高二数学人教A版选修4-5 第三讲柯西不等式与排序不等式复习导学案x 4页

第三讲柯西不等式与排序不等式复习 一、知识梳理 二、题型、技巧归纳 题型一、利用柯西不等式证明简单不等式 柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．‎ 例1已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥.‎ 题型二、排序原理在不等式证明中的应用 应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．‎ 例2已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.‎ 题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值 有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．‎ 例3　设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值.‎ 三、随堂检测 ‎1．已知关于x的不等式|x＋a|0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b＋c的值；‎ ‎(2)求a2＋b2＋c2的最小值．‎ ‎3．已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是(　　)‎ A．2　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　 D．4‎ ‎4．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)‎ A．2 B. C．6 D．12‎ ‎5．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)‎ A．第9项 B．第8项和第9项 C．第10项 D．第9项和第10项 参考答案 ‎1.【解】　(1)由|x＋a|0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，‎ 所以f(x)的最小值为a＋b＋c.‎ 又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得 (4＋9＋1)≥‎ 2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.‎ 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.‎ ‎3.【解析】　∵4＝lg x＋lg y≥2，‎ ‎∴lg x·lg y≤4.‎ ‎【答案】　D ‎4.【解析】　(＋)2‎ ‎＝(1×＋1×)2‎ ‎≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)‎ ‎＝2[4(a＋b)＋2]‎ ‎＝2×(4×1＋2)＝12，‎ 当且仅当＝，‎ 即a＝b＝时等号成立．故选D.‎ ‎【答案】　D ‎5.【解析】　an＝＝≤＝，‎ 当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．‎ 又n∈N＋，检验可知选D.‎ ‎【答案】　D