【数学】2018届一轮复习人教A版坐标系与参数方程学案 5页

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　坐标系与参数方程[学生用书P220]‎ 年份 卷别 具体考查内容及命题位置 ‎2016‎ 甲卷 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系·T23‎ 乙卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23‎ 丙卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用·T23‎ Ⅱ卷 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23‎ ‎2014‎ Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、三角恒等变换·T23‎ Ⅱ卷 极坐标方程与参数方程的互化、参数方程的几何意义·T23‎ ‎[命题分析]‎ ‎1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．‎ ‎2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．‎ ‎　　题示 参数　　‎ 真题呈现 考题溯源 题示对比 ‎(2016·高考全国卷丙，T23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎1.(选修44 P15习题1.3 T5)已知直线的极坐标方程为ρsin＝，求点A到这条直线的距离．‎ ‎2．(选修44 P26习题2.1 T4(4))把下列参数方程化为普通方程，并说明它们表示什么曲线 ‎(4)(φ为参数)‎ ‎3．(选修44 P28例1)在椭圆＋＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小，并求出最小距离.‎ 题材评说 ‎(1)考题源于教材，将教材中三个重点问题和谐相处，命制出精妙的高考试题，‎ 堪称教材知识重组的典型，可谓佳配天成 ‎(2)教材中三个典型的问题是坐标系与参数方程的三个典型代表，也是试题命制的导向，以之为载体还可以命出很多优美和谐的数学试题 ‎1．(选修44 P8习题1.1 T5，P15习题T5改编)圆C：x2＋y2＝1经过变换得到曲线C1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为ρcos＝.‎ ‎(1)写出C1的参数方程和l的普通方程．‎ ‎(2)设点M(1，0)，直线l与曲线C1交于A、B两点，求|MA|·|MB|与|AB|.‎ ‎[解] (1)由已知得＋＝1.‎ 即＋＝1，‎ 即C1：＋＝1.‎ 即C1的参数方程为(α为参数)．‎ 由ρcos＝得 ρcos θ －ρsin θ＝.‎ 则l的普通方程为x－y－1＝0.‎ ‎(2)点M(1，0)在直线l：x－y－1＝0上，直线l的倾斜角为.‎ 所以l的参数方程为(t为参数)．‎ 代入C1：＋＝1得 ‎5t2＋4t－12＝0，‎ 所以t1t2＝－，t1＋t2＝－，‎ 所以|MA|·|MB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝.‎ ‎|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 所以|MA|·|MB|＝，|AB|＝.‎ ‎2．(选修44 P36例1改编)已知直线l的参数方程为(t为参数，α为l的倾斜角)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)写出l的普通方程与C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的极坐标为(1，0)，直线l与C相交于A、B，求＋的值．‎ ‎[解] (1)l的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，C的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)点M的极坐标为(1，0)，即M的直角坐标为(1cos 0，1sin 0)＝(1，0)，显然M在l上．‎ 将(t为参数)，代入y2＝4x得，‎ ‎(sin2α)t2－(4cos α)t－4＝0.‎ Δ＝16>0.‎ 所以t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ 所以＋＝ ‎＝ ‎＝＝1.‎ 所以＋＝1.‎ ‎3．(选修44 P15习题1.3 T4(4)，P37例3改编)曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ，过点M(1，0)的直线l的参数方程为(t为参数，α为直线l的倾斜角)，直线l与曲线C相交于A、B两点．‎ ‎(1)求证：|MA|·|MB|为定值；‎ ‎(2)D是曲线C上一点，当α＝45°时，求△DAB面积的最大值．‎ ‎[解] (1)证明：C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋4y＝0.①‎ 将直线l：(t为参数)代入①得 t2＋(4sin α)t－1＝0.②‎ 所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝|－1|＝1.‎ 即|MA|·|MB|为定值1.‎ ‎(2)当α＝45°时，②式即为 t2＋2t－1＝0，‎ t1＋t2＝－2，t1t2＝－1，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝＝2.‎ 由①得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，‎ 所以曲线C的参数方程为 (r为参数)．‎ 可设D点的坐标为(1＋cos r，－2＋sin r)，直线l的普通方程为x－y－1＝0，D到l的距离 d＝ ‎＝，‎ 所以dmax＝＋，‎ 所以△DAB面积的最大值为Smax＝|AB|·dmax＝×2(＋)‎ ‎＝＋.‎ ‎4．(选修44 P37例2改编)过点M(2，1)的直线l与曲线C：ρ2(5－3cos 2θ)＝32相交于A、B两点．‎ ‎(1)若直线l的倾斜角为α，写出l的参数方程，并将曲线C的方程化直角坐标方程，并说明曲线类型；‎ ‎(2)若M是AB的中点，求直线l的方程与|AB|.‎ ‎[解] (1)l的参数方程为(t为参数)，①‎ 由ρ2(5－3cos 2θ)＝32得ρ2(2cos2θ＋8sin2θ)＝32.‎ 则曲线C的直角坐标方程为 ＋＝1.②‎ 曲线为椭圆．‎ ‎(2)将①代入②化简得，‎ ‎(3sin2α＋1)t2＋4(cos α＋2sin α)t－8＝0.③‎ 由于M(2，1)在椭圆内，且M是AB的中点，‎ 所以t1＋t2＝－＝0，‎ 而cos α＋2sin α＝0，‎ 所以tan α＝－.‎ 即直线l的方程为y－1＝－(x－2)，‎ 即x＋2y－4＝0.‎ 当cos α＋2sin α＝0时，‎ sin2α＝.‎ 则③式为t2－5＝0，所以t1＝，t2＝－.‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝2.‎ ‎5．(选修44 P28例1改编)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为ρcos θ＋2ρsin θ＋3＝0‎ ‎，ρ2＝.‎ ‎(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若P是直线l上的动点，Q是椭圆C上的动点，求|PQ|的最小值．并求此时Q点的坐标．‎ ‎[解] (1)ρcos θ＋2ρsin θ＋3＝0⇒x＋2y＋3＝0，‎ 即直线l的直角坐标方程为x＋2y＋3＝0.‎ ρ2＝⇒ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4⇒x2＋4y2＝4，‎ 即椭圆C的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为椭圆C：＋y2＝1的参数方程为(α为参数)，所以可设Q(2cos α，sin α)．‎ 因此点Q到直线l的距离 d＝ ‎＝，‎ 所以当α＝2kπ＋，k∈Z时，d取得最小值，‎ 所以|PQ|的最小值为.‎ 此时点Q的坐标为 ，‎ 即Q的坐标为.‎