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- 2021-07-01 发布
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【高考地位】
圆的方程是高考中的热点问题之一,解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理,求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解,在高考中通常是以易题出现,主要以选择题、填空题形式考查,其试题难度属中档题.
【方法点评】
类型一 求圆的方程
使用情景:确定一个圆的方程
解题模板:第一步 根据已知条件恰当设出圆的方程的形式;
第二步 结合题意列出方程求出圆的方程对应的参数;
第三步 得出结论.
例1 以为圆心,且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】.
【变式演练1】已知圆心,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:如下图所示,由于直径所对的圆周角是直角,所以圆恰好过原点,故半径为,所以圆的方程为,化简得.
考点:圆的方程.
【变式演练2】与圆同圆心,且过的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
考点:1、圆的一般式方程;2、圆的标准方程的.
【变式演练3】已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方
程为
A. B.
C. D.
【答案】B.
考点:圆的标准方程.
类型二 与圆有关的最值问题
使用情景:求与圆有关的最值问题
解题模板:第一步 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义进行分析 ;
第二步 运用数学结合及转化的数学思想进行求解;
第三步 得出结论.
例2 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. 求:(1)的最大值和最小值;
(2) 的最小值;(3)的最大值和最小值.
【答案】(1);(2);(3).
【点评】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题,充分体现了数形结合以及转化的数学思想,其中以下几类转化极为常见,要注意熟记:(1)形如m=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.
【变式演练4】已知圆:,圆:,点、分别是圆、圆上的动点,为轴上的动点,则的最大值是( )
A. B.9 C.7 D.
【答案】B
【解析】
试题分析:圆的圆心,半径为,圆的圆心,半径是.要使最大,需最大,且最小,最大值为的最小值为,故最大值是;关于轴的对称点,,故 的最大值为 ,故选:B.
考点:圆与圆的位置关系及其判定.
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径,要使最大,需最大,且最小,最大值为的最小值为,故最大值是,再利用对称性,求出所求式子的最大值.
【变式演练5】已知圆和两点,若圆上存在点,使得,则的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】D
【解析】
试题分析:由得点在圆上,因此由两圆有交点得,即的最小值为选D.
考点:两圆位置关系
【变式演练6】如果圆上有且仅有两个点到原点的距离为2,那么实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
类型三 与圆有关的轨迹问题
使用情景:与圆有关的轨迹问题
解题模板:第一步 结合题意恰当的选择求圆有关的轨迹问题的方法如直接法、定义法、几何法和代入法
等;
第二步 得出结论.
例3 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【变式演练7动点与定点的连线的斜率之积为,则点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
考点:直接法求轨迹.
【变式演练8】点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:设中点坐标为,那么圆上一点设为,满足,,根据条件,代入后得到,化简为:,故选A.
考点:相关点法求轨迹方程
【高考再现】
1. 【2017天津,文12】设抛物线的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为 .
【答案】
【解析】
试题分析:设圆心坐标为,则,焦点,
,,,由于圆与轴得正半轴相切,则取,所求圆得圆心为,半径为1,所求圆的方程为
.
【考点】1.抛物线的方程;2.圆的方程.
【名师点睛】本题设计比较巧妙,考查了圆,抛物线的方程,同时还考查了向量数量积的坐标表示,本题只有一个难点,就是,会不会用向量的坐标表示,根据图象,可设圆心为,那么方程就是,若能用向量的坐标表示角,即可求得,问题也就迎刃而解了.
2.【2016高考山东文数】已知圆M:截直线所得线段的长度是,则圆M与圆N:的位置关系是( )
(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离
【答案】B
【解析】
考点:1.直线与圆的位置关系;2.圆与圆的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题,是高考常考知识内容.本题综合性较强,具有“无图考图”的显著特点,解答此类问题,注重“圆的特征直角三角形”是关键,本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
3.【2016高考北京文数】圆的圆心到直线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.2
【答案】C
【解析】
试题分析:圆心坐标为,由点到直线的距离公式可知,故选C.
考点:直线与圆的位置关系
【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易,对于知求,很方便.
4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线:与圆交于两点,过分别
作的垂线与轴交于两点,则_____________.
【答案】4
5. 【2016高考浙江文数】已知,方程表示圆,则圆心坐标是_____,半径是______.
【答案】;5.
【解析】
试题分析:由题意,,时方程为,即,圆心为,半径为5,时方程为,不表示圆.
考点:圆的标准方程.
【易错点睛】由方程表示圆可得的方程,解得的值,一定要注意检验的值是否符合题意,否则很容易出现错误.
6. 【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点在圆C上,且圆心到直线
的距离为,则圆C的方程为__________.
【答案】
考点:直线与圆位置关系
【名师点睛】求圆的方程有两种方法:
(1)代数法:即用“待定系数法”求圆的方程.①若已知条件与圆的圆心和半径有关,则设圆的标准方程,列出关于a,b,r的方程组求解.②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择圆的一般方程,列出关于D,E,F的方程组求解.
(2)几何法:通过研究圆的性质,直线和圆的关系等求出圆心、半径,进而写出圆的标准方程.
7. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为 .
【答案】
考点:直线与圆
【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系:在求圆的方程时常常用到.
【反馈练习】
1.【2018重庆市第一中学模拟】若圆有且仅有三个点到直线的距离为1,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆的圆心为,半径,由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为,故圆心到直线的距离为,即,解得.
2.【2018重庆第一中学模拟】直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
【答案】A
【解析】圆的圆心为 半径为3,直线恒过点A,而,所以点A在圆的内部,所以直线与圆相交.
故选A
3. 【2018河北衡水第一中学模拟】圆与圆的公切线的条数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
4.【2018四川(大教育联盟)】若无论实数取何值时,直线与圆都相交,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵x2+y2﹣2x﹣2y+b=0表示圆,∴>0,即b<2.
∵直线ax+y+a+1=0过定点(﹣1,﹣1).
∴点(﹣1,﹣1)在圆x2+y2﹣2x﹣2y+b=0内部,∴6+b<0,解得b<﹣6.
∴b的范围是(﹣∞,﹣6).故选C.
5.【2018吉林舒兰第一高级中模拟】直线与圆相切,则实数等于
( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】圆的方程(x-1)2+y2=3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径,所以或
故选D
6.【2018海南海口市第一中学模拟】设直线与圆相交于A、B两点,若,则圆的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
7.【2018重庆市第一中学模拟2】在平面直角坐标系中,点,直线: 与直线: 的交点为圆的圆心,设圆的半径为1.
(1)过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)过点作斜率为的直线交圆于, 两点,求弦的长.
8.【2018黑龙江佳木斯市第一中学模拟】圆经过、两点,但圆不过原点,且它在轴上截得的弦长等于6,求圆的方程.
【解析】线段的中垂线的方程: ,
设,
∴解得(舍)或.
9.已知圆过两点, ,且圆心在直线上.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)直线过点且与圆有两个不同的交点, ,若直线的斜率大于0,求的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在直线使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(I)MN的垂直平分线方程为:x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C(1,0)
R2=|CM|2=(﹣3﹣1)2+(3﹣0)2=25
∴圆C的标准方程为:(x﹣1)2+y2=25
(II)设直线的方程为:y﹣5=k(x+2)即kx﹣y+2k+5=0,设C到直线l的距离为d,
则d=
由题意:d<5 即:8k2﹣15k>0
∴k<0或k>
又因为k>0
∴k的取值范围是(,+∞)
(III)设符合条件的直线存在,则AB的垂直平分线方程为:y+1=﹣(x﹣3)即:x+ky+k﹣3=0
∵弦的垂直平分线过圆心(1,0)∴k﹣2=0 即k=2
∵k=2>
故符合条件的直线存在,l的方程:x+2y﹣1=0.
10.【2018陕西黄陵中学模拟】已知圆x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0.
(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.
解得a=或a= (舍去).
综上所述,a=.
11.已知点在圆上,点在圆上,则的最小值是__________.
【答案】
考点:1、圆的方程及圆的几何性质;2、两点间的距离公式及最值问题.
12. 已知圆与直线相切.
(1)若直线与圆交于两点,求;
(2)设圆与轴的负半轴的交点为,过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点,且,试证明直线恒过一定点,并求出该定点的坐标.
【解析】解:(1)由题意知,圆心到直线的距离,
所以圆.
又圆心到直线的距离,
所以.
(2)易知,设,则直线,
13. 【2018吉林舒兰市第一高级中学模拟2】已知圆心为的圆经过、两点,且圆心在直线上.
(1)求圆心为的圆的方程;
(2)若直线与圆总有公共点,求实数的取值范围.
【解析】(1)由于的中点为, ,
则线段的垂直平分线方程为,