数学文卷·2018届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考（全国II卷）（2017 10页

百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)‎ 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,，则的真子集个数为（ ）‎ A．9个 B．7个 C．3个 D．1个 ‎ ‎2.（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（ ）‎ A．甲应付钱 B．乙应付钱 C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 ‎ ‎4.已知公差不为零的等差数列的首项，，，成等比数列，则（ ）‎ A．238 B． C． D． ‎ ‎5.运行如图所示的程序框图，若输入的（）分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）‎ A．若，则函数无零点 B．若，则函数有零点 C．若，则函数有一个零点 D．若，则函数有两个零点 ‎ ‎9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于，两点，若，则双曲线的渐进线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知单位向量与的夹角为,向量与的夹角为，则（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎11.如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，若，则满足条件的直线（ ）‎ A．有1条 B．有2条 C．有3条 D．有4条 ‎ ‎12.已知关于的不等式有唯一整数解，则实数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知圆的一条直径为线段，为圆上一点，，，则向圆中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为 ．‎ ‎14.已知函数（，）的图象如图所示，其中，，则函数 ．‎ ‎15.已知实数，满足则的取值范围为 ．‎ ‎16.设为数列的前项和，，若（），则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知在中，的面积为，角，，所对的边分别是，，，且， ．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18.如图所示，四棱锥中，平面平面，，，．‎ ‎（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；‎ ‎（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积．‎ ‎19.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）试计算该产品收益率的中位数；‎ ‎（2）若该产品的售价（元）与销量（万件）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：‎ 售价（元）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎45‎ ‎52‎ 销量（万份）‎ ‎7.5‎ ‎7.1‎ ‎6.0‎ ‎5.6‎ ‎4.8‎ 据此计算出的回归方程为，求的值；‎ ‎（3）若从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．‎ ‎20.已知等差数列的前项和为，若，，（，且）．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎21.已知椭圆：过点，点，是椭圆上异于长轴端点的两个点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知直线：，且，垂足为，，垂足为，若且，求中点的轨迹方程．‎ ‎22.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，，且，，，求实数的取值范围．‎ 百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)文科数学答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，得，得，‎ 即，所以，‎ 又，所以，故，‎ 又∵，故，即，所以，‎ 故，‎ 故．‎ ‎（2），所以，得①，‎ 又，所以，‎ 在中，由正弦定理，得，即，得②，‎ 联立①②，解得．‎ ‎18.解：（1）如图，取的中点，的中点，连接，，‎ ‎∵是的中位线，∴，‎ 依题意得，，则有，∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面，，平面，故平面，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴到平面的距离等于到平面的距离的一半，且平面，，‎ ‎∴三棱锥的高是2，，‎ 在等腰中，，，边上的高为，‎ ‎，∴到的距离为，∴，‎ ‎∴．‎ ‎19.解：（1）依题意，所求中位数为．‎ ‎（2），，‎ ‎∴．‎ ‎（3）依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率． ‎ ‎20.解：（1）由已知得，且，‎ 设数列的公差为，则由，∴，‎ 由，得，即，∴，‎ ‎∴，故．‎ ‎（2）；下面先求的前项和，‎ ‎①；‎ ‎②；‎ 两式相减得，‎ ‎∴（）．‎ 故的前项和为．‎ ‎21.解：（1）依题意，，解得，‎ 故椭圆的方程为，则其离心率为．‎ ‎（2）设直线与轴相交于点，，，‎ 由于，即，且，‎ 得，（舍去）或，‎ 即直线经过点，设，，的中点，‎ ‎①直线垂直于轴时，则的重担为；‎ ‎②直线与轴不垂直时，设的方程为，则 整理得，‎ ‎，，，‎ 消去，整理得（）．经检验，点也满足此方程．‎ 综上所述，点的轨迹方程为（）．‎ ‎22.解：（1）依题意，，‎ 令，解得，故函数的单调递增区间为．‎ ‎（2）当，对任意的，都有；‎ 当时，对任意的，都有；‎ 故对恒成立，或对恒成立，‎ 而，设函数，．　‎ 则对恒成立，或对恒成立，，‎ ‎①当时，∵,∴，∴恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，，‎ 故在上恒成立，符合题意．　‎ ‎②当时，令，得，令，得，‎ 故在上单调递减，所以，‎ 而，设函数，，‎ 则，令，则（）恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，∴恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，∴恒成立，‎ 即，而，不合题意．　‎ 综上，故实数的取值范围为.‎