平面两两垂 直， ，且 ， . （1）求证： 四点共面； （2）求二面角 的余弦值. 19.(本小题12 分)某市教育部门在全市高中学生中随机抽取200 位学生参加社区服务的数据, 按时间段 , , , , （单位：小时）进行统计,其频率分布 直方图如图所示． （1）求抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数,并估计从全市高 中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率； （2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取 3 位学生,记 为 3 位学生中参加社区服务 时间不少于 90 小时的人数．试求随机变量 的分布列和数学期望 ． 20.(本题 12 分)已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在 上． (1)求 的方程； (2)直线 不过原点 且不平行于坐标轴，l 与 有两个交点 线段 的中点为 ，证 明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值． 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)． (1)当 a＝4 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求 a 的取值范围． 22．选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C：ρsin2 θ＝2acosθ(a＞0)，过点 P(－2，－4)的直线 l 的参数方程为 2(t 是参数)，直 线 l 与曲线 C 分别交于 M、N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值． 23．选修 4—5：不等式选讲 设函数 f(x)＝|x－a|＋x. (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的值域； (2)若 g(x)＝|x＋1|，求不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立时 a 的取值范围． 2018 届高三第 4 次月考答案(理数） 1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C . 7.A 8.C 9.D 10.D 11.D 12.C 13.60 14. 15. 16. 17.【答案】 (1)解 设数列{an}的公差为 d. 因为 S2 ，所以 6＋d . .........2 分 解得 q＝3 或 q＝－4(舍)，d＝3 .......4 分 故 an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1. ......5 分 (2)证明 因为 Sn＝ n(3＋3n) 2 ，所以 1 Sn＝ 2 n(3＋3n)＝ 2 3( 1 n－ 1 n＋1)． .......6 分 故 1 S1＋ 1 S2＋…＋ 1 Sn ＝ 2 3[(1－ 1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋( 1 3－ 1 4)＋…＋( 1 n－ 1 n＋1)]＝ 2 3(1－ 1 n＋1)． ............8 分 因为 n≥1，所以 0＜ 1 n＋1≤ 1 2，所以 1 2≤1－ 1 n＋1＜1， .......10 分 所以 ，即 ...........12 分 18．【答案】 （Ⅰ）证明：方法 1：如图，取 的中点 ，连接 ， ∵在正方形 中， ， ， 在直角梯形 中， ， ， ∴ ， ，即四边形 是平行四边形， ……………（2 分） ∴ ， ∵在直角梯形 中， 即四边形 是平行四边形（4 分） ∴ ， 由上得 ，即四边形 是平行四边形， ∴ 四点共面．……（6 分） 方法 2：由正方形 ，直角梯形 ，直角梯形 所在平面两两垂直， 易证： 两两垂直，建立如图所示的坐标系，则 ， ∵ ，…………（3 分） ∴ ，即四边形 是平行四边形， 故 四点共面．………（6 分） （Ⅱ）解：设平面 的法向量为 ， ∵ ， 则 令 ，则 ，…………（8 分） 设平面 的法向量为 ，且 ， 则 令 ，则 ，………（10 分） ∴设二面角 的平面角的大小为 ，则 ． …………（12 分） 19【答案】（Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为： 200×0.06×5=60（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为 200×0.02×5=20 （人），∴抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人， ∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率 p= = ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知从全市高中生中任意选取 1 人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的 概率为 ，由已知得随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3， 则 P（X=0）= = ，P（X=1）= = ， P（X=2）= = ，P（X=3）= = ， ∴随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∵X～B（3， ），∴E（X）=3× = ． 20.【答案】(1)由题意得 ＝ ， ＋ ＝1， 解得 a2＝8，b2＝4. 所以 C 的方程为 ＋ ＝1. (2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代入 ＋ ＝1 得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝ ＝ ，yM＝k·xM＋b＝ . 于是直线 OM 的斜率 kOM＝ ＝－ ， 即 kOM·k＝－ . 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． 21.【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当 a＝4 时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′ (x)＝lnx＋ －3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x ＋y－2＝0. (2)当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 等价于 lnx－ >0，设 g(x)＝lnx－ ，则 g′(x)＝ － ＝ ，g(1)＝0. (ⅰ)当 a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故 g′(x)>0，g(x)在(1， ＋∞)单调递增， 因此 g(x)>0； (ⅱ)当 a>2 时，令 g′(x)＝0 得， x1＝a－1－ ，x2＝a－1＋ .由 x2>1 和 x1x2＝1 得 x1<1，故当 x∈(1， x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此 g(x)<0，综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 22.【答案】解：(1)曲线 C 的普通方程为 C：y2＝2ax， 直线 l 的普通方程为 x－y－2＝0. 将直线的参数表达式代入抛物线得 1 2t2－(4＋a)t＋16＋4a＝0， ∴t1＋t2＝8＋2a， t1t2＝32＋8a. 又|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|， 由题意知，|t1－ t2|2＝|t1t2| ⇒ (t1＋t2)2＝5t1t2， 代入得 a＝1 或 a＝－4(舍)． 23.【答案】(1)由题意得，当 a＝2 时， ∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)的值域为[2，＋∞)． (2)由 g(x)＝|x＋1|，不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立，有|x＋1|＋|x－a|>2 恒成立，即(|x ＋1|＋|x－a|)min>2. 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|， ∴|1＋a|>2，解得 a>1 或 a<－3.