天津市部分区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 15页

天津市部分区2019~2020学年度第一学期期中练习高二数学 第I卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，使不等式成立的x的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一元二次不等式的解法可解得x的取值范围为.‎ ‎【详解】由可得：，‎ 解得，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题.‎ ‎2.已知椭圆长轴长为4，焦距为2.则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的长轴长为可知.‎ ‎【详解】因为椭圆长轴长为4，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于容易题.‎ ‎3.若，，则“且”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由且可推出，反之不成立，即可得出结论.‎ ‎【详解】若且，‎ 则成立，‎ 但，推不出且，‎ 所以“且”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于容易题.‎ ‎4.已知数列是等差数列.若，，则（ ）‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. 7 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的等差中项，即可求解.‎ ‎【详解】因为数列是等差数列，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质，属于容易题.‎ ‎5.若命题“，”是假命题，则实数m的最小值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“，”是假命题可知“”是真命题，利用判别式求解即可.‎ ‎【详解】因为命题“，”是假命题，‎ 所以命题“”是真命题，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以实数m的最小值为1.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了命题的否定，不等式恒成立，属于中档题.‎ ‎6.已知双曲线的离心率是，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的简单几何性质可知，，联立即可求解.‎ ‎【详解】因为双曲线的离心率是，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，离心率，属于容易题.‎ ‎7.已知等比数列的首项为1，且，则（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式及可求出公比，再计算即可.‎ ‎【详解】因为等比数列的首项为1，‎ 所以由可得：，‎ 解得，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.‎ ‎8.已知数列{an}满足an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝( )‎ A. 54 B. ‎55 ‎C. 56 D. 57‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列递推式的特征，利用累加法转化求解即可．‎ ‎【详解】数列满足，且，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 累加可得：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎9.已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程可得焦点，准线方程为，‎ 由求出，由此能求出双曲线的方程．‎ ‎【详解】因为抛物线，‎ 所以焦点，准线方程为 因为双曲线的渐近线为，准线为 所以，‎ 又，，‎ 所以即，‎ 所以双曲线的方程为，‎ 故选：D ‎10.已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与C交于点B.若，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知，,设，可求出B点坐标，代入椭圆方程，化简即可求出离心率.‎ ‎【详解】设，‎ 因为，‎ 所以，‎ 由，可得，‎ 解得，‎ 代入椭圆方程可得，‎ 化简得，即，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，顶点、焦点坐标，离心率，属于中档题.‎ 第II卷（共80分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎11.命题“，”的否定是________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定，改变量词，否定结论即可.‎ ‎【详解】由命题“，”知，‎ 命题的否定为 “，”‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的否定，属于容易题.‎ ‎12.双曲线的渐近线方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的方程，令即可求出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】因为双曲线方程，‎ 所以，令，‎ 可得，‎ 即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于容易题.当双曲线方程为时，只需把换为即可求出渐近线方程.‎ ‎13.设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的求和公式,利用，可求出公差，写出，利用二次函数求解即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以，‎ 对称轴为，‎ 所以当或时，有最小值，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，涉及二次函数求最值，属于中档题.‎ ‎14.若，且，则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可根据均值不等式求积的最大值.‎ ‎【详解】因为，且 所以，当且仅当时取等号，‎ 即，当且仅当时取等号，‎ 所以的最大值为，此时，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题.‎ ‎15.若抛物线焦点是双曲线的一个焦点，则________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知抛物线的焦点为双曲线的右焦点，又由双曲线方程可知，求解即可.‎ ‎【详解】因为抛物线的焦点为，‎ 所以双曲线的右焦点为，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故答案为：12‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，双曲线的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎16.下列命题：①设A，B为两个集合，则“”是“”充分不必要条件；②，；③“”是“”的充要条件；④，代数式的值都是质数.其中的真命题是________.（填写序号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据子集概念，“”是“”的充分必要条件；②取特殊值，使不等式成立，判断命题为真；③根据不等式性质可知，可判断命题正确；④由于n2+n+41=n（n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n2+n+41不是质数，可判断命题错误.‎ ‎【详解】对于①根据子集及交集的定义可知，所以“”是“”的充分必要条件；②存在特殊值，使不等式成立，判断命题为真；③根据不等式性质可知，可判断“”是“”的充要条件正确；④由于n2+n+41=n（n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n2+n+41分别能被40或41整除，所以不是质数，可判断命题错误.‎ 故答案为：②③‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题，充分条件，必要条件，质数的概念，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，，‎ ‎.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意列出关于公差和公比的方程组，求解即可得出通项公式（2）根据错位相减法即可求出数列的和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.‎ 依题意，得 又因为公比大于0，‎ 解得 故，.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 记的前n项和为，则 记，①‎ 则，②‎ ‎①−②得，，‎ ‎，‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.‎ ‎18.解关于x的不等式．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解题思路：将分解因式得，再讨论1与大小求解集.‎ 规律总结：解一元二次不等式，要注意“三个二次”的关系，即一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系.‎ 注意点：解题中要注意讨论1与的大小.‎ 试题解析：，‎ 则当时，解集为；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为.‎ 考点：1.一元二次不等式的解法；2.分类讨论思想.‎ ‎19.设数列的前n项和为，且.数列满足：，且.其中.‎ ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）记数列满足，证明：.‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据与的关系，可推出，即数列是公比为2的等比数列，根据知其为等差数列，写出通项公式即可（2）写出，变形为 ‎，利用相加相消可求和,即可证明不等式成立.‎ ‎【详解】（1）由 ①，‎ 可得 ②，‎ ‎②-①得 所以数列是公比为2的等比数列，式中令，可得，‎ 所以，‎ 由易知数列是公差为1的等差数列，‎ 又，所以，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列、等比数列的定义，通项公式，裂项相消求和，属于难题.‎ ‎20.设椭圆上顶点为A，右顶点为B.已知（O为原点）.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设点，直线与椭圆交于两个不同点M，N，直线AM与 x轴交于点E，直线AN与x轴交于点F，若.求证：直线l经过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由知，根据，即可求出离心率（2）由结合（1）可求出椭圆方程，设，，得出点坐标，联立与椭圆方程，根据韦达定理可得，，利用化简可求m，可求出直线所过定点.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，‎ 又由，‎ 消去b得，‎ 解得.‎ 所以，椭圆的离心率为；‎ ‎（2）由点知，又 所以 所以椭圆的方程为，‎ 设，，‎ 则直线AM的方程为，‎ 令，得点E的横坐标，‎ 所以点，‎ 同理，点， ‎ 由得，‎ 则，，‎ 所以 ‎.‎ 所以.‎ 解得，此时， ‎ 所以直线l经过定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，属于难题.‎