2018届二轮复习圆锥曲线中的探究性问题课件（江苏专用） 80页

专题 7 　解析几何 第 33 练　圆锥曲线中的 探究 性 问题 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 (1) 求椭圆 C 的方程； 解析答案 1 2 (2) 设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A ， B ，线段 AB 的中点为 D . 直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M . ① 求证：点 M 在定直线上； 解析答案 1 2 可得 y ′ ＝ x ，所以直线 l 的斜率为 m ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， D ( x 0 ， y 0 ). 1 2 得 (4 m 2 ＋ 1) x 2 － 4 m 3 x ＋ m 4 － 1 ＝ 0. 解析答案 1 2 解析答案 1 2 1 2 1 2 解析答案 (1) 求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； 1 2 方程 ① 的判别式为 Δ ＝ 24( b 2 － 3) ，由 Δ ＝ 0 ，得 b 2 ＝ 3 ， 点 T 的坐标为 (2,1). 1 2 解析答案 (2) 设 O 是坐标原点，直线 l ′ 平行于 OT ，与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ，且与直线 l 交于点 P . 证明：存在常数 λ ，使得 PT 2 ＝ λPA · PB ，并求 λ 的值 . 返回 1 2 解析答案 设点 A ， B 的坐标分别为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 1 2 解析答案 可得 3 x 2 ＋ 4 mx ＋ (4 m 2 － 12) ＝ 0 . ② 方程 ② 的判别式为 Δ ＝ 16(9 － 2 m 2 ) ， 1 2 返回 高考 必会题型 题型一　定值、定点问题 (1) 求椭圆 C 的方程； 解析答案 解析答案 点评 解析答案 解　 ∵ 直线 l 与 y 轴相交于点 M ，故斜率存在， 又 F 坐标为 (1,0) ，设直线 l 方程为 y ＝ k ( x － 1) ，求得 l 与 y 轴交于 M (0 ，－ k ) ， 设 l 交椭圆 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 消去 y 得 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 － 8 k 2 x ＋ 4 k 2 － 12 ＝ 0 ， 点评 点评 点评 (1) 定点问题的求解策略 把直线或曲线方程中的变量 x ， y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x ， y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点 . 点评 (2) 定值问题的求解策略 在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是 “ 定值 ” 问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定 “ 定值 ” 是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值 . 解析答案 变式训练 1 　 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，过点 M (5 ，－ 2) 的动直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，当直线 l 的斜率为－ 1 时，点 M 恰为 AB 的中点 . (1) 求抛物线的方程； 解 　当直线 l 的斜率为－ 1 时， 直线 l 的方程为 x ＋ y － 3 ＝ 0 ，即 x ＝ 3 － y ， 代入 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 得 y 2 ＋ 2 py － 6 p ＝ 0 ， 所以抛物线的方程为 y 2 ＝ 4 x . 解析答案 (2) 抛物线上是否存在一个定点 P ，使得以弦 AB 为直径的圆恒过点 P ，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 . 解析答案 解 　设直线 l 的方程为 x ＝ m ( y ＋ 2) ＋ 5 ， 代入 y 2 ＝ 4 x 得 y 2 － 4 my － 8 m － 20 ＝ 0 ， 则 y 1 ＋ y 2 ＝ 4 m ， y 1 y 2 ＝－ 8 m － 20 ， 当 y 1 ＝ y 0 或 y 2 ＝ y 0 时，等式显然成立； 当 y 1 ≠ y 0 或 y 2 ≠ y 0 时， 则有 ( y 1 ＋ y 0 )( y 2 ＋ y 0 ) ＝－ 16 ， (4 m ＋ y 0 ＋ 2)( y 0 － 2) ＝ 0 ， 解得 y 0 ＝ 2 ， x 0 ＝ 1 ， 所以存在点 P (1,2) 满足题意 . 题型二　定直线问题 例 2 　 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C (0 ， p ) 作直线与抛物线 x 2 ＝ 2 py ( p >0) 相交于 A ， B 两点 . (1) 若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求 △ ANB 面积的最小值； 解析答案 解 　方法一　依题意，点 N 的坐标为 (0 ，－ p ) ， 可设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ p ， 解析答案 消去 y 得 x 2 － 2 pkx － 2 p 2 ＝ 0. 由根与系数的关系得 x 1 ＋ x 2 ＝ 2 pk ， x 1 x 2 ＝－ 2 p 2 . 解析答案 点评 (2) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 解析答案 点评 解 　 方法一 假设 满足条件的直线 l 存在，其方程为 y ＝ a ， AC 的中点为 O ′ ， l 与以 AC 为直径的圆相交于点 P ， Q ， PQ 的中点为 H ， 解析答案 ∴ PH 2 ＝ O ′ P 2 － O ′ H 2 点评 解析答案 此时 PQ ＝ p 为定值，故满足条件的直线 l 存在， 点评 解析答案 方法二 假设 满足条件的直线 l 存在，其方程为 y ＝ a ， 则以 AC 为直径的圆的方程为 ( x － 0)( x － x 1 ) ＋ ( y － p )( y － y 1 ) ＝ 0 ， 将直线方程 y ＝ a 代入得 x 2 － x 1 x ＋ ( a － p )( a － y 1 ) ＝ 0 ， 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P ( x 3 ， y 3 ) ， Q ( x 4 ， y 4 ) ， 则有 PQ ＝ | x 3 － x 4 | 点评 此时 PQ ＝ p 为定值，故满足条件的直线 l 存在， (1) 定直线由斜率、截距、定点等因素确定 . (2) 定直线一般为特殊直线 x ＝ x 0 ， y ＝ y 0 等 . 点评 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 解析答案 解 　设 P ( x 0 ， y 0 ) ，则直线 PA 、 PB 的方程分别为 将 x ＝ 4 分别代入可求得 D ， E 两点的坐标分别为 解析答案 又 ∵ 点 P ( x 0 ， y 0 ) 在椭圆 C 上， 解析答案 证明　 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， R (4 ， t ) ， 代入椭圆方程得 (4 ＋ x ) 2 ＋ 9 t 2 ＝ 9(1 ＋ x ) 2 ， ① ∴ 4 x ＋ 4 y ＋ 5 ＝ 0. 题型三　存在性问题 例 3 　 (1) 已知直线 y ＝ a 交抛物线 y ＝ x 2 于 A ， B 两点 . 若该抛物线上存在点 C ，使得 ∠ ACB 为直角，则 a 的取值范围 为 _ _ _______. 解析答案 解析　 以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a ， 即 ( y － a ) [ y － ( a － 1) ] ＝ 0 ， [1 ，＋ ∞ ) 解析答案 ① 求点 M 的轨迹方程； 解　 设点 M 的坐标为 M ( x ， y )( x ≠ 0) ， 即 ( x ， y － 1)·( x ， y ＋ 1) ＝ 0 ， ∴ x 2 ＋ y 2 ＝ 1( x ≠ 0) ， 即 点 M 的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 1( x ≠ 0). 解析答案 解　 设 P ( x ， y ) ，则 M ((1 ＋ λ 0 ) x ， y ) ， 代入 M 的轨迹方程有 (1 ＋ λ 0 ) 2 x 2 ＋ y 2 ＝ 1( x ≠ 0). ∴ 点 P 的轨迹为椭圆 ( 除去长轴的两个端点 ). 要使点 P 到 A ， B 的距离之和为定值， 点评 解析答案 点评 解析答案 点评 存在性问题求解的思路及策略 (1) 思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在 . (2) 策略： ① 当条件和结论不唯一时要分类讨论； ② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 . 点评 (1) 求椭圆 E 的方程； 解析答案 解　 由已知，得点 C ， D 的坐标分别为 (0 ，－ b ) ， (0 ， b ) ， 解析答案 返回 解　 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ 1 ， A ， B 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 解析答案 其判别式 Δ ＝ (4 k ) 2 ＋ 8(2 k 2 ＋ 1) ＞ 0 ， ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ λ [ x 1 x 2 ＋ ( y 1 － 1)( y 2 － 1)] 解析答案 ＝ (1 ＋ λ )(1 ＋ k 2 ) x 1 x 2 ＋ k ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD ， ＝－ 2 － 1 ＝－ 3. 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 解析答案 (1) 求椭圆 E 的方程； 解析答案 (2) 经过点 (1,1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P ， Q ( 均异于点 A ) ，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. 1 2 3 4 解析答案 得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 － 4 k ( k － 1) x ＋ 2 k ( k － 2) ＝ 0 ，由已知 Δ ＞ 0 ， 设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， x 1 x 2 ≠ 0 ， 从而直线 AP ， AQ 的斜率之和 1 2 3 4 1 2 3 4 解析答案 (1) 求椭圆 C 的标准方程； 解　 由题意得 c ＝ 1 ，所以 a 2 ＝ b 2 ＋ 1 ， 1 2 3 4 解析答案 (2) 设过定点 T (0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A ， B ，且 ∠ AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围； 1 2 3 4 解析答案 解　 设直线 l 方程为 y ＝ kx ＋ 2 ，设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 3 4 即 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 >0 ， 所以 x 1 x 2 ＋ ( kx 1 ＋ 2)( kx 2 ＋ 2)>0 ， 所以 (1 ＋ k 2 ) x 1 x 2 ＋ 2 k ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4>0 ， 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 解析答案 设点 P ( x 0 ， y 0 ) ， M ( x 3 ， y 3 ) ， N ( x 4 ， y 4 ) ， 1 2 3 4 1 2 3 4 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 解　 设椭圆的半焦距为 c . 1 2 3 4 解析答案 (2) 过动点 M (0 ， m )( m ＞ 0) 的直线交 x 轴于点 N ，交 C 于点 A ， P ( P 在第一象限 ) ，且 M 是线段 PN 的中点 . 过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q ，延长 QM 交 C 于点 B . 1 2 3 4 证明 　设 P ( x 0 ， y 0 )( x 0 ＞ 0 ， y 0 ＞ 0). 由 M (0 ， m ) ，可得 P ( x 0 ,2 m ) ， Q ( x 0 ，－ 2 m ). 1 2 3 4 解析答案 ② 求直线 AB 的斜率的最小值 . 1 2 3 4 解析答案 解　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 由 ① 知直线 PA 的方程为 y ＝ kx ＋ m . 直线 QB 的方程为 y ＝－ 3 kx ＋ m . 整理得 (2 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 4 mkx ＋ 2 m 2 － 4 ＝ 0 ， 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 解析答案 由 m ＞ 0 ， x 0 ＞ 0 ，可知 k ＞ 0 ， 1 2 3 4 1 2 3 4 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 解　 由已知得 c ＝ 1 ， a ＝ 2 c ＝ 2 ， b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 3 ， 1 2 3 4 解析答案 (2) 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M ， N ，是否存在直线 l ，使得 △ BFM 与 △ BFN 的面积比值为 2 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 返回 1 2 3 4 解析答案 不符合题意，舍去； 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， 1 2 3 4 (3 ＋ 4 k 2 ) y 2 ＋ 6 ky － 9 k 2 ＝ 0 ， 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 返回 1 2 3 4