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  • 2021-07-01 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示学案

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第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1.平面向量基本定理 ‎(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.‎ ‎(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.‎ ‎3.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),‎ λa=(λx1,λy1),|a|=.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),‎ ‎||=.‎ ‎4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线⇔x1y2-x2y1=0.‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(  )‎ ‎(2)在△ABC中,设=a,=b,则向量a与b的夹角为∠ABC.(  )‎ ‎(3)若a,b不共线,且λ‎1a+μ1b=λ‎2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(  )‎ ‎(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于 (  )‎ A.5    B.   ‎ C.    D.13‎ B [因为a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2),所以|a+b|==.]‎ ‎3.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(  )‎ A.(-7,-4) B.(7,4)‎ C.(-1,4) D.(1,4)‎ A [=(3,2)-(0,1)=(3,1),‎ =-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).‎ 故选A.]‎ ‎4.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.‎ ‎-6 [∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,‎ ‎∴-2m-4×3=0,∴m=-6.]‎ ‎5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________. 【导学号:51062140】‎ ‎(1,5) [设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),‎ 即解得]‎ 平面向量基本定理及其应用 ‎ (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (  )‎ A.e1与e1+e2‎ B.e1-2e2与e1+2e2‎ C.e1+e2与e1-e2‎ D.e1+3e2与6e2+2e1‎ ‎(2)(2017·浙江五校联考)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.‎ ‎(1)D (2) [(1)选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;‎ 选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;‎ 选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;‎ 选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.‎ ‎(2)选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,‎ 又=λ+μ=+,‎ 于是得解得 所以λ+μ=.]‎ ‎[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他向量,即用特殊向量表示一般向量.‎ ‎2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算,在解题时,注意方程思想的运用.如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ,μ的方程组.‎ ‎[变式训练1] 如图421,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=________,=________,=________(用向量a,b表示).‎ 图421‎ b-a b-a a-b [=++=-b-a+b=b-a,=+=-b+=b-a,=+=-b-=a-b.]‎ 平面向量的坐标运算 ‎ 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=‎3c,=-2b,‎ ‎(1)求‎3a+b-‎3c;‎ ‎(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(3)求M,N的坐标及向量的坐标.‎ ‎[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).2分 ‎(1)‎3a+b-‎3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)‎ ‎=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).5分 ‎(2)∵mb+nc=(-‎6m+n,-‎3m+8n),‎ ‎∴解得9分 ‎(3)设O为坐标原点.∵=-=‎3c,‎ ‎∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).‎ ‎∴M(0,20).11分 又∵=-=-2b,‎ ‎∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),‎ ‎∴N(9,2),∴=(9,-18).14分 ‎[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解.‎ ‎2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.‎ ‎[变式训练2] (2017·湖州三次质检)已知a=(1,t),b=(t,-6),则|‎2a+b|的最小值为________. 【导学号:51062141】‎ ‎2 [由条件得‎2a+b=(2+t,2t-6),所以|‎2a+b|==,当t=2时,|‎2a+b|的最小值为2.]‎ 平面向量共线的坐标表示 ‎ (1)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m=(  )‎ A.-2    B.2   ‎ C.-3    D.3‎ ‎(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.‎ ‎(1)C (2)(2,4) [(1)由题意可知a+b=(2,1+m),‎ ‎∵a∥(a+b),‎ ‎∴2+(m+1)=0⇒m=-3.‎ ‎(2)∵在梯形ABCD中,DC=2AB,‎ ‎∴=2.设点D的坐标为(x,y),‎ 则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y).‎ =(2,1)-(1,2)=(1,-1),‎ ‎∴(4-x,2-y)=2(1,-1),‎ 即(4-x,2-y)=(2,-2),‎ ‎∴解得 故点D的坐标为(2,4).]‎ ‎[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;(2)若a∥b(a≠0),则b=λa.‎ ‎2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例求解.‎ ‎[变式训练3] (1)(2017·杭州学军中学模拟)已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,则锐角θ=________.‎ ‎(2)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.‎ ‎(1) (2)k≠1 [(1)由a∥b,得(1-sin θ)(1+sin θ)=,‎ 所以cos2θ=,‎ 所以cos θ=或-,又θ为锐角,所以θ=.‎ ‎(2)若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线.‎ 因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),‎ =-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),‎ 所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理,是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础,用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a=λ1e1+λ2e2的形式.‎ ‎2.利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线,也可以由平行求点的坐标或参数值.‎ ‎3.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量=a,点A的位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y).但表示形式与意义不同,如点A(x,y),向量a==(x,y),向量坐标中既有大小信息又有方向信息.‎ ‎2.若a,b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形致误.‎ ‎3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成=,因为x ‎2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.‎ 课时分层训练(二十三) ‎ 平面向量的基本定理及坐标表示 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.如图422,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:‎ 图422‎ ‎①与;②与;③与;④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(  )‎ A.①②   B.①③  ‎ C.①④   D.③④‎ B [①中,不共线;③中,不共线.]‎ ‎2.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(  )‎ A.-a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b B [设c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),‎ ‎∴∴∴c=a-b.]‎ ‎3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(  )‎ A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 D [由题意可得c与d共线,则存在实数λ,使得c=λd,即解得k=-1.c=-a+b=-(a-b)=-d,故c与d反向.]‎ ‎4.如图423,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则 (  )‎ 图423‎ A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= A [由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.]‎ ‎5.(2017·广东茂名二模)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是(  )‎ A.24 B.8 ‎ C. D. B [∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,‎ 化简得2x+3y=3.又∵x,y均为正数,‎ ‎∴+=×(2x+3y)‎ ‎=≥×=8,‎ 当且仅当=时,等号成立,‎ ‎∴+的最小值是8,故选B.]‎ 二、填空题 ‎6.(2017·陕西质检(二))若向量a=(3,1),b=(7,-2),则a-b的单位向量的坐标是________. 【导学号:51062142】‎  [由题意得a-b=(-4,3),则|a-b|==5,则a-b的单位向量的坐标为.]‎ ‎7.(2017·宁波综合测评(二))已知平面向量a与b的夹角为,a=(1,),|a-2b|=2,则|b|=________.‎ ‎2 [由题意得|a|==2,则|a-2b|2=|a|2-4|a||b|cos〈a,b〉+4|b|2=22-4×2cos |b|+4|b|2=12,解得|b|=2(负舍).]‎ ‎8.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是________. 【导学号:51062143】‎ m≠ [由题意得=(-3,1),=(2-m,1-m),若A,B,C能构成三角形,则,不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠.]‎ 三、解答题 ‎9.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b). ‎ ‎(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;‎ ‎(2)若=2,求点C的坐标.‎ ‎[解] (1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1).2分 ‎∵A,B,C三点共线,∴∥.‎ ‎∵2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.6分 ‎(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2).10分 ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5,-3).14分 ‎10.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).‎ ‎(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.‎ ‎[解] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),4分 所以解得8分 ‎(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),10分 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.14分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(  )‎ A.       B. C. D. B [设BC的中点为O,以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-,0),C(,0),A(0,3).又||=1,∴点P的轨迹方程为x2+(y-3)2=1.由=知点M为PC的中点,设M点的坐标为(x,y),相应点P的坐标为(x0,y0),则 ‎∴∴(2x-)2+(2y-3)2=1,‎ 即2+2=,∴点M的轨迹是以H为圆心,r=为半径的圆,∴|BH|==3,∴||的最大值为3+r=3+=,‎ ‎∴||2的最大值为.]‎ ‎2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图424所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________. 【导学号:51062144】‎ 图424‎ ‎4 [以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),‎ 则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),‎ ‎∴a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).‎ ‎∵c=λa+μb,‎ ‎∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),‎ 即 解得∴=4.]‎ ‎3.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;‎ ‎(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.‎ ‎[解] (1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)‎ ‎=(4t2,2t1+4t2).2分 当点M在第二或第三象限时,有 故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.6分 ‎(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).8分 ‎∵=-=(4,4),‎ =-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,12分 ‎∴与共线,又有公共点A,∴A,B,M三点共线.14分

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