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- 2021-07-01 发布
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江苏省海头高中2019级高一年级第一学期期中考试
数 学 试 题
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
集合交集是两个集合公共元素,由此求得两个集合的交集.
【详解】两个集合的交集为集合的公共元素,故.所以选D.
【点睛】本小题主要考查两个集合的交集.交集是两个集合的公共元素组成.属于基础题.
2.已知,则( )
A. 36 B. 16 C. 100 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
设2x+1=t,则x,从而f(t)=(t﹣1)2,由此能求出f(﹣3).
【详解】∵f(2x+1)=4x2,
设2x+1=t,则x,
∴f(t)=4×()2=(t﹣1)2,
∴f(﹣3)=(﹣3﹣1)2=16.
故选:B.
【点睛】本题考查函数值的求法,考查解析式求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:因为函数是奇函数,所以选项A不正确;因为函为函数既不是奇函数,也不是偶函数,所以选项B不正确;函数的图象抛物线开口向下,对称轴是轴,所以此函数是偶函数,且在区间上单调递减,所以,选项C正确;函数虽然是偶函数,但是此函数在区间上是增函数,所以选项D不正确;故选C。
考点:1、函数的单调性与奇偶性;2、指数函数与对数函数; 3函数的图象。
4.如果集合只有一个元素,则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得知关于的方程只有一个实数解,分和两种情况讨论,可得出实数的值.
【详解】由题意得知关于方程只有一个实数解.
当,,合乎题意;
当时,则,解得.
综上所述:或,故选:D.
【点睛】本题考查集合的元素个数,本质上考查变系数的二次方程的根的个数,解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论,考查分类讨论思想,属于中等题.
5.函数=的定义域是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题可得,所以,所以函数的定义域为,故选A.
点睛:本题主要考查了具体函数的定义域问题,属于基础题;常见的形式有:1、分式函数分母不能为0;2、偶次根式下大于等于0;3、对数函数的真数部分大于0;4、0的0次方无意义;5、对于正切函数,需满足等等,当同时出现时,取其交集.
6.方程的解为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
令,
∵,.
∴函数在区间上有零点。
∴。选C。
7.若函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得,函数图象的对称轴为,
∵函数在区间上单调递增,
∴,解得。
∴实数的取值范围是。选D。
8.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接代入函数求值即可.
【详解】由题意得,故选B.
【点睛】本题主要考查分段函数求值,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
9.函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
函数的定义域为。
当时,;当时,。
∴,其图象如选项B所示。选B。
10.已知,则,则值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵,
∴,
∴,
∴,解得。
又,
∴。选D。
点睛:(1)对于形如的连等式,一般选择用表示x,y的方法求解,以减少变量的个数,给运算带来方便;
(2)注意对数式和指数式的转化,即;另外在对数的运算中,还应注意这一结论的应用。
11.已知,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先将转换为同为2为底的指数,,可以转换为指数相同。所以。
【详解】因为,,所以,故选A.
【点睛】1.比较幂值大小时,要注意区分底数相同还是指数相同.是用指数函数的单调性,还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决.要注意图象的应用,还应注意中间量0、1等的运用.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幂的底数不确定时,要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.属于较易题目。
12.若对于任意,都有成立,则的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵,
∴不等式恒成立等价于对于任意恒成立。
∵,
∴。
∴,解得。
∴的范围是。选C。
点睛:(1)对于函数中的恒成立问题,解题时一般选择分离参数的方法,将参数分离后转化为求具体函数的最值问题处理;
(2)恒成立, 恒成立。当函数的最值不存在时,可用函数值域的端点值代替,但要注意得到的不等式中等号能否取得。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若幂函数的图像经过点,则__________.
【答案】
【解析】
∵幂函数f(x)=xa的图象经过点(4,2),∴4a=2;解得a=, 故f(x)=,所以.
故答案为.
14.已知函数(且)恒过定点,则__________.
【答案】
【解析】
令,可得,此时。
∴函数的图象恒过定点(1,2),即,
∴.
答案:3
点睛:(1)确定指数型函数的图象所过得定点时,可令,求得的即为定点的横坐标,定点的纵坐标为。
(2)确定对数型函数的图象所过得定点时,可令,求得的即为定点的横坐标,定点的纵坐标为。
15.计算__________.
【答案】
【解析】
。
答案:
16.已知是上的奇函数,当时,.若在区间
上的值域为,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
根据函数为奇函数可求得当,
当时,,当且仅当时等号成立;
当,,当且仅当时等号成立。
画出函数的图象(如图所示)。
当,令,即,解得,或(舍去)。
结合图象可得,若在区间上的值域为,则实数的取值范围是.
答案:]
点睛:本题将函数的性质、函数的图象结合在一起考查。根据奇偶性可得函数在时的解析式,从而可画出函数的图象,为解题增加了直观性,结合图象可得参数所要满足的条件。用数形结合的思想方法进行解题,是数学中常用的方法,需要好好的掌握。
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.设全集,集合,
(1)求;
(2)若集合,且,求的取值范围.
【答案】(1)A∪B={x|x≥2},(∁UA)∩B={x|x≥4}(2)(﹣6,+∞)
【解析】
【分析】
(1)先求出B={x|x≥3},由此能求出A∪B和(∁UA)∩B.
(2)求出,由B∪C=C,得B⊆C,由此能求出a的取值范围.
【详解】(1)全集U=R,集合.∁UA
由得3x﹣7≥8﹣2x,∴x≥3,
从而B={x|x≥3},又∁UA={x|x<2或x≥4}
∴A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2},
(∁UA)∩B={x|x≥4}
(2)集合C={x|2x+a>0},化简得,
∵B∪C=C,∴B⊆C
从而,解得a>﹣6.
∴a的取值范围是(﹣6,+∞).
【点睛】本题考查并集、补集、交集、实数的取值范围的求法,考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
18.如图所示,定义域为上的函数是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.
(1)求的解析式;
(2)若关于的方程有三个不同解,求的取值范围;
(3)若,求的取值集合.
【答案】(1).;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)由图象可知,当时,为一次函数;当时,是二次函数,分别用待定系数法求解析式;(2)当时,,结合图象可以得到当时,函数的图象和函数的图象有三个公共点,即方程有三个不同解;(3)分和两种情况分别解方程即可。
试题解析:
(1)①当时,函数为一次函数,设其解析式为,
∵点和在函数图象上,
∴
解得
②当时,函数是二次函数,设其解析式为,
∵点在函数图象上,
∴
解得
综上.
(2)由(1)得当时,,
∴。
结合图象可得若方程有三个不同解,则。
∴实数的取值范围.
(3)当时,由得
解得 ;
当时,由得,
整理得
解得或(舍去)
综上得满足的的取值集合是.
19.设函数.
(1)王鹏同学认为,无论取何值,都不可能是奇函数,你同意他的观点吗?请说明你的理由;
(2)若是偶函数,求的值;
(3)在(2)的情况下,画出的图象并指出其单独递增区间.
【答案】(1)我同意王鹏同学的看法;(2);(3)和
【解析】
试题分析:(1)(举特例)若为奇函数,则有,整理得,由于此方程无解,故不可能是奇函数;(2)由得,解得;(3)画出图象如图,由图象得单调递增区间是和。
试题解析:
(1)我同意王鹏同学的看法,理由如下:
若为奇函数,则有,
显然无解,
所以不可能是奇函数
(2)若为偶函数,则有
,
解得,
此时,偶函数.
(3)由(2)知,其图象如图所示
其单调递增区间和.
20.某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表如下:
为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟产品的月产量与月份的关系,模拟函数可选择二次函数(为常数且),或函数(为常数).已知4月份的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,请说明理由.
【答案】选用y=﹣0.8×0.5x+1.4作为模拟函数更好,理由见解析
【解析】
【分析】
分别求出两函数解析式,预算第四个月的产量,根据误差大小作出判断.
【详解】若选择二次函数模型,则,
解得,∴f(x)=﹣0.05x2+0.35x+0.7,
∴f(4)=1.3,
若选择函数模型,则,
解得,∴g(x)=﹣0.8×0.5x+1.4
∴g(4)=1.35
显然g(4)更接近于1.37,
故选用y=﹣0.8×0.5x+1.4作为模拟函数更好.
【点睛】本题考查了函数模型的应用,函数解析式的解法,准确计算是关键,属于中档题.
21.已知函数是上的奇函数,且.
(1)求的解析式;
(2)判断的单调性,并加以证明;
(3)若实数满足,求的取值范围.
【答案】(1);(2)在上递增;证明见解析; (3)
【解析】
试题分析:(1)由函数为奇函数和得到关于a,b的方程组,解得后可得解析式;(2)用单调性的定义证明即可;(3)将原不等式化为,由于函数
是上的增函数,可得,解得即为所求。
试题解析:
(1)由已知得,
解得
(2)设,且,则
,
又
,
在上单调递增。
(3)∵ ,
∴
∵函数为奇函数,
∴,
又函数在上为增函数,
,即
解得 .
∴实数的取值范围为.
点睛:(1)本题是函数性质的综合运用,在解题中要熟练掌握函数奇偶性、单调性的的判定及性质,对于单调性的证明要掌握规范的解题步骤。
(2)在解含“f”号得不等式时,首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数的单调性去掉“f”号,转化为具体的不等式(组),此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.
22.对于函数,若存在一个实数使得,我们就称关于直线对称.已知.
(1)证明关于对称,并据此求:的值;
(2)若只有一个零点,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)分别求得,验证即可证明关于对称,利用性质可得,从而求得,将代入解析式可得,即为所求;(2)由(1)知关于对称,且
只有一个零点,则这个零点一点就是,由解得,验证符合题意。
试题解析:
(1)
又
∴,
∴函数的图象关于对称。
由题意知
(2)由(1)知关于对称,且只有一个零点,
则这个零点一定就是,
,
解得
当时,
时,时,
故当时函数只有一个零点,符合题意.
∴。
点睛:(1)解决新定义问题的关键是深刻理解新定义的含义,并在新信息的基础上进行应用解决问题,这类题考查学生的阅读理解和应用新知识解决问题的能力。
(2)在本题(2)中,由函数关于对称,且只有一个零点,得到这个零点就是是解题的关键。