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  • 2021-07-01 发布

高中数学选修2-3课件1_1_3

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1.1.3 分类计数原理 与 分步计数原理(三) 一、复习回顾 : 两个计数原理的内容是什么 ? 解决两个计数原理问题需要注意什么问题 ? 有哪些技巧 ? 练习: 三个比赛项目,六人报名参加。 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 2)每项1人,且每人至多参加一项,有多少种不同的方法? 3)每项1人,每人参加的项数不限,有多少种不同的方法? 例 1 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 , (1) 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数 ? (2) 可以组成多少个各位数字不重复的小于 1000 的自然数 ? (3) 可以组成多少个大于 3000, 小于 5421 且各位数字不允许重复的四位数 ? 升华发展 一、排数字问题 1 、将数字 1,2,3,4, 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里 , 每格填一个数字 , 则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有 _____ 种 引申 : 1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只有1种填法。 所以共有 3*3*1=9 种不同的方法。 二、映射个数问题 : 例 2 设 A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z}, 从 A 到 B 共有多少种不同的映射 ? 三、染色问题 : 例 3 有 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色 , 要求在 ①② ③ ④ 四个区域中相邻 ( 有公共边界 ) 区域中不用同一种颜色 . (1) 若 n=6, 为 (1) 着色时共有多少种方法 ? (2) 若为 (2) 着色时共有 120 种不同方法 , 求 n ① ③ ①  ④ ③ ④ ② ② (1) (2) 2、如图 , 要给地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有多少种? 解 : 按地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域依次分四步完成 , 第一步 , m 1 = 3 种 , 第二步 , m 2 = 2 种 , 第三步 , m 3 = 1 种 , 第四步 , m 4 = 1 种 , 所以根据乘法原理 , 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 2、如图 , 要给地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有多少种? 若用 2 色、 4 色、 5 色等 , 结果又怎样呢? 答 : 它们的涂色方案种数分别是 0 、 4×3×2×2 = 48 、 5×4×3×3 = 180 种等。 思考: 3 . 如图 , 用 5 种不同颜色给图中的 A 、 B 、 C 、 D 四个区域涂色 , 规定一个区域 只涂一种颜色 , 相邻区域必须涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有 种。 A B C D 分析: 如图, A 、 B 、 C 三个区域两两相邻,  A 与 D 不相邻,因此 A 、 B 、 C 三个区域的颜色两两不同, A 、 D 两个区域可以同色,也可以不同色,但 D 与 B 、 C 不同色。由此可见我们需根据 A 与 D 同色与不同色分成两大类。 解: 先分成两类:第一类, D 与 A 不同色,可分成四步完成。 第一步涂 A 有 5 种方法,第二步涂 B 有 4 种方法;第三步涂 C  有 3 种方法;第四步涂 D 有 2 种方法。根据分步计数原理,    共有 5 ×4×3×2 = 120 种方法。         根据分类计数原理,共有 12 0+60 = 180 种方法。    第二类, A 、 D 同色,分三步完成, 第一步涂 A 和 D 有 5 种方法,第二步涂 B 有 4 种方法;第三步涂 C 有 3 种方法。根据分步计数原理,共有 5 ×4×3 = 60 种方法。 4、某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如右图)现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ______ 种 . (以数字作答) ( 1 )②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有    N 1 =4×3×2×2×1=48 种; 所以,共有 N = N 1 + N 2 + N 3 =48+48+24=120 种 . ( 2 ) ③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有        N 2 =4×3×2×2×1=48 种; ( 3 ) ②与④且③与⑥同色,则共 N 3 =4×3×2×1=24 种 解法一:从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花,又从图形看   知必有 2 组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求 6 、将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有      种(以数字作答) 42 5 、如图,是 5 个相同的正方形,用红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色涂这些正方形,使每个正方形涂一种颜色,且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用,那么共有多少种涂色方法? 四、子集问题 规律: n 元集合 的不同子集有个 。 例: 集合 A={a,b,c,d,e}, 它的子集个数为 ,真子集个数为 ,非空子集个数为 ,非空真子集个数为 。 五、综合问题 : 例 4 若直线方程 ax+by=0 中的 a,b 可以从 0,1,2,3,4 这五个数字中任取两个不同的数字 , 则方程所表示的不同的直线共有多少条 ? 2、 75600 有多少个正约数 ? 有多少个奇约数 ? 解 : 由于 75600=2 4 ×3 3 ×5 2 ×7 75600 的每个约数都可以写成 的形式 , 其中     ,     ,     ,   于是 , 要确定 75600 的一个约数 , 可分四步完成 , 即 i,j,k,l 分别在各自的范围内任取一个值 , 这样 i 有 5 种取法 ,j 有 4 种取法 ,k 有 3 种取法 ,l 有 2 种取法 , 根据分步计数原理得约数的个数为 5×4×3×2=120 个 . 解 : 从总体上看 , 如 , 蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C 1 有三类方法 , 从局部上看每类又需两步完成 , 所以 , 第一类 , m 1 = 1×2 = 2 条 第二类 , m 2 = 1×2 = 2 条 第三类 , m 3 = 1×2 = 2 条 所以 , 根据加法原理 , 从顶点 A 到顶点 C 1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。 3 . 一蚂蚁沿着长方体的棱 , 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条? 4 、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有( )对 A.12 B.24 C.36 D.48 B 5. 如图 , 从甲地到乙地有 2 条路可通 , 从乙地到丙地有 3 条路可通 ; 从甲地到丁地有 4 条路可通 , 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 甲地 乙地 丙地 丁地 解 : 从总体上看 , 由甲到丙有两类不同的走法 , 第一类 , 由甲经乙去丙 , 又需分两步 , 所以 m 1 = 2×3 = 6 种不同的走法 ; 第二类 , 由甲经丁去丙 , 也需分两步 , 所以 m 2 = 4×2 = 8 种不同的走法 ; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。

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