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  • 2021-07-01 发布

2018届二轮复习(文) 基本初等函数、函数与方程及函数的应用学案(全国通用)

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第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质;2.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理;3.能利用函数解决简单的实际问题.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(  )‎ A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 解析 令t=2x=3y=5z,‎ ‎∵x,y,z为正数,∴t>1.‎ 则x=log2t=,同理,y=,z=.‎ ‎∴2x-3y=-= ‎=>0,‎ ‎∴2x>3y.‎ 又∵2x-5z=-= ‎=<0,‎ ‎∴2x<5z,∴3y<2x<5z.‎ 答案 D ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(  )‎ A.- B. ‎ C. D.1‎ 解析 f(x)=(x-1)2+a(ex-1+e1-x)-1,令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+‎ e-t)-1.‎ ‎∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),‎ ‎∴函数g(t)为偶函数.‎ ‎∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.‎ 又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,‎ ‎∴2a-1=0,解得a=.‎ 答案 C ‎3.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.‎ 解析 一年的总运费与总存储费用之和为y=6×+4x=+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时,y有最小值240.‎ 答案 30‎ ‎4.(2015·湖北卷)函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为________.‎ 解析 f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:‎ 由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.‎ 答案 2‎ 考 点 整 合 ‎1.指数与对数式的七个运算公式 ‎(1)am·an=am+n;‎ ‎(2)(am)n=amn;‎ ‎(3)loga(MN)=logaM+logaN;‎ ‎(4)loga=logaM-logaN;‎ ‎(5)logaMn=nlogaM;‎ ‎(6)alogaN=N;‎ ‎(7)logaN=(注:a,b>0且a,b≠1,M>0,N>0).‎ ‎2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况,当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当00,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致是(  )‎ ‎(2)(2017·山东卷)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(  )‎ A.f(x)=2-x B.f(x)=x2‎ C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x 解析 (1)由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},‎ ‎∴a>1,则y=logax在(0,+∞)上是增函数,‎ 又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称.‎ 因此y=loga|x|的图象应大致为选项B.‎ ‎(2)若f(x)具有性质M,则[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.‎ 对于选项A,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合题意.‎ 经验证,选项B,C,D均不符合题意.‎ 答案 (1)B (2)A 探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.‎ ‎2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,忽视t>0的限制条件.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·长沙一模)函数y=ln |x|-x2的图象大致为(  )‎ ‎(2)(2017·成都冲刺)设函数f(x)=则满足f(f(t))=2f(t)的t的取值范围是________.[来源:学.科.网]‎ 解析 (1)令f(x)=y=ln|x|-x2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=ln|-x|-(-x)2=ln |x|-x2=f(x),故函数y=ln|x|-x2为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D;当x>0时,y=ln x-x2,则y′=-2x,当x∈时,y′=-2x>0,y=ln x-x2单调递增,排除C.A项满足.‎ ‎(2)若f(t)≥1,显然成立,则有或 解得t≥-.‎ 若f(t)<1,由f(f(t))=2f(t),可知f(t)=-1,‎ 所以t+=-1,得t=-3.‎ 综上,实数t的取值范围是.‎ 答案 (1)A (2) 热点二 函数的零点与方程 命题角度1 确定函数零点个数或其存在范围 ‎【例2-1】 (1)函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为(  )‎ A. B. C.(1,2) D.(2,3)‎ ‎(2)(2017·武汉二模)函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为________.‎ 解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.‎ f=log2-=-1-2=-3<0,‎ f(1)=log21-=0-1<0,‎ f(2)=log22-=1-=>0,‎ f(3)=log23->1-=>0,即f(1)·f(2)<0,‎ ‎∴函数f(x)=log2x-的零点在区间(1,2)内.‎ ‎(2)f(x)=4cos2sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x·-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,令f(x)=0,得sin 2x=|ln(x+1)|.‎ 在同一坐标系中作出两个函数y=sin 2x与函数y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示.‎ 观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.‎ 答案 (1)C (2)2‎ 探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的类型有:(1)函数零点值大致存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.‎ ‎2.判断函数零点个数的主要方法:‎ ‎(1)解方程f(x)=0,直接求零点;(2)利用零点存在定理;‎ ‎(3)数形结合法:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.‎ 命题角度2 根据函数的零点求参数的取值或范围 ‎【例2-2】 (2017·历城冲刺)已知函数f(x)=ln+x3,若函数y=f(x)+f(k-x2)有两个零点,则实数k的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析 因为f(x)=ln+x3在区间(-1,1)上单增,且是奇函数,令y=f(x)+‎ f(k-x2)=0,则f(x)=-f(k-x2)=f(x2-k);‎ 由函数y=f(x)+f(k-x2)有两个零点,等价于方程x2-x-k=0在区间(-1,1)上有两个根,‎ 令g(x)=x2-x-k,则满足解得-0时,由f(x)=ln x=0,得x=1.‎ 因为函数f(x)有两个不同的零点,‎ 则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,‎ 令f(x)=0得a=2x,‎ 因为0<2x≤20=1,所以0200,得1.12n>.‎ 两边取对数,得n·lg1.12>lg 2-lg 1.3,‎ ‎∴n>≈=,∴n≥4,‎ ‎∴从2019年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元.‎ 答案 B ‎(2)解 ①当x=0时,C=8,∴k=40,‎ ‎∴C(x)=(0≤x≤10),‎ ‎∴f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10).‎ ‎②由①得f(x)=2(3x+5)+-10.‎ 令3x+5=t,t∈[5,35],‎ 则y=2t+-10,∴y′=2-,‎ 当5≤t<20时,y′<0,y=2t+-10为减函数;‎ 当200,y=2t+-10为增函数.‎ ‎∴函数y=2t+-10在t=20时取得最小值,此时x=5,‎ 因此f(x)的最小值为70.‎ ‎∴隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.‎ 探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点 ‎(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.‎ ‎(2)要合理选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解.‎ ‎【训练3】 (2017·成都调研)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.‎ 解析 由已知条件,得192=eb,‎ 又48=e22k+b=eb·(e11k)2,‎ ‎∴e11k===,‎ 设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时,‎ 则t=e33k+b=192 e33k=192(e11k)3=192×=24.‎ 答案 24‎ ‎1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0,且a≠1)的取值影响,解题时一定要注意讨论,并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.‎ ‎2.(1)忽略概念致误:函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.‎ ‎(2)零点存在性定理注意两点:‎ ‎①满足条件的零点可能不唯一;②不满足条件时,也可能有零点.‎ ‎3.利用函数的零点求参数范围的主要方法:‎ ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.‎ ‎(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.‎ ‎4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法:‎ ‎(1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.‎ ‎(2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.‎ ‎(3)构建f(x)=x+(a>0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.‎ 一、选择题 ‎1.(2017·北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(  )‎ ‎(参考数据:lg 3≈0.48)‎ A.1033 B.1053 ‎ C.1073 D.1093‎ 解析 M≈3361,N≈1080,≈,‎ 则lg≈lg=lg 3361-lg1080=361lg 3-80≈93.∴≈1093.‎ 答案 D ‎2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(  )‎ A.,0 B.-2,0‎ C. D.0[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 解析 当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0.‎ 当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,‎ 又因为x>1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.‎ 答案 D ‎3.(2017·西安调研)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(  )‎ A.(-∞,2] B.[2,+∞)‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 解析 由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.‎ 答案 B ‎4.(2017·长郡中学二模)函数f(x)=ln x+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(  )‎ A. B. C.(1,e) D.(e,+∞)‎ 解析 函数f(x)=ln x+ex在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)最多只有一个零点.‎ 当x→0+时,f(x)→-∞;又f=ln+e=e-1>0,‎ ‎∴函数f(x)=ln x+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.‎ 答案 A ‎5.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为(  )‎ A.5 B.8 ‎ C.9 D.10‎ 解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,‎ ‎∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a,‎ 可得n=ln,∴f(t)=a·,‎ 因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,‎ f(k)=a·=a,即=,‎ ‎∴k=10,由题可知m=k-5=5.‎ 答案 A 二、填空题 ‎6.(2016·浙江卷)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=________,b=________.‎ 解析 设logba=t,则t>1,因为t+=,解得t=2,所以a=b2,因此ab=(b2)b=b2b=ba,∴a=2b,b2=2b,又b>1,解得b=2,a=4.‎ 答案 4 2‎ ‎7.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是________.‎ 解析 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),‎ 因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,只有一个实根,即2x2-x+1+λ=0只有一个实根,‎ 则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.‎ 答案 - ‎8.(2017·北京燕博园研究中心)函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).[来源:Zxxk.Com]‎ 当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1)且t1<-1,t2≥-1,当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综合当a≥-1时,函数g(x)=f[f(x)]-a有三个不同的零点.‎ 答案 [-1,+∞)‎ 三、解答题 ‎9.(2017·天津期末)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).‎ ‎(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;‎ ‎(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)∵f(x)=ex-,‎ ‎∴f′(x)=ex+,‎ ‎∴f′(x)>0对任意x∈R都成立,‎ ‎∴f(x)在R上是增函数.‎ 又∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),‎ ‎∴f(x)是奇函数.‎ ‎(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立,‎ ‎⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,‎ 又≥0,∴=0,∴t=-.‎ ‎∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.‎ ‎10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.‎ ‎(1)求出a,b的值;‎ ‎(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?‎ 解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,[来源:Zxxk.Com]‎ 即a+b=0;‎ 当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,故有a+blog3=1,整理得a+2b=1.‎ 解方程组得 ‎(2)由(1)知,v=-1+log3.‎ 所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,‎ 即-1+log3≥2,即log3≥3,解得Q≥270.‎ 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2‎ ‎ m/s,则其耗氧量至少要270个单位.‎ ‎11.(2017·山东卷改编)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,求正实数m的取值范围.‎ 解 y=(mx-1)2=m2,相当于y=x2向右平移个单位,再将函数值放大m2倍得到的;‎ y=+m相当于y=向上平移m个单位.‎ ‎①若0<m≤1,两函数的图象如图1所示,可知两函数在x∈[0,1]上有且只有1个交点,符合题意.‎ ‎②若m>1,两函数的大致图象如图2所示.‎ 为使两函数在x∈[0,1]上有且只有1个交点,只需(m-1)2≥1+m,得m≥3或m≤0(舍去).‎ 综上,正实数m的取值范围是m∈(0,1]∪[3,+∞).‎

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