【数学】2020届一轮复习人教A版空间中的平行与垂直证明技巧（文）学案 19页

专题23 空间中的平行与垂直证明技巧 一．【学习目标】‎ ‎（1）熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题．‎ ‎（2）学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化．‎ ‎（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ ‎（4）熟练掌握空间中线面垂直的有关性质与判定定理；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题．不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”‎ 二.【知识点及方法归纳】‎ ‎1．直线与平面平行的判定 ‎(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行，即a∥b，a⊄α，b⊂α⇒a∥α.‎ ‎(2)如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，则a∥β.‎ ‎2．直线与平面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和平面平行，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b，．‎ ‎3．直线与平面垂直的判定 ‎(1)(定义)如果一条直线和平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．‎ ‎(2)(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言表示为：若m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.‎ ‎(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号语言表示为：若a∥b，a⊥α，则b⊥α.‎ ‎(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．‎ ‎(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直．‎ ‎(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．‎ ‎4..两平面平行的判断方法 ‎(1)依定义采用反证法.‎ ‎(2)依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判断两平面平行.‎ ‎(3)依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.‎ ‎(4)依据平行于同一平面的两平面平行来判定.‎ ‎5.平行关系的转化程序 线线平行线面平行面面平行 从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程.在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向.‎ 三【解题方法总结】‎ ‎1．证明直线与平面平行和直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的平行与垂直关系来证明．‎ ‎2．直线与平面平行的判定方法：‎ ‎(1)a∩α＝∅⇒a∥α(定义法)，‎ ‎(2)⇒a∥α，‎ 这里α表示平面，a，b表示直线． ‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。‎ 练习1．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，‎ 由，可得，‎ 由，则，解得，则，‎ 在直角中，，则，‎ 在直角中，，则，‎ 在直角中，，则，‎ 在中，，‎ 由余弦定理可得，‎ 即，‎ 所以截面的周长为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 练习2．在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则（ ）‎ A．点必在直线上 B．点必在直线上 C．点必在平面外 D．点必在平面内 ‎【答案】B ‎【解析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上．‎ ‎【点睛】本题考查公理3的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明．‎ 练习3．如图所示，有一木块，点P在平面内，棱BC平行于平面．要经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，有n种锯法，则n为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．无数 ‎【答案】B ‎【解析】因为平面，所以过平面上点作，只需没过,所确定的平面锯开即可又由于此平面唯一确定，所以只有一种方法，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查确定平面的一句，属基础题.‎ ‎（二）异面直线 例2．平面外有两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是( ).‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若和相交，则和相交或异面 ‎【答案】D ‎【解析】本道题可以通过发挥空间想象能力，对每个选项逐一排除，即可。‎ ‎【详解】A选项，若，则m不一定垂直n，可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选项，若，则a不一定垂直b，可能a,b夹角为钝角或锐角，故错误；C选项，若m平行n，则a与b可能异面，故错误；D选项，若m和n相交，可能a在b的上方，此时异面，a与b也可能相交，故正确。故选D。‎ ‎【点睛】本道题考查了空间直线与直线的位置关系，关键发挥空间想象能力，逐一排除答案，即可，难度中等。 ‎ ‎【详解】若，，则或者，故A错误；‎ 若，时，或者，故B错误；‎ 若，内必有两条相交直线，与平面内的两条相交直线，平行，又，则，，即，，故，因此C正确；‎ 若，，则与相交或或，故D错误，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，解决此类问题的关键是熟练掌握空间中直线与平面的位置关系（平行关系与垂直关系），属于基础题．‎ 练习1．设是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）‎ A．存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面 B．存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面 C．不存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面 D．不存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出一个正方体，根据正方体的结构特征，结合线、面平行和垂直的定理，判断出正确选项.‎ ‎【详解】画出一个正方体如下图所示，分别是的中点.由图可知，，平面，平面.由此判断A选项正确，本题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间异面直线的位置关系，考查线面平行等知识，属于基础题.‎ 练习2．已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：‎ ‎①若，，，，则；‎ ‎②若，，，则；‎ ‎③若，，则．其中正确的命题个数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答．‎ ‎【详解】对于①，若，，，，则与可能相交；故①错误；‎ 对于②，若，，，满足线面平行的性质定理，故；故②正确；‎ 对于③，若，，如果，则；故③错误；故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答．‎ ‎（五）面面关系 例5．已知是不同的平面，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）‎ A．若，，，则 B．若，，则，‎ C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】由面面垂直的判定定理，判断A；由线面位置关系判断B；由线面垂直定理判断C；‎ 由面面平行判断D；‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中线面、面面位置关系，需要考生熟记线面平行于垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，难度不大.‎ 练习1．设为三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中假命题是（ ）‎ A．当时，若，则 B．当，时，若，则 C．当，时，若，则是异面直线 D．当，，若，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得正确；‎ 对于B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得正确；‎ 对于C，可能异面，也可能平行，故错误；‎ 对于D，由，可知，又，所以，可得正确.故选：C ‎【点睛】本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运用定理是关键．‎ 练习2．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则；②若，，，，则；‎ ‎③若，，则；④若，，，，则 其中真命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，②可在正方体中举例说明它们错误即可。‎ 对③利用面面平行的定义即可判断其正确，对于④利用线面平行的性质来证明即可。‎ ‎【详解】‎ 对照下图，‎ 对于①，令平面，平面,平面,‎ 满足，，但是与不平行。所以①错误。‎ 对于②，令平面，平面，，‎ 满足，，，，但是与不平行，所以②错误。‎ 对于③，利用面面平行的定义即可判断③正确，‎ 对于④，，同理可得：，所以，所以④正确。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了面面平行的判断及线面平行的判断，还考查了线面平行的性质，属于基础题。 ‎ ‎（六）线面平行的判定 例6．如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点、,且，则下列结论错误的是( )‎ A． B．三棱锥的体积为定值 C．∥平面 D．△的面积与△的面积相等 ‎【答案】D ‎【解析】，在平面的投影所在直线为，,由三垂线定理可以得到，故正确 ‎，由几何体的性质及图形可知，故可得三棱锥以△为底面，点A到面的距离为△的高，△的面积为,点A到面的距离为，则三棱锥的体积为定值,故正确 ‎，由正方体可得平面平面，又平面，则∥平面，故正确 ‎，由题可知，△为等腰三角形，到线段的距离为△的高，点到线段的距离为，‎ ‎△的高为，‎ ‎, ,‎ 故△的面积与△的面积不相等，故错误。故选 ‎【点睛】本题考查了立体几何中线面的关系，运用线面平行、垂直来解答，在解答体积问题时注意高的取值，属于中档题 练习1．如图是几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:‎ ‎①直线BE与直线CF共面； ②直线BE与直线AF异面；‎ ‎③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有(　)‎ A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】①连接EF，由E、F分别为PA、PD的中点，可得EF∥AD，从而可得E，F，B，C共面，故直线BE与直线CF是共面直线；‎ ‎②根据E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，E∉AF，B∉平面PAD，可得直线BE与直线AF是异面直线；‎ ‎③由①知EF∥BC，利用线面平行的判定可得直线EF∥平面PBC；‎ ‎④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．‎ ‎【详解】‎ ‎①连接EF，则∵E、F分别为PA、PD的中点，∴EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴E，F，B，C共面，∴‎ 直线BE与直线CF是共面直线，故①正确；‎ ‎②∵E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，E∉AF，B∉平面PAD，∴直线BE与直线AF是异面直线，故②正确；‎ ‎③由①知EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；‎ ‎④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查异面直线的判定，考查线面平行，属于中档题．‎ 练习2．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为 A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，‎ 直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,‎ 在平面内，在平面外，所以平面,‎ 因为与在平面内相交，所以平面平面,‎ 所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，‎ 此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎（七）面面平行的判定 例7．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．平面平面ABN B． C．平面平面AMN D．平面平面AMN ‎【答案】C ‎【解析】分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．‎ ‎∵BC⊥平面ABN，BC⊂平面BCE， ∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确； ‎ 连接PB，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确； ‎ 取MN的中点F，连接AF，CF，AC． ∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形， ‎ ‎∴AF⊥MN，CF⊥MN， ∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角， ‎ ‎∵AF=CF=，AC=，∴AF2+CF2≠AC2，即∠AFC≠， ∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误； ‎ ‎∵DE∥AN，MN∥BD， ∴平面BDE∥平面AMN，故D正确． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，在解题时能运用补的思想将其补成一个正方体，然后求解 练习1．如图，L、M、N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（ ）‎ A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 ‎【答案】C ‎【解析】将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL, 因PQAL可得出PQ平面LMN，同理可得出PR平面LMN,由面面平行的判定定理即可得出结果.‎ ‎【详解】如图 分别取另三条棱的中点A,B,C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因PQAL,AL 平面LMN，PQ平面LMN,故PQ平面LMN,同理，由PRCN，可得PR平面LMN,‎ 因PQ,PR为平面PQR内两相交直线,故平面PQR平面LMN.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，把平面进行延展是本题的关键，是解题的突破口，因此在平时学习要对平面延展性加强练习.‎ 练习2．如图所示，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则下列结论：①；②平面；③平面 平面；④平面.‎ 其中正确结论的序号是（ ）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，‎ 连接，，，，，，，分别是棱，，的中点． ‎ 对于①，因方，是正三角形，所以与不垂直；‎ 对于②，因为平面平面，并且平面，所以平面．‎ 对于③，显然不正确；对于④，，所以面．故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，属于中档题.‎ ‎（八）线面平行的性质 例8．如图，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为，则平行线EH、FG间的距离为( )‎ A．8cm B．6cm C．4cm D．9cm ‎【答案】A ‎【解析】首先根据相似三角形可求出和的长，结合梯形面积公式即可得结果.‎ ‎【详解】由题知，，．‎ 设平行线、之间距离为，‎ 则，∴，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中两条直线的平行关系，相似三角形的性质，梯形的面积等，属于基础题.‎ 练习1．如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F、G分别为C1D1、BC1上一点，C1F=1，且FG∥平面ACE，则BG=（　　）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．‎ 练习2．如图，正方体的棱长为1， 分别是棱的中点，过的平面与棱分别交于点.设， ．‎ ‎①四边形一定是菱形；②平面；‎ ‎③四边形的面积在区间上具有单调性；‎ ‎④四棱锥的体积为定值.‎ 以上结论正确的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为对面互相平行，所以四边形一定是平行四边形；因为EF垂直平面BDD1B1,所以EF垂直GH，所以四边形一定是菱形；因为AC//EF，所以平面；四边形的面积 在区间上先减后增；四棱锥的体积为 ‎,所以正确的是1,2,4，选B 点睛：求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到 ‎（九）面面平行的性质 例9．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′=2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于　(　　)‎ A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5‎ ‎【答案】B ‎【解析】平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，所以AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC===,故选B.‎ 练习1．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，给出的下列命题中，正确的个数为(　　)‎ ‎①a∥b；②a∥b；③α∥β；④ α∥β.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①由平行公理4知a∥b正确. ②a∥b或a与b相交或异面均可，故不正确；‎ ‎③⇒α∥β或α，β相交，不正确；④ α∥β，由面面平行的性质知正确．‎ 故选：B． ‎ 练习2．如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，分别为中点，且，.‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）若为线段上一点，且平面，求的值； ‎ ‎（3）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）连结，利用勾股定理逆定理可证明，又易证，可证明平面（2）连接，根据，平面可得，进而，利用为中点可得结论（3）OA是棱锥的高，求底面直角梯形的面积即可代入体积公式计算.‎ ‎【详解】（1）证明：连结，为的中点 ‎，且，又，是中点，，‎ 由已知，‎ ‎，且是平面内两条相交直线平面.‎ ‎ ‎ ‎（2）连接，由已知底面为直角梯形，，‎ 则四边形为平行四边形所以 因为平面，平面，平面平面，所以所以 因为为中点，所以为中点，所以，又因为点为的中点.所以.‎ ‎（3）由（1）平面得为四棱锥的高，且 又因为是直角梯形，，，‎ 所以直角梯形的面积为 则四棱锥的体积 ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直、平行的判定和性质，棱锥的体积，属于中档题.‎ 练习3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（1）求证：AB∥EF；‎ ‎（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．‎ ‎【解析】（1）证明：底面ABCD是正方形，AB∥CD ,‎ 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，AB∥平面PCD ,‎ 又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，AB∥EF ;‎ ‎（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD CD⊥平面PAD ,又AF⊂平面PAD ,CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，‎ 又AB∥CD，C,D,E,F 在同一平面内，CD∥EF ,点E是棱PC中点， 点F是棱PD中点 ,‎ 在△PAD中，PA=AD，AF⊥PD ,又PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,AF⊥平面PCD．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面垂直的证明，属于基础题.‎ 练习4．如图，三棱柱ABC–A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D为BB1的中点．‎ ‎（1）求证：A1D⊥平面AB1H；‎ ‎（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的体积．‎ ‎【解析】（1）根据面面垂直的性质得到AH⊥A1D，再由条件得到A1D⊥AB1，于是根据线面垂直的判定得到结论成立；（2）方法一：取A1C1的中点G，连接AG，证明AG为三棱柱ABC–A1B1C1的高，然后根据体积公式求出结果．方法二：先求出，然后根据三棱柱ABC–A1B1C1的体积V=3求解．‎ ‎【详解】（1）如图，连接AC1，因为为正三角形，H为棱CC1的中点，所以AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，‎ 又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，‎ 又A1D⊂平面ABB1A1，所以AH⊥A1D．① ‎ 设AB=a，因为AC=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，．‎ 因为AB⊥AA1，所以平行四边形ABB1A1为矩形，所以∠DB1A1=∠B1A1A=90°，所以，‎ 所以∠B1AA1=∠DA1B1，又∠DA1B1+∠AA1D=90°，所以∠B1AA1+∠AA1D=90°，故A1D⊥AB1．②‎ 由①②及AB1∩AH=A，可得A1D⊥平面AB1H．‎ ‎（2）方法一：如图，取A1C1的中点G，连接AG，‎ 因为为正三角形，‎ 所以AG⊥A1C1，‎ 因为平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1B1⊥AA1，‎ 所以A1B1⊥平面AA1C1C，‎ 又AG⊂平面AA1C1C，‎ 所以A1B1⊥AG，‎ 又A1C1∩A1B1=A1，‎ 所以AG⊥平面A1B1C1，‎ 所以AG为三棱柱ABC–A1B1C1的高，‎ 经计算AG=，A1B1·A1C1=×2=，‎ 所以三棱柱ABC–A1B1C1的体积V=·AG=．‎ ‎【点睛】（1）解决空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的利用，这是证明空间垂直关系的基础．另外要熟练运用“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化．‎ ‎（2）求空间几何体的体积的方法有两个：一是根据几何体的特征直接根据体积公式求解；二是将几何体分割成几个便于求体积的几何体后再进行求解．‎