【数学】2018届一轮复习人教A版第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示学案 13页

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ ‎(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.‎ ‎3．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ ‎4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(　　)‎ ‎(3)若a，b不共线，且λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　)‎ A．5　　　 B.　　　‎ C.　　　 D．13‎ B　[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]‎ ‎3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7,4)‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，‎ ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．‎ 故选A.]‎ ‎4．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ ‎－6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，‎ ‎∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]‎ ‎5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________. 【导学号：51062140】‎ ‎(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，‎ 即解得]‎ 平面向量基本定理及其应用 ‎　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (　　)‎ A．e1与e1＋e2‎ B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2‎ D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎(2)(2017·浙江五校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ ‎(1)D　(2)　[(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎(2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝＋，‎ 于是得解得 所以λ＋μ＝.]‎ ‎[规律方法]　1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．‎ ‎2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．‎ ‎[变式训练1]　如图421，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________(用向量a，b表示)．‎ 图421‎ b－a　b－a　a－b　[＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.]‎ 平面向量的坐标运算 ‎　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ ‎[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分 ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分 ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得9分 ‎(3)设O为坐标原点．∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20).11分 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18).14分 ‎[规律方法]　1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．‎ ‎2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎[变式训练2]　(2017·湖州三次质检)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|‎2a＋b|的最小值为________. 【导学号：51062141】‎ ‎2　[由条件得‎2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|‎2a＋b|＝＝，当t＝2时，|‎2a＋b|的最小值为2.]‎ 平面向量共线的坐标表示 ‎　(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝(　　)‎ A．－2　　　 B．2　　　‎ C．－3　　　 D．3‎ ‎(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎(1)C　(2)(2,4)　[(1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，‎ ‎∵a∥(a＋b)，‎ ‎∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.‎ ‎(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，‎ ‎∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．‎ ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，‎ ‎∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，‎ 即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得 故点D的坐标为(2,4)．]‎ ‎[规律方法]　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.‎ ‎2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2017·杭州学军中学模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.‎ ‎(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．‎ ‎(1)　(2)k≠1　[(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，‎ 所以cos2θ＝，‎ 所以cos θ＝或－，又θ为锐角，所以θ＝.‎ ‎(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．‎ 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ 所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．‎ ‎2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值．‎ ‎3．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．‎ ‎2．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形致误．‎ ‎3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x ‎2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.‎ 课时分层训练(二十三)　‎ 平面向量的基本定理及坐标表示 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．如图422，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：‎ 图422‎ ‎①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(　　)‎ A．①②　　 B．①③　　‎ C．①④　　 D．③④‎ B　[①中，不共线；③中，不共线．]‎ ‎2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)‎ A．－a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b B　[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，‎ ‎∴∴∴c＝a－b.]‎ ‎3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)‎ A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 D　[由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．]‎ ‎4．如图423，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则 (　　)‎ 图423‎ A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ A　[由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.]‎ ‎5．(2017·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)‎ A．24 B．8 ‎ C. D. B　[∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，‎ 化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，‎ ‎∴＋＝×(2x＋3y)‎ ‎＝≥×＝8，‎ 当且仅当＝时，等号成立，‎ ‎∴＋的最小值是8，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·陕西质检(二))若向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，则a－b的单位向量的坐标是________. 【导学号：51062142】‎ 　[由题意得a－b＝(－4,3)，则|a－b|＝＝5，则a－b的单位向量的坐标为.]‎ ‎7．(2017·宁波综合测评(二))已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝________.‎ ‎2　[由题意得|a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos |b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]‎ ‎8．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________. 【导学号：51062143】‎ m≠　[由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.]‎ 三、解答题 ‎9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b). ‎ ‎(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；‎ ‎(2)若＝2，求点C的坐标．‎ ‎[解]　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1).2分 ‎∵A，B，C三点共线，∴∥.‎ ‎∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.6分 ‎(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).10分 ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5，－3).14分 ‎10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ ‎[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，4分 所以解得8分 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，10分 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.14分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. B　[设BC的中点为O，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－，0)，C(，0)，A(0,3)．又||＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.由＝知点M为PC的中点，设M点的坐标为(x，y)，相应点P的坐标为(x0，y0)，则 ‎∴∴(2x－)2＋(2y－3)2＝1，‎ 即2＋2＝，∴点M的轨迹是以H为圆心，r＝为半径的圆，∴|BH|＝＝3，∴||的最大值为3＋r＝3＋＝，‎ ‎∴||2的最大值为.]‎ ‎2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图424所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________. 【导学号：51062144】‎ 图424‎ ‎4　[以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即 解得∴＝4.]‎ ‎3．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．‎ ‎[解]　(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)‎ ‎＝(4t2,2t1＋4t2).2分 当点M在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.6分 ‎(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2).8分 ‎∵＝－＝(4,4)，‎ ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，12分 ‎∴与共线，又有公共点A，∴A，B，M三点共线.14分