数学文卷·2018届山西省太原十二中高三1月月考（2018 10页

山西省太原市第十二中学2018届高三1月月考 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若曲线在点处的切线经过点，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知函数，则（ ）‎ A．的最小正周期为 B．为偶函数 ‎ C. 的图象关于对称 D．为奇函数 ‎5.某班按座位将学生分为两组，第一组人，第二组人，现采取分层抽样的方法抽取人，再从这人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 设为等比数列的前项和，且关于的方程有两个相等的实根，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，若输入的则输出的的值分别为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 一位数学老师在黑板上写了三个向量，其中都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“与平行，且与垂直”，乙回答：“与平行”，丙回答：“与不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测的值不可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中由一道著名的“引葭赴氨”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.若抛物线的焦点为双曲线虚轴的一个端点，且 与相切，则的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，函数若的值域为，则的最大值与最小值之积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设变量满足约束条件则的最大值为 ．‎ ‎14.已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，且为直角三角形，则圆的标准方程是 ．‎ ‎15.设正项数列满足，则 ．‎ ‎16. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为，则 ‎ ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18. 篮球运动员甲在最近场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出行了污渍，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污渍处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均值为.‎ ‎（1）求污渍处的数字；‎ ‎（2）篮球运动员乙在最近场的比赛中所得分数为.试分别以各自场比赛得分的平均数与方差来分析这两名篮球运动员的发挥水平.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面 为侧棱的中点，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若点到平面的距离为，且，求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知分别为椭圆的右焦点、右顶点，，点为坐标原点，射线与的交点为，且.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与交于两点（在的上方）. 在轴上的射线分别为，且，求.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）设函数，讨论在上的单调性；‎ ‎（2）设，若对恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线向左平移个单位长度得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知为曲线上的动点，两点的极坐标分别为，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且，证明：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:AADCB 6-10:CDCDC 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）证明：，‎ ‎.‎ ‎（2）解：由（1）知.‎ 由余弦定理得或.‎ ‎.‎ 当时，的面积；‎ 当时， 的面积.‎ ‎18. 解：（1）设污渍处的数字分别为.‎ 由于除掉处的数字后剩余个数据的中位数为或，故污渍处的数字为，‎ 所以，则污渍处的数字为.‎ ‎（2）甲的得分的平均数为，‎ 甲的得分的方差为.‎ 乙得分的平均数为，‎ 方差为.‎ 两人的平均水平相当，但乙的得分波动更小，发挥稳定，故乙发挥水平更好.‎ ‎19. （1）证明：取的中点，连接.‎ 为侧棱的中点，.‎ 四边形为平行四边形，则.‎ 平面平面.‎ 平面平面.‎ ‎（2）解：平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面.‎ 平面，‎ 从而到平面的距离为.‎ 过点作于，则.‎ 平面.‎ ‎.‎ 在中，，由等面积法可得.‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎20. 解：（1），且，即，‎ 又点在上，则，‎ ‎，且.‎ 故的方程为.‎ ‎（2）设，‎ 将代入，得，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎21.解：（1），‎ ‎.‎ 当时，，则在上单调递增；‎ 当时，，得，则的单调递增区间为.‎ 令得，则的单调递减区间为.‎ ‎（2），设的两个零点为，‎ 则.‎ 当即时，，‎ 此时即对恒成立，从而在上单调递增，‎ 故.‎ 当即时，令得；令得.‎ 在处取得极小值，，这与对恒成立矛盾，则不合题意.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎22.解：（1），‎ 则曲线的直角坐标方程为，‎ 易知曲线为圆心是，半径为的圆，从而得到曲线的直角坐标方程为，‎ 故曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）两点的直角坐标分别为，‎ 依题意可设，‎ 则，‎ ‎，‎ 故的最大值为.‎ ‎23.证明：（1）当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎.‎ ‎（2）由得或或，‎ 解得，‎ ‎，即. ‎