山东省威海市2020届高三数学三模试题（Word版附答案） 12页

1 高三数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知集合 2 2 2{ | 1}, { | },A x x y B y y x     则 A B  A． 0,1 B． 0, C． 1,1 D． 0,1 2．已知复数   2 3ai i  在复平面内对应的点在直线 y x 上，则实数 a  A．-2 B．-1 C．1 D．2 3 若 2 log 0 0 1),2 1,( b b a b a a    且 则 A． 1, 1a b  B． 0 1, 1a b   C． 1,0 1a b   D． 0 1,0 1a b    4 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照 日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减 少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺， 一尺等于十寸)，则说法不正确的是 2 A 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C 立冬的晷长为一丈五寸 D 立春的晷长比立秋的晷长短 5 有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三 个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则 A 从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B 从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C 从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 D 从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签 6 已知向量  2,2 2 ,OP  将 →OP绕原点 O 逆时针旋转 45 到OP 的位置，则OP        1,3 . 3 1 .(3,1) . 1,3,A B C D  7.已知函数  f x 对任意 , ,Rx y  都有      2 ,f x y f x f y  且  1 1,f  则  0 1n i f i  A． 2 1n  B． 12 2 n  C． 11 2n D． 12 2n 8．已知正四棱柱 1 1 11 ,A BA D CC DB  设直线 1AB 与平面 1 1ACC A 所成的角为 ，直线 1CD 与直线 A1C1 所成 的角为β，则 . 2A   . 2B  .C   . 2D    二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 3 部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分. 9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温. 某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则 A．甲专业比乙专业的录取率高 B 乙专业比甲专业的录取率高 C 男生比女生的录取率高 D 女生比男生的录取率高 10．已知函数     sin 0,0 ,f x x         将  y f x 的图像上所有点向左平移 6  个单位，然 后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 2 ，得到函数  y g x 的图像．若  g x 为偶函数，且最小正周期为 2  ， 则  .A y f x 图美称  ,0 .12 B f x    对称 在(0, 5 12  )单调递增  . 2 xC f x g      在 50, 4      有且仅有 3 个解   5. ,12 4D g x       在 有仅有 3 个极大值点 11．已知抛物线  2 2 0y px p  上三点      1 1 2 2, , 1,2 , , ,A x y B C x y F 为抛物线的焦点，则 A．抛物线的准线方程为 1x   B. 0,FA FB FC     则| |,| |,| |FA FB FC    成等差数列 C.．若 A，F，C 三点共线，则 21 1y y   . | | 6,D AC 若 则 AC 的中点到 y 轴距离的最小值为 2 12．已知函数  f x 的定义域为  0, , 导函数为      , ln ,f x xf x f x x x    且 1 1f e e      ,则 4 1. 0A f e        .B f x 在 1x e  处取得极大值    .0 1 1 .C f D f x  在 0, 单调递增 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.   513. 2x y x y  的展开式中 2 4x y 的系数为________. 14．已知是平面α,β外的直线，给出下列三个论断，①∥α：②  ：③⊥β．以其中两个论断为条件，余 下的论断为结论，写出一个正确命题:________.(用序号表示) 15．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     过左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 P,Q 两点，以 P，Q 为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为 5 ,a 则双曲线的离心率为________ 16 我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建 设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好 有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为 27 米峡谷拐入宽为 8 米的峡谷．如图所示，位 于峡谷悬崖壁上两点 E，F 的连线恰好经过拐角内侧顶点 O(点 E，O，F 在同一水平面内)，设 EF 与较宽侧 峡谷悬崖壁所成角为θ，则 EF 的长为________ (用θ表示)米.要使输气管顺利通过拐角，其长度不能超过 ________米. (本题第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 5 17．(本小题满分 10 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为  , , , 3 cos sina b c a b C c B  . (Ⅰ)求角 B； (Ⅱ)若 7,sin 3sin ,b A C  求 BC 边上的高. 18．(本小题满分 12 分) 从条件①  2 1 ,nnS n a  ②  1 2 ,n n nS S a n  … ③ 20, 2n n nna a a S   中任选一个，补充到下面问 题中，并给出解答。 已知数列{ }na 的前 n 项和为 1, 1nS a  ，________.若 1 2, ,k ka a S  成等比数列，求 k 的值．(注：如果选择多 个条件分别解答，按第一个解答计分) 19．(本小题满分 12 分) 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供 的各种服务.2019 年 11 月 27 日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运 营系统中选出 300 名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为 13 15 ，服务水 平的满意率为 2 3 ，对业务水平和服务水平都满意的客户有 180 人. (Ⅰ)完成下面 2 2 列联表，并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关; 6 (Ⅱ)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取 2 名征求改进意见，用 X 表示对业 务水平不满意的人数，求 X 的分布列与期望； (Ⅲ)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为 5%， 只对其中一项不满意的客户流失率为 34%，对两项都不满意的客户流失率为 85%，从该运营系统中任选 4 名客户，则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少? 附：        2 2 ,n ad bcK n a b c da b c d a c b d          20．(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 1 1 1 1, 1,ABC A B C AB AC AA    M，N，P 分别为 1 1 1 1, ,AC AB BB 的中点，且 .AP MN 7 (Ⅰ)求证：MN∥平面 1 1B BCC ; (Ⅱ)求 ;BAC (Ⅲ)求二面角 1A PN M  的余弦值. 21．(本小题满分 12 分) 已知函数     .3 4 xf x x e  (Ⅰ)求证：当 0x  时  , y f x 的图像位于直线 4 0x y   上方; (Ⅱ)设函数      2 3 5 ,xh x f x x ae x     若曲线  y h x 在点 M 处的切线与 x 轴平行，且在点   ,N t h t 处的切线与直线 OM 平行(O 为坐标原点) 求证： 1 32 1.t a e     „ 22．(本小题满分 12 分) 已知  2, 3P 是椭圆 C： 2 2 2 2 (1 0)x y a ba b     上一点，以点 P 及椭圆的左、右焦点 1 2,F F 为顶点的三 角形面积为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程； (Ⅱ)过 2F 作斜率存在且互相垂直的直线 1 2,l l ,M 是与 C 两交点的中点，N 是 2l 与 C 两交点的中点，求 2MNF 面积的最大值. 8 9 10 11 12