高中数学 2_2_2 反证法同步练习 新人教A版选修2-2 6页

选修2-2 ‎2.2.2‎ 反证法 一、选择题 ‎1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)‎ A．有一个解　　　　　　‎ B．有两个解 C．至少有三个解 ‎ D．至少有两个解 ‎[答案]　C ‎[解析]　在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.‎ ‎2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(　　)‎ A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 ‎[答案]　B ‎[解析]　a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.‎ ‎3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(　　)‎ A．假设三内角都不大于60°‎ B．假设三内角都大于60°‎ C．假设三内角至多有一个大于60°‎ D．假设三内角至多有两个大于60°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.‎ ‎4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)‎ A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 ‎[答案]　B ‎[解析]　“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．‎ ‎5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)‎ A．ab”的否定应为“a＝b或a0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋‎1”‎，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)‎ A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1‎ B．存在正整数n，使xn＝xn＋1‎ C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1‎ D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.‎ 二、填空题 ‎11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．‎ ‎[答案]　没有一个是三角形或四边形或五边形 ‎[解析]　“至少有一个”的否定是“没有一个”．‎ ‎12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．‎ ‎[答案]　a，b都不能被5整除 ‎[解析]　“至少有一个”的否定是“都不能”．‎ ‎13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；‎ ‎②所以一个三角形中不能有两个直角；‎ ‎③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.‎ 正确顺序的序号排列为____________．‎ ‎[答案]　③①②‎ ‎[解析]　由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.‎ ‎14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：‎ 假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.‎ 显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．‎ ‎[答案]　质数只有有限多个　除p1、p2、…、pn之外 ‎[解析]　由反证法的步骤可得．‎ 三、解答题 ‎15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.‎ 求证：a>0，b>0，c>0.‎ ‎[证明]　用反证法：‎ 假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，‎ 不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，‎ 可得c>－(a＋b)，‎ 又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)‎ ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2‎ ‎∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，‎ 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．‎ 因此a>0，b>0，c>0成立．‎ ‎16．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.‎ ‎[证明]　证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.≥＞＝，‎ 同理＞，＞.‎ 三式相加，得 ＋＋＞，‎ 即＞，矛盾．‎ 所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于.‎ 证法2：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得 ‎(1－a)b(1－b)c(1－c)a>3①‎ 因为0bs>br，则只可能有2bs＝br＋bt成立．‎ ‎∴2·s－1＝r－1＋t－1.‎ 两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s，‎ 由于r