2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末数学理试题（解析版） 12页

大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷 高二数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合抛物线的标准方程可得：‎ 抛物线的准线方程为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2. 命题：“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论，‎ 所以命题：“”的否定是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3. 若，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，等号当且仅当即时等号成立.则的最小值是2.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4. 已知是等差数列，，则该数列前项和等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：设公差为d，‎ 则由已知得 2a1+d="4" 2a1+13d=28 ⇒ a1="1" d=2 ⇒S10=10×1+10×9 =100，‎ 故选B．‎ ‎5. 命题，命题，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】对于命题，求解有 显然命题对应的集合为命题对应集合的真子集，所以是的充分不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ ‎6. 已知实数满足，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，‎ 其中，由，将直线l：进行平移，‎ 观察y轴上的截距变化，可得：当l经过点时，目标函数达到最小值，‎ ‎∴z最小值为 本题选择B选项.‎ ‎7. 已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎∴‎ ‎∵椭圆方程为 ‎∴‎ ‎∴的周长为 故选C ‎8. 平行六面体中，向量两两的夹角均为，且，,则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，∵平行六面体中，向量两两的夹角均为60°，且，‎ 本题选择A选项.‎ ‎9. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由直线与曲线相切，设切点坐标是，则有，由曲线可得，所以切线的斜率是，‎ 据此有：，求解方程组有：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．‎ ‎ (2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．‎ ‎10. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的 解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,由于解决为,故,且,故的开口向下,两个根为,所以解集为.故选.‎ ‎11. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：抛物线焦点为，所以双曲线中，，双曲线方程为 考点：双曲线抛物线方程及性质 ‎12. 若的定义域为，恒成立，，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，‎ 因为恒成立,所以即函数F(x)在R上单调递减.‎ 因为,所以，‎ 则不等式即，‎ 据此可得：.‎ 所以，即不等式解集为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 是公比为正数的等比数列，若则数列的前项和为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，则，‎ ‎，解得，，‎ ‎∴数列的前5项和.‎ ‎14. 直线与椭圆相交于两点，则___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：把代入椭圆化简可得，‎ ‎∴，‎ 由弦长公式可得 考点：直线与椭圆方程相交的弦长问题 ‎15. 为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，垂直于轴，且三角形为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由椭圆的通径公式可得：，由抛物线方程可得，‎ 三角形为等腰直角三角形，则：，‎ 即：，整理可得：，‎ 求解关于的方程可得：，‎ 椭圆的离心率，据此可知，椭圆的离心率为.‎ ‎16. 点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由垂直平分线的性质有，所以，‎ 又，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是C，F为焦点，以4为实轴长的双曲线，‎ ‎，，‎ 所以点Q的轨迹方程是.‎ 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 过抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于两点.‎ 求证：‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】【试题分析】当直线斜率不存在时,可求得两点的坐标,可得成立.当直线斜率存在时,用点斜式设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,消去,用韦达定理证明.‎ ‎【试题解析】‎ 当过焦点的直线垂直于轴时，则成立，‎ 当直线不与轴垂直时，设 得 所以 .‎ ‎18. 已知等差数列 的前项和为，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）等比数列，若，求数列的前项和 ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1） 由，可得则数列的公差通项公式为 ‎（2）由(1)可得，则公比从而，分组求和可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 由，得，所以 又因为，所以公差 从而 ‎（2）由(1)可得，所以公比 从而，则，‎ 分组求和可得.‎ 点睛：数列求和的方法技巧 ‎(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．‎ ‎(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．‎ ‎(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．‎ ‎19. 如图，四边形是直角梯形，平面,‎ ‎（1）求直线与平面所成角的余弦；‎ ‎（2）求平面和平面所成角的余弦.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，由题意可得则，平面的一个法向量为，据此计算可得与平面所成的角的余弦值为 ‎（2）平面的一个法向量为，计算可得平面的一个法向量为据此计算可得平面和平面所成角的余弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 如图建系，‎ S(0,0,2), C(2,2,0), D(1,0,0),‎ 平面，故平面的一个法向量为 设与平面所成的角为，由题意可得：，‎ 故，即与平面所成的角余弦为.‎ ‎（2）平面的一个法向量为 ‎,设平面的一个法向量为，‎ 由 令可得平面的一个法向量为 显然，平面和平面所成角为锐角，不妨设为则 即平面和平面所成角的余弦.‎ ‎20. 已知函数在与时都取得极值.‎ ‎（1）求的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)或.‎ ‎【解析】 试题分析：（1）根据极值定义得f¢（）＝0，f¢（1）=0，解方程组可得的值，再列表根据导函数符号确定单调区间（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题：f（x）最大值f（2）＝2＋c 解得c<－1或c>2‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. ‎ ‎21. 如图，四棱柱中，侧棱 底面,为棱的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得：‎ ‎（1）易得,则,‎ ‎（2）由题意可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，则,故二面角的正弦值为 试题解析：‎ 如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，‎ 依题意得，‎ ‎（1）证明：易得,于是,‎ 所以 ‎（2）,设平面的一个法向量，‎ 则,即消去，得，不妨令，所以平面的一个法向量为 由（1）知，又平面，‎ 所以平面，故为平面的一个法向量，‎ 于是,‎ 从而 所以二面角的正弦值为 ‎22. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】(1)利用列方程,可求得,由题意可知,由此求得,且出去椭圆的标准方程.(2) 设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题意知，‎ 由，得，解得：‎ 椭圆的方程为 离心率为 ‎（2），设直线的方程为 联立，得 设，则 由已知得，得，即 解得：，‎ 符合直线的方程为.‎