数学（文）卷·2017届山西省运城市高三4月模拟调研测试（2017 10页

山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，, 若，则等于（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎2.已知复数，则的值是（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎3.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不少于20分钟的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则双曲线的虚轴长为（ ）‎ A．4 B．8 C. D．‎ ‎5.函数的部分图像如图，则（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，若可放入一球于其内部且与其各面相切，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A．240 B．192 C. 144 D．96‎ ‎7.已知，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.执行如下图所示的程序框图，如果输入 则输出的（ ）‎ ‎ ‎ A．2 B．3 C.4 D．5‎ ‎9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请君仔细算周详”，其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（ ）‎ A． 96里 B．48里 C.192里 D．24里 ‎10.四棱维 的底面是一个菱形且，平面，,是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知点满足 ，目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，第小题5分）‎ ‎13.已知，则在方向上的投影为 ．‎ ‎14.已知函数，若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.已知是椭圆，的左焦点，为左顶点，是椭圆上的一点，轴，若，则该椭圆的离心率是 ．‎ ‎16.数列满足，则数列的前100项和为 ．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 在 中，角所对边分别为的面积为6.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 在如图所示的多面体中，平面 ‎.‎ ‎(Ⅰ)在上求作，使平面，请写出作法并说明理由；‎ ‎(Ⅱ)若在平面的正投影为，求四面体的体积.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：‎ 该院确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.‎ ‎(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率；‎ ‎(Ⅱ)已知选取的是1月与6月的两组数据.‎ ‎(1)请根据2到5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；‎ ‎(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想?‎ ‎(参考公式和数据： ‎ ‎)‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知是直线上任意一点，过作，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎(Ⅰ)求点的轨迹对应的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与点的轨迹相交于两点，（点在轴上方），点关于轴的对称点为，且，求的外接圆的方程.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数若曲线在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，总有，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为 (为参数).‎ ‎(1)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，点在极坐标为,判断点与曲线的位置关系；‎ ‎(2)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲 设实数满足.‎ ‎(1)若，求的取值范围；‎ ‎(2)若，求证.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：(Ⅰ)已知，，‎ 因为， ‎ 即，解得，‎ 由余弦定理得：,解得. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得， ‎ 由于是三角形的内角，得， ‎ 所以.‎ ‎18.解：(Ⅰ)取的中心，连结，交于，‎ 连结，此时为所求作的点 下面给出证明：‎ ‎，,又,四边形是平行四边形，‎ 故即.‎ 又平面,平面,平面， ‎ ‎，平面平面，平面，‎ 又平面，平面，,‎ 平面平面，‎ 又平面,平面.‎ ‎(Ⅱ) 平面,平面,‎ 平面平面.‎ 过作，交的延长线于点，则平面为在平面上的正投 影。‎ 在直角三角形中，得,，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以四面体的体积为.‎ ‎19.解：(Ⅰ)设“抽到相邻两个月的数据”为事件，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别为,每种情况都是可能出现的， ‎ 其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种 所以，则.‎ ‎(Ⅱ)(1)由数据求得,， ‎ 由公式求得，，‎ 所以，所以关于的线性回归方程为.‎ ‎(2)当时，，； ‎ 同样，当时，，. ‎ 所以，该协会所得线性回归方程是理想的. ‎ ‎20.解：(Ⅰ)连接，由于是线段垂直平分线上的点，则，即到点的距离和到直线的距离相等、所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.‎ 其中 所以点的轨迹对应的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)设，，，的方程为.‎ 将代入并整理得 ‎，由，‎ 从而，，‎ ‎，.‎ 因为，‎ 故，解得，‎ 所以的方程为，‎ 设中点为,‎ 则，，‎ 中垂线方程.‎ 令得，圆心坐标，到的距离为.‎ ‎，‎ 所以圆的半径 的外接圆的方程.‎ ‎21.解：(Ⅰ) ， ‎ 则，‎ 又因为切点为，‎ 所以切线方程为，‎ 即：，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎(Ⅱ)设，则在上恒成立.‎ ‎,‎ 若，则在上恒成立，在上单调递减，‎ ‎, ‎ 所以符合题意.‎ 若，则, ‎ 令，得或,‎ 若则， 则，在上恒成立，在上单调递减，‎ ‎ 所以符合题意.‎ 若，则，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增.‎ 这时，不符合题意.‎ 若，则，则在上恒成立，在上单调递减，‎ ‎ 所以符合题意.‎ 综上所述：.‎ ‎22.(1)把极坐标系下的点化为直角坐标，得 曲线的普通方程为把代入得，‎ 所以在曲线内.‎ ‎(2)因为点在曲线上，故可设点的坐标为，‎ 从而点到直线的距离为 ‎(其中)，‎ 由此得时，取得最小值，且最小值为.‎ ‎23.(1)解：，，‎ 则由，‎ 则，‎ 即，即，‎ 解得，所以的取值范围为.‎ ‎(2)证明： ，‎ 即当且仅当时等号成立，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎. ‎