数学理卷·2018届湖北省黄冈中学高二上学期期末模拟测试（2）（2017-01） 10页

‎2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（2）‎ 高二理科数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎5．考试范围：必修2、选修2-1。 ‎ 第I卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若命题所有对数函数都是单调函数，则为 A．所有对数函数都不是单调函数 B．所有单调函数都不是对数函数 ‎ C．存在一个对数函数不是单调函数 D．存在一个单调函数不是对数函数 ‎2．抛物线的焦点到准线的距离为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．“”是“直线与直线互相平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知向量，且与互相垂直，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎5．如图，已知四边形的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎7．设，且，则椭圆和椭圆具有相同的 A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．长轴和短轴 ‎8．在三棱柱中，平面，，，．若三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎9．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是 A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎ ‎ ‎ ‎（第9题图） （第10题图）‎ ‎10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线，过双曲线的右焦点，且倾斜角为 的直线与双曲线交于两点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 A． B．5 C． D．10‎ 第II卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知两圆的方程分别为和，则这两圆的位置关系为__________.(填“相离”、 “相交”、“相切”)‎ ‎14．已知点，平面，且，平面的一个法向量，则直线与平面所成的角为___________．‎ ‎15．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，下列结论正确的序号是__________.（请填写所有正确结论的序号）‎ ‎ ‎ ‎①直线与垂直； ②直线与平行；‎ ‎③直线与成角； ④直线与异面.‎ ‎16．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知命题：，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）设直线的方程为.‎ ‎（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图,在直角梯形中，，，，点为的中点．将沿折起，使平面平面，得到几何体如图所示．‎ ‎（1）在上找一点,使平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知一圆经过点,且它的圆心在直线上.‎ ‎（1）求此圆的标准方程；‎ ‎（2）若点为所求圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎21．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为且过点的椭圆，过定点的动直线与该椭圆相交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；‎ ‎（3）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（2）‎ 高二理科数学·参考答案 ‎1‎ ‎2 ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A D C D C C D B A B ‎13．相交 14． ‎ ‎15．③④ 16． ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】由，得，即：.（2分）‎ 由，得，即：.（4分）‎ ‎（1）由命题为真命题，得实数的取值范围为.（6分）‎ ‎（2）由题意知命题，一真一假.若真假，则，解得或；若假真，则，此时无解.（8分）‎ ‎∴实数的取值范围为.（10分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距均为0，显然相等.‎ ‎∴，方程即为.（2分）‎ 当直线不过原点时，由截距相等且均不为0，得，即，‎ ‎∴，方程即为.（5分） ‎ 综上，直线的方程为或.（6分）‎ ‎（2）将的方程化为，（7分）‎ 由题意得或，（9分）‎ ‎∴.（11分）‎ ‎∴实数的取值范围是.（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）取的中点,连接, ‎ 在中, ∵分别为的中点，‎ ‎∴为的中位线，‎ ‎∴，（3分）‎ ‎∵平面,平面，‎ ‎∴平面.（6分）‎ ‎（2）设点到平面的距离为.在直角梯形中，由，，，可得，∴.‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴.（8分）‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又三棱锥的高,‎ ‎∴由，得，‎ ‎∴，即点到平面的距离为.（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）方法一：由已知可设圆心，又由已知得,从而有 ‎，解得.（2分）‎ 于是圆心为,半径.（4分）‎ 所以所求圆的标准方程为.（6分）‎ 方法二：∵,,∴,线段的中点坐标为，‎ 从而线段的垂直平分线的斜率为，方程为，即.（2分）‎ 由方程组，解得，‎ 所以圆心坐标为,半径,（4分）‎ 故所求圆的标准方程为.（6分） ‎ ‎（2）设，，则由及为线段的中点得：‎ ‎，解得.（9分）‎ 因为点在圆上，所以有，化简得.（11分）‎ 故所求的轨迹方程为.（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）连接AC1，CB1，则由侧面与侧面都是菱形及，知和均为正三角形．（2分）‎ 取CC1的中点O，连接OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，‎ 又，所以CC1⊥平面OAB1，‎ 因为平面OAB1， ‎ 所以CC1⊥AB1．（4分）‎ ‎（2）由（1）知，，又，所以，所以OA⊥OB1．‎ 如图所示，分别以OB1，OC1，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，−1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)，.（6分）‎ 设平面CAB1的法向量为m=(x1，y1，z1)， 因为 ‎,‎ 所以，即，取．（8分） ‎ 设平面A1AB1的法向量为n=(x2，y2，z2)， 因为，‎ 所以，即，取n=(1，0，1)．（10分） ‎ 则，‎ 由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（12分）‎ ‎22．（本小题满分12分） ‎ ‎【解析】（1）设椭圆的标准方程为，则由题意可得，‎ 解得，所以椭圆的标准方程为.（3分）‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率显然存在，故可设直线，将代入椭圆方程，即中，消去并整理得，‎ 设，则，（5分）‎ 因为线段的中点的横坐标为，所以，解得，‎ 所以直线的方程为或.（7分） ‎ ‎（3）假设在轴上存在点，使得为常数，（8分）‎ ‎①当直线与轴不垂直时，由（2）知，‎ 所以 ‎，（9分）‎ 因为是与无关的常数，所以有，‎ 此时.（10分） ‎ ‎②当直线与轴垂直时，结论也成立， ‎ 综上可知，在轴上存在定点，使，为常数．（12分）‎ ‎ ‎