2020届二轮复习随机事件的概率与古典概型课件（83张）（全国通用） 83页

§12.1 　随机事件的概率与古典概 型 第十二章 　 概率、随机变量及其 分布 ZUIXINKAOGANG 最新考纲 1. 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别 . 2. 通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式 . 3. 通过实例，理解古典概型及其概率计算公式 . 4. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE (1) 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中 事 件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 f n ( A ) ＝ 为 事件 A 出现的频率 . (2) 对于给定的随机事件 A ，由于事件 A 发生的频率 f n ( A ) 随着试验次数的增加稳定于概率 P ( A ) ，因此可以用频率 f n ( A ) 来估计概率 P ( A ). 1. 概率和频率 知识梳理 ZHISHISHULI 2. 事件的关系与运算   定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B_____ 事件 A ( 或称事件 A 包含于事件 B ) _____( 或 A ⊆ B ) 相等关系 若 B ⊇ A 且 A ⊇ B ______ 并事件 ( 和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 ______ _________ A ∪ B ( 或 A ＋ B ) 包含 B ⊇ A A ＝ B 并事件 ( 或和事件 ) 交事件 ( 积事件 ) 若某事件发生当且仅当 __________ 且 ____ _______ ，则称此事件为事件 A 与事件 B 的 _______________ A ∩ B ( 或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件 ( A ∩ B ＝ ∅ ) ，则称事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B ＝ ∅ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件， A ∪ B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B_____________ A ∩ B ＝ ∅ ， _____________ 事件 A 发生 事件 B 发生 交事件 ( 或积事件 ) 互为对立事件 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1 3. 概率的几个基本 性质 (1) 概率的取值范围 ： ___________ . (2) 必然事件的概率 P ( E ) ＝ __ . (3) 不可能事件的概率 P ( F ) ＝ __ . (4) 概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A ∪ B ) ＝ ___________ . (5) 对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P ( A ) ＝ ________ . 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 1 0 P ( A ) ＋ P ( B ) 1 － P ( B ) 4. 基本事件的特点 (1) 任何两个基本事件 是 _____ 的 ； (2) 任何事件 ( 除不可能事件 ) 都可以表示 成 _________ 的 和 . 5. 古典概型 具有以下两个特点的概率模型 称为 ____________ ， 简称古典概型 . (1) 试验中所有可能出现的 基本事件 ___________ ； (2) 每个基本事件出现的 可能性 ______ . 互斥 基本事件 古典概率模型 只有有限个 相等 6. 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率 都是 __ ； 如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P ( A ) ＝ __ . 7. 古典概型的概率公式 1. 随机事件 A 发生的频率与概率有何区别与联系？ 提示　 随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近 . 2. 随机事件 A ， B 互斥与对立有何区别与联系？ 提示　 当随机事件 A ， B 互斥时，不一定对立，当随机事件 A ， B 对立时，一定互斥 . 【 概念方法微思考 】 3. 任何一个随机事件与基本事件有何关系？ 提示　 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和 . 4. 如何判断一个试验是否为古典概型？ 提示　 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性 . 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 事件发生的频率与概率是相同的 .( 　　 ) (2) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 .( 　　 ) (3) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生 .( 　　 ) (4) 掷一枚硬币两次，出现 “ 两个正面 ”“ 一正一反 ”“ 两个反面 ” ，这三个结果是等可能的 .( 　　 ) (5) 从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型 .( 　　 ) × × 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 7 × √ × 题组二　教材改编 1 2 3 4 5 6 7 2 . 一个人 打靶时连续射击两次，事件 “ 至少有一次中靶 ” 的对立事件 是 A . 至多有一次中靶 B . 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D . 两次都不中靶 √ 解析　 “ 至少有一次中靶 ” 的对立事件是 “ 两次都不中靶 ”. √ 1 2 3 4 5 6 7 3 . 袋 中装有 6 个白球， 5 个黄球， 4 个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为 解析　 从袋中任取一球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种， 4 . 同时 掷两个骰子，向上点数不相同的概率为 ___. 解析　 掷两个骰子一次，向上的点数共 6 × 6 ＝ 36( 种 ) 可能的结果 ， 其中 点数相同的结果共有 6 种， 1 2 3 4 5 6 7 题组三　易错自纠 5. 将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中 “ 正面向上恰有 5 次 ” 是 A. 必然事件 B . 随机事件 C . 不可能事件 D . 无法确定 1 2 3 4 5 6 7 √ 解析　 抛掷 10 次硬币，正面向上的次数可能为 0 ～ 10 ，都有可能发生，正面向上 5 次是随机事件 . 1 2 3 4 5 6 7 6. 将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为 a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为 b ，则使不等式 a － 2 b ＋ 4<0 成立的事件发生的 概率 为 ____. 解析　 由题意知 ( a ， b ) 的所有可能结果有 4 × 4 ＝ 16( 种 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 7.(2018· 济南模拟 ) 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A ＝ { 抽到一等品 } ，事件 B ＝ { 抽到二等品 } ，事件 C ＝ { 抽到三等品 } ，且已知 P ( A ) ＝ 0.65 ， P ( B ) ＝ 0.2 ， P ( C ) ＝ 0.1 ，则事件 “ 抽到的产品不是一等品 ” 的概率为 _____. 解析　 ∵ 事件 A ＝ { 抽到一等品 } ，且 P ( A ) ＝ 0.65 ， ∴ 事件 “ 抽到的产品不是一等品 ” 的概率为 P ＝ 1 － P ( A ) ＝ 1 － 0.65 ＝ 0.35. 0.35 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　随机事件 命题点 1 　随机事件的关系 例 1 　 (1) 在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件 “ 2 张全是移动卡 ” 的概率 是 ， 那么概率 是 的 事件 是 A. 至多有一张移动卡 B . 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D . 至少有一张移动卡 多维探究 解析　 “ 至多有一张移动卡 ” 包含 “ 一张移动卡，一张联通卡 ” ， “ 两张全是联通卡 ” 两个事件，它是 “ 2 张全是移动卡 ” 的对立事件 . √ (2) 口袋里装有 1 红， 2 白， 3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出两个球， 事件 A ＝ “ 取出的两个球同色 ” ， B ＝ “ 取出的两个球中至少有一个黄球 ” ， C ＝ “ 取出的两个球中至少有一个白球 ” ， D ＝ “ 取出的两个球不同色 ” ， E ＝ “ 取出的两个球中至多有一个白球 ”. 下列判断中正确的序号为 _____. ① A 与 D 为对立事件 ； ② B 与 C 是互斥事件 ； ③ C 与 E 是对立事件 ； ④ P ( C ∪ E ) ＝ 1 ； ⑤ P ( B ) ＝ P ( C ). ①④ 解析　 当取出的两个球为一黄一白时， B 与 C 都发生， ② 不正确 ； 当 取出的两个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生， ③ 不正确 ； 显然 A 与 D 是对立事件， ① 正确 ； C ∪ E 为必然事件， P ( C ∪ E ) ＝ 1 ， ④ 正确； 命题点 2 　随机事件的频率与概率 例 2 　 (2017· 全国 Ⅲ ) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 ( 单位： ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 [20,25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 . (1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 2 16 36 25 7 4 解　 这种 酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25 ，由表格数据知， 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位：元 ) ，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 . 解　 当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25 ，则 Y ＝ 6 × 450 － 4 × 450 ＝ 900 ； 若最高气温位于区间 [20,25) ，则 Y ＝ 6 × 300 ＋ 2(450 － 300) － 4 × 450 ＝ 300 ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2(450 － 200) － 4 × 450 ＝－ 100 ， 所以， Y 的所有可能值为 900,300 ，－ 100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20 ，由表格数据知， 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 命题点 3 　互斥事件与对立事件 例 3 　 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球， 4 个黑球， 2 个白球， 1 个绿球 . 从中随机取出 1 球，求： (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率； 解　 方法一 　 ( 利用互斥事件求概率 ) 记事件 A 1 ＝ { 任取 1 球为红球 } ， A 2 ＝ { 任取 1 球为黑球 } ， A 3 ＝ { 任取 1 球为白球 } ， A 4 ＝ { 任取 1 球为绿球 } ， 根据题意知，事件 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 彼此互斥， 由互斥事件的概率公式， 得 方法二　 ( 利用对立事件求概率 ) 由 方法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A 1 ∪ A 2 的对立事件为 A 3 ∪ A 4 ， 所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 (2) 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 . 解　 方法一 　 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为 方法二 　 因为 A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 的对立事件为 A 4 ， (1) 判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 . (2) 求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 ① 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率 . ② 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即 “ 正难则反 ”. 它常用来求 “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 型事件的概率 . 思维升华 (3) 概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值 . (4) 随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 . (5) 求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 ① 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率 . ② 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即 “ 正难则反 ”. 它常用来求 “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 型事件的概率 . 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000 元和 4 000 元 ， 所以 其概率为 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 0.15 ＋ 0.12 ＝ 0.27. 跟踪训练 1 　 (1) 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： ① 若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； 赔付金额 ( 元 ) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数 ( 辆 ) 500 130 100 150 120 解　 设 A 表示事件 “ 赔付金额为 3 000 元 ” ， B 表示事件 “ 赔付金额为 4 000 元 ” ， 解　 设 C 表示事件 “ 投保车辆中新司机获赔 4 000 元 ” ， 由 已知，可得样本车辆中车主为新司 机的有 0.1 × 1 000 ＝ 100( 辆 ) ， 而 赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有 0.2 × 120 ＝ 24( 辆 ) ， ② 在样本车辆中，车主是新司机的占 10% ，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20% ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率 . 由频率估计概率得 P ( C ) ＝ 0.24. 解　 记 “ 无人排队等候 ” 为事件 A ， “ 1 人排队等候 ” 为事件 B ， “ 2 人排队等候 ” 为事件 C ， “ 3 人排队等候 ” 为事件 D ， “ 4 人排队等候 ” 为事件 E ， “ 5 人及 5 人以上排队等候 ” 为事件 F ，则事件 A ， B ， C ， D ， E ， F 彼此互斥 . ① 记 “ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 G ，则 G ＝ A ＋ B ＋ C ， 所以 P ( G ) ＝ P ( A ＋ B ＋ C ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) ＝ 0.1 ＋ 0.16 ＋ 0.3 ＝ 0.56. (2) 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 求： ① 至多 2 人排队等候的概率； 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 ② 至少 3 人排队等候的概率 . 解　 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ， 则 H ＝ D ＋ E ＋ F ， 所以 P ( H ) ＝ P ( D ＋ E ＋ F ) ＝ P ( D ) ＋ P ( E ) ＋ P ( F ) ＝ 0.3 ＋ 0.1 ＋ 0.04 ＝ 0.44. 题型二　古典概型 师生共研 例 4 　 (1)(2017· 全国 Ⅱ ) 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 √ 解析　 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件总数为 25 ，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10 ， (2) 我国古代 “ 五行 ” 学说认为： “ 物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金． ” 将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 A 表示 “ 排列中属性相克的两种物质不相邻 ” ，则事件 A 发 生 的概率为 ____ ． 满足事件 A ＝ “ 排列中属性相克的两种物质不相邻 ” 的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后 ， 例如 ：金，第二个位置 ( 除去金本身 ) 只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定， 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择 . 思维升华 跟踪训练 2 　 (1) 甲在微信群中发布 6 元 “ 拼手气 ” 红包一个，被乙、丙、丁三人抢完 . 若三人均领到整数元，且每人至少领到 1 元，则乙获得 “ 手气最佳 ” ( 即乙领取的钱数不少于其他任何人 ) 的概率是 √ 解析　 用 ( x ， y ， z ) 表示乙、丙、丁抢到的红包分别为 x 元、 y 元、 z 元 . 乙、丙、丁三人抢完 6 元钱的所有不同的可能结果有 10 种，分别为 (1,1,4) ， (1,4,1) ， (4,1,1) ， (1,2,3) ， (1,3,2) ， (2,1,3) ， (2,3,1) ， (3,1,2) ， (3,2,1) ， (2,2,2). 乙获得 “ 手气最佳 ” 的所有不同的可能结果有 4 种，分别为 (4,1,1) ， (3,1,2) ， (3,2,1) ， (2,2,2). (2)(2018· 自贡模拟 ) 已知 a ∈ {0,1,2} ， b ∈ { － 1,1,3,5} ，则函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 bx 在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上为增函数的概率是 √ 解析　 ∵ a ∈ {0,1,2} ， b ∈ { － 1,1,3,5} ， ∴ 基本事件总数 n ＝ 3 × 4 ＝ 12. 函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 bx 在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上为增函数， ① 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 2 bx ，符合条件的只有 (0 ，－ 1) ，即 a ＝ 0 ， b ＝－ 1 ； 符合条件的有 (1 ，－ 1) ， (1,1) ， (2 ，－ 1) ， (2,1) ，共 4 种 . 题型三　古典概型与统计的综合 应用 师生共研 例 5 　 某县共有 90 个农村淘宝服务网点，随机抽取 6 个网点统计其元旦期间的网购金额 ( 单位：万元 ) 的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 . (1) 根据茎叶图计算样本数据的平均数； 解　 由 题意知，样本数据的平均数 (2) 若网购金额 ( 单位：万元 ) 不小于 18 的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这 90 个服务网点中优秀服务网点的个数； (3) 从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个作网购商品的调查，求恰有 1 个网点是优秀服务网点的概率 . 解　 样本 中优秀服务网点有 2 个，分别记为 a 1 ， a 2 ，非优秀服务网点有 4 个，分别记为 b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ，从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个的可能情况有： ( a 1 ， a 2 ) ， ( a 1 ， b 1 ) ， ( a 1 ， b 2 ) ， ( a 1 ， b 3 ) ， ( a 1 ， b 4 ) ， ( a 2 ， b 1 ) ， ( a 2 ， b 2 ) ， ( a 2 ， b 3 ) ， ( a 2 ， b 4 ) ， ( b 1 ， b 2 ) ， ( b 1 ， b 3 ) ， ( b 1 ， b 4 ) ， ( b 2 ， b 3 ) ， ( b 2 ， b 4 ) ， ( b 3 ， b 4 ) ，共 15 种， 记 “ 恰有 1 个是优秀服务网点 ” 为事件 M ，则事件 M 包含的可能情况有： ( a 1 ， b 1 ) ， ( a 1 ， b 2 ) ， ( a 1 ， b 3 ) ， ( a 1 ， b 4 ) ， ( a 2 ， b 1 ) ， ( a 2 ， b 2 ) ， ( a 2 ， b 3 ) ， ( a 2 ， b 4 ) ，共 8 种 ， 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键 . 思维升华 跟踪训练 3 　 从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 [155,160) ，第二组 [160,165) ， … ，第八组 [190,195] ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多 1 人，第一组和第八组人数 相同 . (1) 求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； 解　 由 频率分布直方图知，前五组的频率为 (0.008 ＋ 0.016 ＋ 0.04 ＋ 0.04 ＋ 0.06) × 5 ＝ 0.82 ， 所以后三组的频率为 1 － 0.82 ＝ 0.18 ，人数 为 0.18 × 50 ＝ 9 ， 由频率分布直方图得第八组的频率为 0.008 × 5 ＝ 0.04 ，人数为 0.04 × 50 ＝ 2 ， 设 第六组人数为 m ，则第七组人数为 m － 1 ，又 m ＋ m － 1 ＋ 2 ＝ 9 ，所以 m ＝ 4 ， 即 第六组人数为 4 ，第七组人数为 3 ，频率 分别为 0.08,0.06 ，频率除以组距分别等于 0.016,0.012 ， 则 完整的频率分布直方图如图所示： (2) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为 x ， y ，求 | x － y | ≤ 5 的概率 . 解　 由 (1) 知身高在 [180,185) 内的男生有四名，设为 a ， b ， c ， d ， 身高在 [190,195] 的男生有两名，设为 A ， B . 若 x ， y ∈ [180,185) ，有 ab ， ac ， ad ， bc ， bd ， cd 共 6 种情况； 若 x ， y ∈ [190,195] ，只有 AB 1 种情况； 若 x ， y 分别在 [180,185) ， [190,195] 内，有 aA ， bA ， cA ， dA ， aB ， bB ， cB ， dB 共 8 种情况， 所以基本事件的总数为 6 ＋ 8 ＋ 1 ＝ 15 ， 事件 | x － y | ≤ 5 包含的基本事件的个数为 6 ＋ 1 ＝ 7 ， 例 　 (12 分 ) 海关对同时从 A ， B ， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量 ( 单位：件 ) 如下表所示 . 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 . (1) 求这 6 件样品中来自 A ， B ， C 各地区商品的数量 ； (2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 . 答题 模板 DATIMUBAN 概率与统计 地区 A B C 数量 50 150 100 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 所以 A ， B ， C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2 . [ 6 分 ] (2) 设 6 件来自 A ， B ， C 三个地区的样品分别为： A ； B 1 ， B 2 ， B 3 ； C 1 ， C 2 . 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为： { A ， B 1 } ， { A ， B 2 } ， { A ， B 3 } ， { A ， C 1 } ， { A ， C 2 } ， { B 1 ， B 2 } ， { B 1 ， B 3 } ， { B 1 ， C 1 } ， { B 1 ， C 2 } ， { B 2 ， B 3 } ， { B 2 ， C 1 } ， { B 2 ， C 2 } ， { B 3 ， C 1 } ， { B 3 ， C 2 } ， { C 1 ， C 2 } ，共 15 个 . [ 8 分 ] 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 . 记事件 D ： “ 抽取的这 2 件商品来自相同地区 ” ，则事件 D 包含的基本事件有： { B 1 ， B 2 } ， { B 1 ， B 3 } ， { B 2 ， B 3 } ， { C 1 ， C 2 } ，共 4 个 . 答题模版 求概率与统计问题的一般步骤 第一步：根据概率统计的知识确定元素 ( 总体、个体 ) 以及要解决的概率模型； 第二步：将所有基本事件列举出来 ( 可用树状图 ) ； 第三步：计算基本事件总数 n ，事件 A 包含的基本事件数 m ，代入公式 P ( A ) ＝ ； 第四步：回到所求问题，规范作答 . 3 课时作业 PART THREE 1. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件 是 A . 至少有一个黑球与都是黑 球 B . 至少有一个黑球与都是红球 C. 至少有一个黑球与至少有一个红 球 D . 恰有一个黑球与恰有两个黑球 √ 基础 保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 对于 A ，事件 “ 至少有一个黑球 ” 与事件 “ 都是黑球 ” 可以同时发生， ∴ A 不正确 ； 对于 B ，事件 “ 至少有一个黑球 ” 与事件 “ 都是红球 ” 不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴ 这两个事件是对立事件， ∴ B 不正确 ； 对于 C ，事件 “ 至少有一个黑球 ” 与事件 “ 至少有一个红球 ” 可以同时发生，如：一个红球，一个黑球， ∴ C 不正确 ； 对于 D ，事件 “ 恰有一个黑球 ” 与事件 “ 恰有两个黑球 ” 不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球， ∴ 两个事件是互斥事件但不是对立事件， ∴ D 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 事件 “ 甲不输 ” 包含 “ 和棋 ” 和 “ 甲获胜 ” 这两个互斥事件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 对一批产品的长度 ( 单位： mm) 进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图 . 根据标准，产品长度在区间 [20,25) 上 的为一等品，在区间 [15,20) 和区间 [25,30) 上的为二等品，在区间 [10,15) 和 [30,35] 上的为三等品 . 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率 为 A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 设 [ 25,30) 上的频率为 x ， 由 所有矩形面积之和为 1 ， 即 x ＋ (0.02 ＋ 0.04 ＋ 0.03 ＋ 0.06) × 5 ＝ 1 ， 得 [25,30) 上的频率为 0.25. 所以产品为二等品的概率为 0.04 × 5 ＋ 0.25 ＝ 0.45. 4.(2018· 钦州期中 ) 根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为： O 型 50% ， A 型 15% ， B 型 30% ， AB 型 5%. 现有一血液为 A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率 为 A.15% B.20 % C.45 % D.65 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 因为某地区居民血型的分布为： O 型 50% ， A 型 15% ， B 型 30% ， AB 型 5% ，现在能为 A 型病人输血的有 O 型和 A 型 ， 故 为病人输血的概率为 50% ＋ 15% ＝ 65% ，故选 D. 5.(2018· 济南模拟 ) 某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的 2 个红球、 3 个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖 . 则中奖的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 设 m ， n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x 2 ＋ mx ＋ n ＝ 0 有实根的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 先后两次出现的点数中有 5 的情况有： (1,5) ， (2,5) ， (3,5) ， (4,5) ， (5,5) ， (6,5) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4) ， (5,6) ，共 11 种 ， 其中 使方程 x 2 ＋ mx ＋ n ＝ 0 有实根的情况有： (5,5) ， (6,5) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4) ， (5,6) ，共 7 种 . 其中一个数是另一个数的 3 倍的事件有 {1,3} ， {2,6} ， {3,9} ，共 3 种情形， 7. 从集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 如图所示的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ____. 0.3 解析　 依题意，记题中被污损的数字为 x ， 若 甲的平均成绩不超过乙的平均成绩 ， 则 有 (8 ＋ 9 ＋ 2 ＋ 1) － (5 ＋ 3 ＋ x ＋ 5) ≤ 0 ，解得 x ≥ 7 ， 即 此时 x 的可能取值是 7,8,9 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球 . 从袋中任取 2 个球，则所取的 2 个球中恰有 1 个白球、 1 个红球的概率为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖 . 甲、乙两人各抽取 1 张，则 两 人 都中奖的概率是 ___. 解析　 设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0 ，那么甲、乙抽奖结果有 (1,2) ， (1,0) ， (2,1) ， (2,0) ， (0,1) ， (0,2) ，共 6 种 . 其中甲、乙都中奖有 (1,2) ， (2,1) ，共 2 种， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 海关对同时从 A ， B ， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量 ( 单位：件 ) 如下表所示 . 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 . (1) 求这 6 件样品中来自 A ， B ， C 各地区商品的数量； 地区 A B C 数量 50 150 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 所以 A ， B ， C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 方法一 　 设 6 件来自 A ， B ， C 三个地区的样品分别为： A ； B 1 ， B 2 ， B 3 ； C 1 ， C 2 . 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为： { A ， B 1 } ， { A ， B 2 } ， { A ， B 3 } ， { A ， C 1 } ， { A ， C 2 } ， { B 1 ， B 2 } ， { B 1 ， B 3 } ， { B 1 ， C 1 } ， { B 1 ， C 2 } ， { B 2 ， B 3 } ， { B 2 ， C 1 } ， { B 2 ， C 2 } ， { B 3 ， C 1 } ， { B 3 ， C 2 } ， { C 1 ， C 2 } ，共 15 个 . 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 . 记事件 D ： “ 抽取的这 2 件商品来自相同地区 ” ，则事件 D 包含的基本事件有： { B 1 ， B 2 } ， { B 1 ， B 3 } ， { B 2 ， B 3 } ， { C 1 ， C 2 } ，共 4 个 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2016· 山东 ) 某儿童乐园在 “ 六一 ” 儿童节推出了一项趣味活动 . 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数 . 设两次记录的数分别为 x ， y . 奖励规则如下 ： ① 若 xy ≤ 3 ，则奖励玩具一个； ② 若 xy ≥ 8 ，则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶 . 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动 . (1) 求小亮获得玩具的概率 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 用 数对 ( x ， y ) 表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 Ω 与点集 S ＝ {( x ， y )| x ∈ N ， y ∈ N ， 1 ≤ x ≤ 4 ， 1 ≤ y ≤ 4} 一一对应 . 因为 S 中元素的个数是 4 × 4 ＝ 16 ，所以基本事件总数 n ＝ 16. 记 “ xy ≤ 3 ” 为事件 A ，则事件 A 包含的基本事件共 5 个，即 (1,1) ， (1,2) ， (1,3) ， (2,1) ， (3,1) ， (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 记 “ xy ≥ 8 ” 为事件 B ， “ 3< xy <8 ” 为事件 C . 则事件 B 包含的基本事件共 6 个， 即 (2,4) ， (3,3) ， (3,4) ， (4,2) ， (4,3) ， (4,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 事件 C 包含的基本事件共 5 个， 即 (1,4) ， (2,2) ， (2,3) ， (3,2) ， (4,1). 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 . 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组， 3 个小组分别有 39,32,33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示 . 现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是 ___ ， 他属于不超过 2 个小组的概率是 ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 “ 至少 2 个小组 ” 包含 “ 2 个小组 ” 和 “ 3 个小组 ” 两种情况 ， 故 他属于至少 2 个小组的概率为 “ 不超过 2 个小组 ” 包含 “ 1 个小组 ” 和 “ 2 个小组 ” ， 其 对立事件是 “ 3 个小组 ”. 故他属于不超过 2 个小组的概率 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.( 2018· 湖北省部分重点中学考试 ) 某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为 3 元，售价为 8 元，每天销售的第 20 个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近 10 天这种商品的销售量，如图所示 . 设 x 为这种商品每天的销售量， y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于 96 元的几天里任选 2 天，则选出的这 2 天日利润都是 97 元的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 日销售量不少于 20 个时，日利润不少于 96 元，其中日销售量为 20 个时，日利润为 96 元 ； 日 销售量为 21 个时，日利润为 97 元 . 从 条形统计图可以看出，日销售量为 20 个的有 3 天，日销售量为 21 个的有 2 天，日销售量为 20 个的 3 天记为 a ， b ， c ，日销售量为 21 个的 2 天记为 A ， B ，从这 5 天中任选 2 天，可能的情况有 10 种： ( a ， b ) ， ( a ， c ) ， ( a ， A ) ， ( a ， B ) ， ( b ， c ) ， ( b ， A ) ， ( b ， B ) ， ( c ， A ) ， ( c ， B ) ， ( A ， B ) ， 其中 选出的 2 天日销售量都为 21 个的情况只有 1 种， 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 一个三位数，它的个、十、百位上的数字依次为 x ， y ， z ，当且仅当 y > x ， y > z 时，称这样的数为 “ 凸数 ” ( 如 243) ，现从集合 {5,6,7,8} 中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是 “ 凸数 ” 的概率为 √