2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题18 函数、不等式恒成立问题（讲）（解析版） 11页

专题18 函数、不等式中恒成立问题 ‎ 纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.往往与导数相结合，在处理复杂问题时转化成为“恒成立问题”.解答这类题目应首先克服畏惧心理，通过总结高中阶段出现的这类问题的类型，形成完整的知识、方法体系，提高应对能力.‎ 一. 函数性质法 ‎1.一次函数 若内恒有,则根据函数的图像 可得可合并成,‎ 同理若内恒有则有 例、设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件：①f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与直线y＝x只有一个公共点．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若不等式πf(x)>2－tx在t∈[－2,2]时恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】(1)f(x)＝x2＋x. (2)(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)．‎ ‎【解析】(1)∵由①知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴是直线x＝－1，∴b＝2a.‎ ‎∵函数f(x)的图象与直线y＝x只有一个公共点，∴方程组有且只有一个解，‎ 即ax2＋(b－1)x＝0有两个相同的实根，∴Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1，∴a＝.∴f(x)＝x2＋x.‎ ‎(2)∵π>1，∴πf(x)>2－tx等价于f(x)>tx－2，即x2＋x>tx－2在t∈[－2,2]时恒成立⇔函数 g(t)＝xt－<0在t∈[－2,2]时恒成立，‎ ‎∴，即解得x<－3－或x>－3＋，‎ 故实数x的取值范围是(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)．‎ 例、对于满足的所有实数,则使不等式恒成立的的取值范围为 .‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】在不等式中出现了两个变量：、,并且是给出了的范围要求的相应范围，直接从的不 ‎ 等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 看作自变量，看成参变量，则上述问题即可转化为 在[-2，2]内关于的一次函数函数值大于0恒成立求参变量的范围的问题.‎ 解：原不等式可化为,令,则原问题等价于 在上恒成立，故有：‎ ‎ ‎o y ‎2‎ ‎-2‎ x y ‎-2‎ ‎2 x ‎ 方法一：或∴或.‎ ‎ 方法二：即解得：∴或.‎ ‎2. 二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 有以下几种基本类型：‎ 类型1：设 （1） 上恒成立；‎ ‎(2)上恒成立．‎ 类型2：设 ‎(1)当时，上恒成立 上恒成立 ‎(2)当时，上恒成立 上恒成立 例、设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式对恒成立，‎ 则有 即.∴.∴.‎ 又，结合下图可知，∈.‎ 例、已知当x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，2＋2)‎ ‎【解析】令3x＝t，则当x∈(0，＋∞)时，t∈(1，＋∞)，记f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))，则由题意得f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))的图象恒在x轴的上方，可得Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或，解得m<2＋2.‎ 例、 设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．当时函数取得最小值，所以，即，解得或．‎ 例、已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.‎ ‎(1)若a＝2，试求函数y＝ (x>0)的最小值；‎ ‎(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．‎ 解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝时，‎ 即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.‎ ‎(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”‎ 只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，‎ 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以即 解得a≥.则a的取值范围为.‎ ‎3. 其它函数：‎ 对于恒成立的问题，常用到以下结论： ‎ ‎(1)； ‎ ‎(2)；‎ ‎(3)恒成立(注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0)；恒成立(注：若的最大值不存在，则恒成立 的上界小于0)．‎ 例、已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－10，＋∞)‎ ‎【解析】不等式2x＋m＋>0可化为2(x－1)＋>－m－2，‎ ‎∵x>1，∴2(x－1)＋≥2＝8， 当且仅当x＝3时取等号．‎ ‎∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，∴－m－2<8，解得m>－10.‎ 例、不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)‎ C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]‎ ‎【答案】A ‎【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.‎ 例、【湖南省浏阳市六校联考2020届高三期中】已知定义域为的单调函数是奇函数,当时,.‎ ‎(1)求的解析式.‎ ‎(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】(1) 当时, ，∴， 又函数是奇函数，∴，‎ ‎∴．又．综上所述 ．‎ ‎(2)∵为上的单调函数，且，∴函数在上单调递减． ‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵函数是奇函数，∴．又上单调递减，‎ ‎∴对任意恒成立，∴对任意恒成立，‎ ‎∴，解得．∴实数的取值范围为．‎ 二． 分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(，为实参数)恒成立中参数的取值范围的基本步骤：‎ ‎(1)将参数与变量分离，即化为(或)恒成立的形式；‎ ‎(2)求在上的最大(或最小)值；‎ ‎(3)解不等式(或) ，得的取值范围．‎ 适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出． ‎ 例、设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎【答案】a> ‎【解析】由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得a>－＋在(1,4)上恒成立．‎ 令g(x)＝－＋＝－22＋，∈，∴g(x)max＝g(2)＝，‎ 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可.‎ 例、【山东省日照市2020届高三上学期期中】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】不等式恒成立，即为，‎ 由，当且仅当，即，取得等号，‎ 即有，则的最大值为16，故答案为．‎ 例、在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.‎ 三． 主参换位——反客为主法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．‎ 例、对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎【解析】不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.则⇒⇒，即x<－1或x>3.‎ 例、已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．‎ 例、对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．‎ ‎【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)‎ ‎【解析】由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，‎ 则原问题转化为关于m的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，‎ ‎∴解得x<1或x>3.‎ 故当x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．‎ 四． 数形结合 若所给不等式进行合理的变形化为(或)后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．‎ 例、若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A． D． C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式4ax－1<3x－4等价于ax－11时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图①所示，由图知不满足条件；当00，所以f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)max＝f(e)＝e＋1。‎ ‎(2)因为f(x)≤0即ax＋lnx≤0对x∈[1，e]恒成立，所以a≤－，x∈[1，e]。‎ 令g(x)＝－，x∈[1，e]，则g′(x)＝，‎ 因为x∈[1，e]，所以g′(x)≤0，所以g(x)在[1，e]上递减，‎ 所以g(x)min＝g(e)＝－，所以a≤－。即a的取值范围为。‎ 例、【河南省实验中学2020届高三模拟】已知函数(e是自然对数的底数)．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若不等式在]上恒成立，求正数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)将解析； (2).‎ ‎【解析】(1)由题意知，要证，只需证，‎ 求导得，当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴f(x)在是增函数，在时是减函数，‎ 即在时取最小值，∴，‎ 即，∴．‎ ‎(2)不等式在上恒成立，即在上恒成立，‎ 亦即在x∈[，2]上恒成立，令g(x)=，，‎ 以下求在上的最小值，,当时，，‎ 当]时，，∴当]时，单调递减，当]时，单调递增，‎ ‎∴在处取得最小值为，∴正数a的取值范围是． ‎ ‎【反思提升】‎ 上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方.(2)恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.(5)‎ 值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.‎