2018届二轮复习 圆锥曲线的基本问题 学案（ 江苏专用） 7页

专题11：圆锥曲线的基本问题(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、课前测试 ‎1．(1)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是 ．‎ ‎(2)双曲线的离心率，则的取值范围是 ．‎ ‎(3)若a≠0，则抛物线y＝4ax2 的焦点坐标为 ．‎ 答案：(1)3或5．(2)(－12,0)．(3)(0,)．‎ ‎2．(1) 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 。‎ ‎(2)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，则双曲线离心率e的范围为 ．‎ 答案：(1) ．(2)(1,2＋)．‎ ‎3． (1) 椭圆(a＞b＞0)的两焦点为F1、F2，连接点F1，F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎(2)已知、是椭圆(＞＞0)的两个焦点，为椭圆上一点，且PF1⊥PF2．若的面积为9，则b的值为______ ______． ‎ ‎ (3)已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M满足，则椭圆离心率的取值范围是 ．‎ ‎(4)双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 ．‎ ‎(5)已知定点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，当|PA|＋|PF|最小时，点P的坐标为 ． ‎ ‎ ‎ 答案：(1)－1．(2)3．(3)[,1)．(4)(1,3]．(5)(2,2)．‎ 二、方法联想 ‎1．方程的标准形式 涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线的开口方向．‎ 变式：(1)以y＝±x为渐近线的双曲线的离心率是 ．‎ 答案：或 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系)‎ ‎(2)以抛物线y＝4x的焦点为焦点，以y＝±x为渐近线的双曲线的标准方程为 ．‎ 答案：－＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)‎ ‎2．基本量运算 涉及a、b、c的关系式时，‎ 椭圆利用a2－b2＝c2消元，注意离心率范围为(0，1)．‎ 双曲线利用a2＋b2＝c2消元，注意离心率范围为(1，＋∞)．‎ ‎3．定义的应用 涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围．‎ 焦点三角形常用结论（以焦点在x轴的方程为例）： ‎ 图形 P F1‎ F2‎ P F1‎ F2‎ 定义 PF1＋PF2＝‎‎2a ‎|PF1－PF2|＝‎‎2a 离心率 三边与顶角关系 顶角范围 ‎∠F1PF2在短轴顶点取最大值(不能直接用于解答题)‎ 三角形面积 焦半径范围 以左焦点F1为例：a－c≤PF1≤a＋c 以左焦点F1为例：‎ 若P在左支上，则PF1≥c－a 若P在右支上，则PF1≥c＋a 变式：(1)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别是A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________．‎ 答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)‎ ‎(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________．‎ 答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)‎ ‎(3)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．‎ 答案：(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)‎ 三、例题分析 x y O l F P 例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．‎ 答案：（1）椭圆C的标准方程为＋＝1．‎ ‎（2）设线段的中垂线为，线段的中点，斜率，‎ 线段的中垂线为，由得，由 当且仅当时，圆心M到x轴的距离最小。‎ 圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程为x2＋y2－2x－4y＝0．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．椭圆右准线方程为x＝，离心率e＝．已知了椭圆的焦点坐标、准线方程及长短、轴的位置，就确定了椭圆方程形式．已知焦点坐标与已知半焦距c是有区别的．‎ ‎2．由已知的准线方程和离心率就能求出椭圆中的a，b，c三个基本量．‎ ‎3．过已知三点的圆的圆心坐标的求法：（1）先求出圆的方程，再求圆心坐标；（2）求出某两边中垂线的交点．‎ ‎4．建立目前函数，利用基本不等式求出最小值，并确定等号成立的条件，求出所求圆的圆心坐标．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．由于本题最后结果要求圆方程，所以在求圆心的时候，先求出圆的方程，再求圆心坐标．‎ ‎2．最后的目标函数求最小值，引导学生发现利用基本不等式的方法优于求导的方法．‎ 例2 已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于点M．‎ A x y B F M O N l l′‎ ‎（1）若BF＝2，求B点坐标；‎ ‎（2）问：是否为定值．‎ 答案：（1）B（，±） ‎ ‎（2）是定值为 ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．求B点坐标可以利用点B在椭圆上以及BF＝2，通过解方程组进行求解；也可以利用圆锥曲线的统一定义求解．本题可以提醒学生如何求点B与左焦点之间的距离．‎ ‎2．利用“点差法”求弦AB的中垂线方程．‎ ‎3．由于弦AB是过焦点的弦，所以求AB长的时候用到了圆锥曲线的统一定义．‎ ‎4．在求AB长的时候利用了梯形中位线定理，灵活运用了平面几何性质．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．利用圆锥曲线的统一定义求解显然简化运算过程．‎ ‎2．利用圆锥曲线的统一定义结合梯形中位线定理求AB的长．‎ 例3 在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．‎ ‎（1）求椭圆的离心率e；‎ ‎（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足•＝－2，求点M的轨迹方程．‎ 答案：（1）椭圆的离心率为e＝．‎ ‎（2）点M的轨迹方程为18x2－16xy－15＝0，（x＞0）．‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．△F1PF2为等腰三角形，需要讨论哪两条边相等．‎ ‎2．由两条边相等可得出关于a，c的二次齐次方程，从中求出离心率e值．‎ ‎3．要结合椭圆离心率的范围(0，1)对所求出的值进行取舍．‎ ‎4．设动点M的坐标为（x，y），利用所给的等量关系，得出关于x，y的方程，即为轨迹方程．关注方程中变量的取值范围．‎ ‎5．运算过程中，尽可能减少量的存在，利用e＝，椭圆方程中的a，b都可以用c 来表示．‎ ‎6．解直线PF2的方程和椭圆方程组成的方程组，求出A，B两点坐标．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．运算过程中，尽可能减少量的存在，这样便于发现关系，简化运算．‎ 四、反馈练习 ‎1． 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为_____________.‎ 答案：＋＝1　‎ 说明：本题考查椭圆的定义 ‎2．设圆锥曲线E的两个焦点分别为F1，F2，若曲线E上存在点P满足|PF1|：|F‎1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线E的离心率等于____________‎ 答案：　 或 说明：本题考查椭圆的离心率定义 ‎3．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F‎1A|＝2|F‎2A|，则cos∠AF‎2F1＝_________________‎ 答案：　‎ 说明：本题考查双曲线定义、余弦定理 ‎4．已知F为双曲线C：x2－my2＝‎3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为____________.‎ 答案：　‎ 说明：本题考查双曲线焦点到渐近线的距离为b ‎5．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ‎ ‎ ‎ 答案：　‎ 说明：本题考查双曲线的渐近线及两平行线间的距离。‎ ‎6．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝_______________‎ 答案：3　‎ 说明：本题考查比例线段的向量处理、抛物线焦半径 ‎7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________.‎ 答案： 说明：本题考查三角形面积的分割 ‎8．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________． ‎ 答案：　‎ 说明：本题考查点差法 ‎9. 已知点F1、F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么 ‎|1＋2|的最小值是________．‎ 答案：　2‎ 说明：本题考查椭圆方程的应用.‎ ‎10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴的正半轴交于点A，O是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，求椭圆的离心率的取值范围是______________．‎ 答案：3 ; (2) 存在x0＝满足条件．‎ 说明：(1)本题考查垂直平分线的处理方法.‎ ‎(2) 提示：点E到直线AB的距离d为|AB|的..‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左 准线l的距离为3.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ 答案：（1）（2）或．‎ 说明：(1)求椭圆方程（2）本题考查弦长、两点间的距离.‎ ‎15.已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)若曲线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．（直线与圆锥曲线的位置关系、基本不等式）‎ 答案：(1) x2＝2y(x≠0)．(2) x－y－1＝0或x＋y＋1＝0.‎ 说明：(1) 本题考查求轨迹方程（2）本题考查求抛物线的切线. 解法一：Δ＝0. 解法二：导数法.‎