上海市上海中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 18页

www.ks5u.com 上海中学2019学年第二学期期终考试 数学试题 一、选择题。‎ ‎1.__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由即可求得 ‎【详解】‎ ‎【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。‎ ‎2.已知等差数列则 ．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据公式，，将代入，计算得n=10．‎ 考点：等差数列的通项公式．‎ ‎3.数列中，已知，50为第________项.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程变为，设，解关于的二次方程可求得。‎ ‎【详解】，则，即 设，则，有或 取得，，所以是第4项。‎ ‎【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。‎ ‎4.等比数列，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。‎ ‎【详解】相当于，‎ 相当于，‎ 上面两式相除得代入就得，‎ ‎【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。‎ ‎5.用数学归纳法证明：时，从“到”左边需增加的代数式是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出时的表达式，然后写出时的表达式，由此判断出增加的代数式.‎ ‎【详解】当时，左边为，左边的固定，‎ 当时，左边为，‎ 化简得 ‎，故增加的项为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查数学归纳法的概念以及运用，考查观察与思考的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎6.数列满足，则等于______.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，可求出，然后由，代入已知递推公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 故答案为15.‎ ‎【点睛】本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。‎ ‎7.数列满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出，判断出数列是以6为周期的数列，进而根据求出答案。‎ ‎【详解】‎ 将以上两式相加得 数列是以6为周期的数列，故 ‎【点睛】对于递推式的使用，我们可以尝试让取或，又得一个递推式，将两个递推式相加或者相减来找规律，本题是一道中等难度题目。‎ ‎8.数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则______.‎ ‎【答案】512‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由，可得，这样推下去 ‎，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。‎ ‎【详解】‎ 故选C。‎ ‎【点睛】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。‎ ‎9.数列定义为，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得两式，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前的和 ‎【详解】‎ 两式相减得 数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，‎ ‎， ，，‎ 数列的前2n项中所有奇数项的和为：‎ ‎，‎ 数列的前2n项中所有偶数项的和为：‎ ‎【点睛】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为.‎ ‎10.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。‎ ‎【详解】‎ 当时，符合，‎ 当时，符合，‎ ‎【点睛】一般公式使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。‎ ‎11.一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设三边按递增顺序排列为， 其中.‎ 则， 即.解得.‎ 由 q≥1 知 q 的取值范围是1≤q <.‎ 设三边按递减顺序排列为，其中.‎ 则，即.‎ 解得.‎ 综上所述， .‎ ‎12.数列满足，当时，，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_______.‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造数列，‎ 两式与相减可得数列{}为等差数列，求出，让=0即可求出.‎ ‎【详解】设 ‎ 两式相减得 又 数列从第5 项开始为等差数列，由已知易得均不为0‎ 所以当n=70的时候成立，故答案填70.‎ ‎【点睛】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。‎ 二、选择题。‎ ‎13.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.‎ ‎【详解】∵等差数列的公差为2，且，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.等比数列的前项和为，已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选C.‎ ‎15.设等差数列的前n项和为，若，则(　　)‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由又，可得公差，从而可得结果.‎ ‎【详解】是等差数列 又，‎ ‎∴公差，‎ ‎，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎16.设，若，则数列是（ ）‎ A. 递增数列 B. 递减数列 C. 奇数项递增，偶数项递减的数列 D. 偶数项递增，奇数项递减的数列 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由三角函数的性质分析可得，进而可得函数为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。‎ ‎【详解】根据题意，，则，指数函数为减函数 即 即 即 即 ‎，‎ 数列是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C.‎ ‎【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。‎ 三、解答题。‎ ‎17.等差数列的前项和为，求数列前项和.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件利用等差数列前项和公式求出公差和首项，由此能求出，且，当时，，当时，。‎ ‎【详解】‎ 解得，‎ 设从第项开始大于零，‎ 则 ‎，即 当时，‎ 当时，‎ 综上有 ‎【点睛】本题考查数列的前项和的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。‎ ‎18.已知数列的前项和 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）运用数列的递推式得时，，时，，化简计算可得所求通项公式；‎ ‎（2）求得，运用数列错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】（1）可得 时， ‎ 则 ‎（2）数列满足，‎ 可得，即，‎ 前项和 两式相减可得 化简可得 ‎【点睛】本题考查数列递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为 千元时多卖出件。‎ ‎（1）试写出销售量与n的函数关系式；‎ ‎（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.‎ ‎(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知 ‎，‎ 由叠加法可得 即为所求。‎ ‎（2）设当时，获利为元，‎ 由题意知，，‎ 欲使最大，则，易知，此时.‎ 考点：叠加法求通项,求最值.‎ ‎20.设数列的前项和.已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否对一切正整数，有？说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）对一切正整数，有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；‎ ‎（2）对一切正整数n，有，‎ 考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证。‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，‎ 两式做差得 ‎，‎ ‎，当时，上式显然成立，。‎ ‎（2）证明：当时，‎ 可得 由 可得 即有<‎ 则当时，不等式成立。‎ 检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．‎ ‎21.设集合，其中.‎ ‎（1）写出集合中的所有元素；‎ ‎（2）设，证明“”的充要条件是“”‎ ‎（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.‎ ‎【答案】（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 根据题意，直接列出即可 ‎（2） 利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。‎ ‎（3） 利用（2）的结论完成（3）即可。‎ ‎【详解】（1）中的元素有，，，。‎ ‎（2）充分性：当时，显然 成立。‎ 必要性：‎ 若=1，则 若=，则 若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则 ‎，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即 综上“”的充要条件是“”‎ ‎（3）‎ 等价于 等价于 由（2）得“=”的充要条件是“”‎ 即“=”是“” 的充要条件 ‎【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎