【数学】宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第三次模拟考试试题（理）（解析版） 17页

宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第三次模拟考试数学试题（理）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以 因为 所以，所以 故选：B.‎ ‎2.若复数表示的点在虚轴上,则实数的值是( 　 )‎ A. -1 B. ‎4 ‎C. -1和4 D. -1和6‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为复数表示在复平面上对应的点在虚轴上，‎ 所以，解得或，‎ 当时，不符合题意，（舍）‎ 当时，符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎3.下列说法正确的个数为(　　)‎ ‎①若，则； ②，，则；‎ ‎③若，，则； ④若，，则.‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①,根据不等式的性质,可得,故①正确；‎ ‎②当,时,满足,且设,,满足,此时,故②不正确；‎ ‎③当时,满足,且设,,满足,此时,故③不正确；‎ ‎④,,对两边同时除以得；‎ 又,,故④正确；‎ 综上,正确的为①④,共2个 故选B.‎ ‎4.圆截直线所得的弦长为，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆,即 则由垂径定理可得点到直线距离为 ‎ 根据点到直线距离公式可知,化简可得 ‎ 解得，‎ 故选:A.‎ ‎5.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m；②m∥；③l⊥．‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中正确命题的个数为（ ）个.‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】若l⊥m，m∥，则l⊥，该命题为假命题，因为l⊥m，m∥，只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直，不满足直线与平面垂直的判定定理，所以是假命题；‎ 若l⊥m，l⊥，则m∥，该命题为真命题，因为l⊥m，l⊥，则平面内必存在一直线与外直线m平行，所以m∥，命题为真命题；‎ 若m∥，l⊥，则l⊥m，该命题为真命题，因为m∥，所以内必有一直线n与直线m平行，l⊥可得l⊥n，所以l⊥m，命题为真.‎ 综上可知正确命题的个数为2，‎ 故选：C.‎ ‎6.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5；第二网捞出25条，称得平均每条鱼3；第三网捞出35条，称得平均每条鱼2，则估计鱼塘中鱼的总质量为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】平均每条鱼的质量为 所以估计鱼塘中鱼的总质量约为 故选：A.‎ ‎7.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据正弦定理由可得,‎ ‎,在中,‎ ‎,为边长为1的正三角形,.故B正确.‎ ‎8.在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设 ，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.故选B.‎ ‎9.如图所示，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，则的面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中，令，得，故；‎ 又函数的最小正周期为，所以．‎ ‎∴．选A．‎ ‎10.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，函数，则，‎ 则在点处的切线的斜率为，‎ 即，可得，‎ 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项，‎ 又由当时，，排除C项，‎ 只有选项A项符合题意。‎ 故选：A ‎11.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】， ‎ ‎ ‎ 如下图所示：‎ 若三棱锥体积最大值为，则点到平面的最大距离：‎ 即：‎ 设球的半径为，则在中：，解得：‎ 球的表面积：‎ 故选B.‎ ‎12.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F‎1F2=‎2c,‎ 由斜率为得，，‎ 由正弦定理得,‎ 所以，故选D.‎ 二、填空题 ‎13.已知双曲线的焦距为，则的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，，又，所以，，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎14.已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎15.《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来.请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】令，则 所以 所以 在直角三角形中，‎ 所以 故答案为：，.‎ ‎16.阅读下列材料，回答所提问题：设函数，①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有个零点，写出符合上述①②④条件的一个函数的解析式是______；写出符合上述所有条件的一个函数的解析式是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意得：符合上述①②④条件的一个函数的解析式可以是，‎ 因为的定义域为，其图像是一条连续不断的抛物线，所以函数满足①；‎ 因为，所以函数是偶函数；‎ 因为当时，，所以函数恰有两个零点：，‎ 所以函数满足条件①②④；‎ 符合上述①②③④条件的一个函数的解析式可以是，‎ 理由如下：作出函数的图象如下图所示，则函数的图像是一条连续不断的曲线，‎ 函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，‎ 又在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上不是单调函数，‎ 且当时，，所以函数恰有两个零点：.‎ 所以函数满足条件①②③④.‎ 故答案为：；.‎ 三、解答题 ‎17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）在①；②中选一个条件使数列是等比数列，并说明理由，然后求出数列的前项和.‎ 解：（1）设等差数列的公差为，‎ 因为，是与的等比中项 所以，即，解得或（舍）‎ 所以 ‎（2）若选①，则，所以，，‎ 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列.‎ 所以 若选②，‎ 则 因为，所以 所以 即数列是首项为，公比为的等比数列 故 ‎18.在正方体中，已知分别的中点，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎（1）证明：连接，在正方体中，，‎ 在平面中，因分别为的中点，‎ 所以，，故.‎ ‎（2）证明：设正方体中棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，， ‎ 因，，，‎ 所以，，，‎ 即，，即，，而，‎ 所以，平面.‎ ‎（3）解：由（2）可得，，则，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，即，取，解得，，‎ 所以，平面的法向量，‎ 同理可得，取平面的法向量，‎ 设二面角的平面角为，由图知为钝角，‎ 所以，.‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎19.已知直线与抛物线交于两点，点为线段的中点；‎ ‎（1）若直线经过抛物线的焦点，且，求点的横坐标；‎ ‎（2）若，设直线的方程为，求点的横坐标的最小值，并求此时直线的方程.‎ 解：（1）设，抛物线的焦点为，，则，，‎ ‎∴，，所以中点的横坐标为．‎ ‎（2）设，由得，所以，‎ 即，，，‎ ‎，．‎ 设，则 ‎，‎ 当且仅当，即，时，等号成立，‎ 所以的最小值为．直线方程为：或 ‎20.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：‎ 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/元 ‎6000‎ ‎7000‎ ‎8000‎ ‎9000‎ 月薪/元 ‎5000‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;‎ ‎（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：‎ 选择意愿 人员结构 ‎40岁以上（含40岁）男性 ‎40岁以上（含40岁）女性 ‎40岁以下男性 ‎40岁以下女性 选择甲公司 ‎110‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎80‎ 选择乙公司 ‎150‎ ‎90‎ ‎200‎ ‎110‎ 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，‎ 则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，‎ E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000，‎ D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1＝10002，‎ D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1＝20002，‎ 则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），‎ 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；‎ 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；‎ ‎（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，‎ 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， ‎ 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：‎ 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 ‎250‎ ‎350‎ ‎600‎ 女 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ 总计 ‎450‎ ‎550‎ ‎1000‎ 计算K2＝≈6.734，‎ 且K2＝6.734＞6.635，‎ 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，‎ 由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．‎ ‎21.已知函数，‎ ‎（1）当时，求证：函数存在唯一极值点；‎ ‎（2）当，，求证：函数在上有唯一零点.‎ 解：（1）当时，‎ 所以，‎ 因为，所以在上单调递增 因为，‎ 所以存在使得 当时，，单调递减 当时，，单调递增 所以是函数的极小值点，即函数存在唯一极值点 ‎（2）由已知可得 则 因为，所以，‎ 所以 当时，，则 当时，，则 所以在上单调递减，在上单调递增 因为 所以函数在上有唯一零点 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，是曲线上的两点，若，求的最大值.‎ 解：（1）将曲线参数方程化为普通方程为：‎ 即：‎ 根据，，可得：‎ 曲线的极坐标方程为：‎ ‎（2）设，‎ 则 当时，‎ ‎23.已知定义在上的函数.‎ ‎（1）若的最大值为3，求实数的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ 解：（1）由绝对值不等式得 令，得或 解得或 解得不存在，‎ 故实数的值为-1或3‎ ‎（2）‎ 由于，则，当时，‎ 由得，当时，‎ 由得，此种情况不存在，‎ 综上可得：的取值范围为