数学理卷·2019届四川省成都石室中学高二10月月考（2017-10） 8页

成都石室中学 2017 年 10 月高二月考 数学（理科）试卷 （时间：120 分钟满分：150 分） 一． 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．每小题只有一个正确选项． 1. 在空间直角坐标系 中，点 关于 平面对称的点的坐标是 2. 若 、 表示两条直线， 表示平面，下列说法中正确的为 A. 若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则 3. 空间四边形 中, , , ,点 在 上,且 ,点 为 中点,则 等于 A． B． C． D． 4.设双曲线 的虚轴长为 ，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程 为 A. B. C. D. 5.直线 经过 ， 两点 ，那么直线 的倾斜角的取值范围是 A． B. C. D. 6.已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于 ，则此椭圆的 方程为 A. B. C. D. 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 A． B． C． D． Oxyz (1, 2,3)M − xOz .( 1, 2,3)A − − .(1, 2, 3)B − − .( 1,2, 3)C − − .(1,2,3)D a b α α⊥a ba ⊥ α//b α//a ba ⊥ α⊥b α⊥a b α⊂ ba ⊥ α//a α//b ba // OABC OA a=  OB b=  OC c=  M OA 1 3OM OA=  N BC MN 1 1 1 2 3 2a b c− +   1 1 1 3 2 2a b c− + +   1 1 1 2 2 2a b c+ −  1 1 1 3 3 2a b c+ −   2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 3 2y x= ± 2y x= ± 2 2y x= ± 1 2y x= ± l )1,2(A 1(1, 2)B m m + − ( 0)m > l [ , )4 2 π π [0, ] ( , )4 2 π π π ]4,0[ π [0, ) ( , )4 2 π π π 2 2 14 12 y x− = 8 5 2 2 19 25 x y+ = 2 2 125 9 x y+ = 2 2 15 x y+ = 2 2 15 yx + = 21 3+ 18 3+ 21 18 8.在正三棱柱 中，点 为 的中点，点 是线段 上的动点，则关于 点 到平面 的距离说法正确的是 A.点 运动到点 时距离最小 B.点 运动到线段 的中点时距离最大 C.点 运动到点 时距离最大 D.点 到平面 的距离为定值 9. 如果点 既在平面区域 上, 且又在曲线 （ ）上，则 的最小值为 A. B. C. D. 10.设 为双曲线 ： 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲 线 的左、右支交于点 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 11.在长方体 中,点 分别是棱 上的 动点， ,直线 与平面 成 角，则三棱 锥 体积的最小值是 A. B. C. D. 12.设椭圆 的左、右焦点分别为 ，其焦距为 ，点 在椭圆的外部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭 圆离心率的取值范围是 1 1 1ABC A B C− D AC M 1AB M 1C BD M A M 1AB M 1B M 1C BD P 2 0 2 0 2 2 x y x y y x − + ≥  + − ≤  ≥ + 2 2 2 4 x y m+ = 0m > m 1 2 1 2 2 1 4 F C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > C ,P Q 3FQ PF= 60FPQ∠ =  3 1 3+ 2 3+ 3 2 3+ ABCD A B C D′ ′ ′ ′− ,P Q ,BC CD 4, 3, 2 3BC CD CC′= = = CC′ PQC′ 30° C PQC′− 8 3 3 6 15 5 10 3 3 16 3 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2F F、 2c , 2 aQ c     P C 1 1 2 5 3PF PQ F F+ < M D C 1 B 1 A 1 C B A A． B． C. D． 二．填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.双曲线 的一个焦点到其渐近线距离为 ，则 的值为______． 14.矩形 中， 沿 将矩形 折成一个大小为 的二面角 ，则四面体 的外接球的表面积为________． 15.椭圆 的左、右焦点分别为 弦 过 ，若 的内切圆的周长为 两点的坐标分别为 则 =. 16.已知两定点 和一动点 ，给出下列结论： ①若 ，则点 的轨迹是椭圆； ②若 ，则点 的轨迹是双曲线； ③若 ，则点 的轨迹是圆； ④若 ，则点 的轨迹关于原点对称； ⑤若直线 斜率之积等于 ，则点 的轨迹是椭圆(除长轴两端点). 其中正确的是_______(填序号) 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若 ，求 ． 18．（本小题满分 12 分）已知圆 经过 和 ，且圆 在直线 上， （Ⅰ）求圆 的标准方程； （Ⅱ）若直线 垂直于直线 且与圆 相切.求直线 的方程． 30, 4      2 3,2 4       2 ,12       3 ,14      2 2 14 x y k + = 3 k ABCD 8, 6,AB BC= = AC ABCD 2 π B AC D− − ABCD 2 2 125 16 x y+ = 1 2, ,F F AB 1F 2ABF∆ 2 ,π ,A B 1 1 2 2( , ),( , ),x y x y 2 1| |y y− 1 2( 1,0), (1,0)F F− P 1 2| | | | 2PF PF+ = P 1 2| | | | 1PF PF− = P 1 2 | | ( 0, 1)| | PF PF λ λ λ= > ≠ P 2 1 2| | | | ( 0)PF PF a a= ≠ P 1 2PF PF与 m ( 0)m ≠ P ABC∆ A B C a b c 2sin( ) 2sin ( )2 4 CA B π− = − sin cosA B 2 3 3 a b = B C (1,1)A (2, 2)B − C :3 4 1 0l x y− + = C m l C m D’ ’ A B C D O A’ B’ C’ 19．（本小题满分 12 分）如图，在正方体 中， 是 的中心， 分别是线段 上的动点，且 ． （Ⅰ）若直线 平面 ，求实数 的值； （Ⅱ）若 ，正方体 的棱长为 ，求平面 和平面 所成二面 角的余弦值． 20．（本小题满分 12 分）已知双曲线 渐近线方程为 ， 为坐 标原点，点 在双曲线上. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）已知 为双曲线上不同两点，点 在以 为直径的圆上，求 的值. 21．（本小题满分 12 分）如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， ， ． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）若 ，直线 上是否存在点 , 使得 与平面 所成角的正弦值为 .若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分 12 分）已知圆 ，圆心为 ，定点 ， 为圆 上一点，线段 上一点 满足 ,直线 上一点 ，满足 ． F E O A D D'A' CB C'B' E F O A D D'A' CB C'B' ABCD A B C D′ ′ ′ ′− O A BD′∆ ,E F ,A C C D′ ′ ′ ( ), 1 ( )A E A C C F C D Rλ λ λ′ ′ ′ ′ ′= = − ∈    / /OE BC D′ λ 1 2 λ = ABCD A B C D′ ′ ′ ′− 2 BEF A BD′ 2 2 2 2 1( 0)x y b aa b − = > > 3y x= ± O ( 3, 3)M − ,P Q O PQ 2 2 1 1 OP OQ + ABCD A B C D′ ′ ′ ′− ABCD AC BD O= 2A B A D′ ′= = 2AB AA′= = ACO′ ⊥ BBDD′ ′ 60BAD∠ =  B C′ M AM ABA′ 10 35 B M MC ′ 2 2 1 :( 1) 8F x y+ + = 1F 2 (1,0)F P 1F 2PF N 2 22PF NF=  1PF Q 2 0QN PF⋅ =  （Ⅰ）求点 的轨迹 的方程； （Ⅱ） 为坐标原点,⊙ 是以 为直径的圆，直线 与⊙ 相切，并与轨 迹 交于不同的两点 ．当 且满足 时，求 面积 的取值 范 围． 成都石室中学 2017—2018 学年度上期高 2019 届 10 月月考 数学（理科）试题参考答案 一． 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C B A A D C B A D 二． 填空题 13. 14. 15. 16.③④ 三． 解答题 17.（Ⅰ） ， 故 ，∴ ．………………5 分 （Ⅱ）由正弦定理得 ， 由（Ⅰ）知 ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ．………………10 分 18.（Ⅰ）圆 的标准方程为： ………………………6 分 （Ⅱ） …………………12 分 19.（1）取 的中点 ， ∵ 是正 的中心 ∴点 在 上，且 ， Q C O O 21FF mkxyl +=: O C BA, λ=⋅OBOA 3 4[ , ]5 5 λ ∈ OAB∆ S 9− 100π 10 3 sin( ) 1 cos( )2A B C π− = − − 1 sinC= − 1 sin( )A B= − + 2sin cos 1A B = 1sin cos 2A B = sin 2 3 sin 3 A a B b = = 2 3 3 1sin cos sin cos sin 23 3 2A B B B B= = = 3sin 2 2B = 2 3B π= 2 3 π 6B π= 3 π C 2 2( 3) ( 2) 25x y+ + + = 4 3 7 0,4 3 43 0x y x y+ − = + + = BD M O ABD′∆ O AM′ 2A O OM ′ = z y x A B C D O 1A 1B 1C1D ∵当 时， 平面 , ∴ .…………6 分 （2）当 时，点 分别是 的中点.建立直角坐标系计算得 .…………12 分 20. （Ⅰ） …………4 分 （Ⅱ）由题意设 OP 直线方程为 ，OQ 直线方程为 . ,即 P 点坐标为 ， 同理 Q 点坐标为 ，得 …………12 分 21.（Ⅰ）证明：由 ，O 为 的中点，则 . 又因为 是菱形，所以 ．因为 ， 所以 平面 ．因为 平面 ， 所以平面 平面 ．……………………5 分 （Ⅱ）由 ， 是菱形，可得 , 由 ，可得 . 在 中，由 ，可得 .可得 两两相互垂直. 以 为原点， ， ， 方向为 ， ， 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．则 ， ， ， ， 由 ，可得 , ． 设 ， , OE ′∥CM ∥OE BC D′ 3 2=λ 2 1=λ FE， AC CD′ ′ ′， 33 335cos = ⋅ ⋅ = nm nmθ 2 2 12 6 x y− = y kx= 1y xk = − 2 2 2 2 1 62 6 3 x y x ky kx  − = ⇒ = − = 2 2 2 6 6( , )3 3 k k k− − 2 2 2 6 6( , )3 1 3 1 k k k− − 2 2 1 1 1 3OP OQ + = 1 1A B A D= BD AO BD⊥ ABCD CO BD⊥ 1AO CO O= BD⊥ 1ACO BD⊂ 1 1BBDD 1 1BBDD⊥ 1ACO 60BAD∠ =  ABCD 1BO= 3AO = 1 2A B = 1 1A O = 1AOA 1 2AA = 1AO AO⊥ 1, ,OA OB OA O O B O C 1OA x y z ( )1,0,0B ( )0, 3, 0C ( )0, 3,0A − ( )1 0,0,1A ( )1 1 1 0, 3,1CC BB AA= ==   ( )1 0, 2 3,1C ( )1 1, 3,1B 0 0 0( , , z )M x y 1 1 ( ,0, )B M B Cλ λ λ= = − − . 设平面 的法向量为 ， 因为 ， ，所以 得 ． 所以 所以 或 ……………………12 分 22.（Ⅰ） 为线段 中点 为线段 的中垂线 由椭圆的定义可知 的轨迹以以 为焦点的椭圆，且 则 轨迹 C 的方程为： ……………………3 分 （Ⅱ）∵圆 O 与直线 l 相切，∴ ，即 m2=k2+1，由 ，消去 y：（1+2k2） x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线 l 与椭圆交于两个不同点，∴△＞0，∴k2＞0，设 A（x1，y1），B （x2，y2），则 x1+x2=﹣ ， ，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= = ， =x1x2+y1y2= =λ， 解得： ，…………8 分 S=S△AOB= == ，设 μ=k4+k2，则 ， …………12 分 1 1 (1 , 2 3,1 )AM AB B M λ λ= + = − −   1ABB ( ), ,x y z=n ( )1, 3, 0AB = ( )1 0, 3,1BB = 3 0, 3 0. x y y z  + = + = ( )3,1, 3= − −n 2 2 3 10 1 7sin cos , .35 4 267 2 4 14 AM λ θ λ λ λ λ = < >= = ⇒ = = − − +   或n 1 1= 3 B M MC 1 7= .33 B M MC 2 22PF NF=   N∴ 2PF 2 0QN PF⋅ =   QN∴ 2PF 2QP QF∴ = 1 1 1 2 2 2FP FQ QP FQ QF= + = + = ∴ Q 1 2,F F 2, 1a c= = Q 2 2 12 x y+ = 21 23 k≤ ≤ 4 69 µ≤ ≤ 2 2 2 3,5 5S  ∈   