2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第6章 第2节 基本不等式 9页

第二节　基本不等式 ‎[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ ‎(对应学生用书第81页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．基本不等式≤ ‎ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.‎ ‎ (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎ (3)称为正数a，b的算术平均数.称为正数a、b的几何平均数．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎ (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R当且仅当a＝b时，取等号)；‎ ‎ (2)＋≥2(a，b同号且不为零，当且仅当a＝b时，取等号)；‎ ‎ (3)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时，取等号)；‎ ‎ (4)2≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时，取等号)．‎ ‎3．利用基本不等式求最值问题 ‎ 已知x>0，y>0，则 ‎ (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．‎ ‎ (2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎ (2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)‎ ‎ (3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)‎ ‎ (4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ ‎ A．a2＋b2>2ab　 B．a＋b≥2 ‎ C．＋> D．＋≥2‎ ‎ D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．‎ ‎ 对于D，∵ab>0，‎ ‎ ∴＋≥2＝2.]‎ ‎3．(2018·福州模拟)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于 ‎(　　)‎ ‎ A．2 B．3‎ ‎ C．4 D．5‎ ‎ C　[因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C．]‎ ‎4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ ‎ A．1＋ B．1＋ ‎ ‎ C．3 D．4‎ ‎ C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C．]‎ ‎5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.‎ ‎ 【导学号：00090198】‎ ‎ 25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，‎ ‎ 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，‎ ‎ 则y＝x(10－x)≤2＝25，‎ ‎ 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]‎ ‎(对应学生用书第81页)‎ 直接法或配凑法求最值 ‎　(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ ‎ A．　 B．2‎ ‎ C．2 D．4‎ ‎ (2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．‎ ‎ (1)C　(2)1　[(1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，‎ ‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎ (2)因为x＜，所以5－4x＞0，‎ ‎ 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.‎ ‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．‎ ‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]‎ ‎ [规律方法]　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．‎ ‎ (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．‎ ‎[变式训练1]　(1)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ ‎ A．1＋ B．1＋ ‎ C．3 D．4‎ ‎ (2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ ‎ A．a≥ B．a＞ ‎ C．a＜ D．a≤ ‎ (1)C　(2)A　[(1)当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C．‎ ‎ (2)由x＞0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥，故选A．]‎ 常数代换法或消元法求最值 ‎　(1)(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为________．‎ ‎ (2)(2018·郑州模拟)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． 【导学号：00090199】‎ ‎ (1)　(2)3　[(1)∵正实数x，y满足2x＋y＝2，‎ ‎ 则＋＝(2x＋y) ‎ ＝≥ ‎ ＝，当且仅当x＝y＝时取等号．‎ ‎ ∴＋的最小值为.‎ ‎ (2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]‎ ‎ [规律方法]　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．‎ ‎ 易错警示：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．‎ ‎[变式训练2]　(1)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则＋的最小值为________．‎ ‎ (2)(2018·淮北模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)‎ ‎ A．8 B．4‎ ‎ C．2 D．0‎ ‎ (1)18　(2)A　[(1)因为x＞0，y＞0，且x＋y＝1，‎ ‎ 所以＋＝(x＋y)‎ ‎ ＝10＋＋≥10＋2＝18，‎ ‎ 当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，‎ ‎ 所以当x＝，y＝时，＋有最小值18.‎ ‎ (2)法一：(常数代换法)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x＞0，y＞0.‎ ‎ ∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.‎ ‎ 法二：(不等式法)由x＞0，y＞0得x＋2y＝xy≤·2‎ ‎ 即(x＋2y)2－8(x＋2y)≥0‎ ‎ 解得x＋2y≥8或x＋2y≤0(舍去)‎ ‎ 从而x＋2y的最小值为8.]‎ 基本不等式的实际应用 ‎　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎ (1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎ (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. ‎ ‎【导学号：00090200】‎ ‎ [解]　(1)设所用时间为t＝(h)，‎ ‎ y＝×2×＋14×，x∈[50,100]. 2分 ‎ 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 ‎ y＝＋x，x∈.‎ ‎ (或y＝＋x，x∈). 5分 ‎ (2)y＝＋x≥26 ，‎ ‎ 当且仅当＝x，‎ ‎ 即x＝18，等号成立. 8分 ‎ 故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.‎ ‎ 12分 ‎ [规律方法]　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎ 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎ 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．‎ ‎[变式训练3]　某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.‎ ‎ (1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；‎ ‎ (2)如果限定车型，l ‎＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 【导学号：00090201】‎ ‎ (1)1 900　(2)100　[(1)当l＝6.05时，F＝，‎ ‎ ∴F＝＝≤＝1 900，‎ ‎ 当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”．‎ ‎ ∴最大车流量F为1 900辆/时．‎ ‎ (2)当l＝5时，F＝＝，‎ ‎ ∴F≤＝2 000，‎ ‎ 当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”．‎ ‎ ∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时．]‎