高中数学第二章 §3 计算导数 课件 17页

第二章 变化率与导数 §3 计算导数 1. 平均变化率的概念： 函数 f(x) 从 x 1 到 x 2 的 平均变化率 : 2. 导数的定义： 一般地，函数 y=f （ x ）在 x=x 0 处的瞬时变化率是： 我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数（ derivative ）， 记作 或 ，即 4. 求函数 y=f(x) 在点 x 0 处的导数的基本方法是 : 3. 函数 y=f(x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 , 就是曲线 y= f(x) 在点 P(x 0 ,f(x 0 )) 处的切线的斜率 . 5. 求切线方程的步骤： （ 1 ）求出函数在点 x 0 处的变化率 ，得到曲线 在点 (x 0 ,f(x 0 )) 的切线的斜率。 （ 2 ）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 如果函数 y = f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x ∈ ( a , b ) ，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。称这个函数 为函数 y = f ( x ) 在开区间内的 导函数 ，简称 导数 ，也可记作 ，即 ＝ ＝ 新课讲授 导函数 求函数的导数的方法是 : 说明 : 上面的方法中把 x 换 x 0 即为求函数在点 x 0 处的 导数 . 例 1 ：已知函数 y = (1) 求 y ' (2) 求函数 y = 在 x = 2 处的导数 解：函数改变量 算比值 取极限 所以 例 1 ：已知函 y = (1) 求 y ' (2) 求函数 y = 在 x = 2 处的导数 请同学们求下列函数的导数 : 表示 y=x 图象上每一点处的切线斜率都为 1 这又说明什么 ? 1) 函数 y=f(x)=c 的导数 . 公式 : . 练习 1 、求函数 y = f ( x )= c 的导数。 解析 因为 所以 因为 所以 练习 2 、求函数 y = f ( x )= x 的导数 因为 所以 练习 3 、求函数 y = f ( x )= x 2 的导数 你能不能求出函数 y = f ( x )= x 3 的导数。 思考 由函数 y = x ， y = x 2 ， y = x 3 的导数为 1 ， 2 x ， 3 x 2 y ' =3 x 2 你猜测 y = x n 导数是什么 ? y ' = nx n - 1 所以 例 2 、求函数 y = f ( x ) =3 x 2 -x 的导函数，并利用导函数求 f ’ (1) ， f ’ (-2) ， f ’ (0) . 解析 因为 例 2 、求函数 y = f ( x ) =3 x 2 -x 的导函数，并利用导函数求 f ’ (1) ， f ’ (-2) ， f ’ (0) . 分别将 带入 f ’ ( x ) ，可得 f ’ (1) =6×1 － 1=5 ， f ’ (-2) =6× （ -2 ） =-13 ， f ’ (0) =6×0 － 1=-1 。 练习 4 、 y =| x |( x ∈R) 有没有导函数，试求之。 解 : (1) 当 x >0 时， y = x , 则 y ' =1 (2) 当 x <0 时， y = - x , 不难求得 y ' = - 1 (3) 当 x =0 时， y =0, 求其导数如下： 基本初等函数的导数公式 为了解决可能遇到的导数计算问题，我们给出下列公式