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- 2021-07-01 发布
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景胜中学2019--2020学年度第二学期期末模考(6月)
高一数学试题
一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计60分 , )
1. 若角的终边过点,则的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知,则
A. B. C. D.
3. 在中,若,,,则 )
A. B. C. D.
4. 在中,角,,的对边分别为,,,若,,成等差数列,,,成等比数列,则
A. B. C. D.
5. 已知等差数列中,=,前项的和等于前项的和,若=,则=
A. B. C. D.
6. 若实数,满足,则=的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 如图是函数=在区间上的图象,为了得到=的图象,只需将函数的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变
8. 若不等式对一切成立,则的最小值为
A. B. C. D.
9. 设,满足条件若目标函数的最大值为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
10. 如图,半圆的直径,为圆心,为半圆上不同于,的任意一点,若为半径上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
11. 若函数在上有两个零点,则的取值范围是
A. B. C. D.
12. 一辆邮车从地往地运送邮件,沿途共有地,依次记为,,…(为地,为地).从地出发时,装上发往后面地的邮件各件,到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件,同时装上该地发往后面各地的邮件各件,记该邮车到达,,…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为=,…,.则的表达式为( )
A. B. C. D.
二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 , )
13. 点和在直线=的两侧,则实数的取值范围是________.
14. 记为数列的前项和,,则_______.
15. 已知是单位向量,且满足,则向量在方向上的投影是______.
16. 已知函数的周期为,当时,函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是________.
三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,共计70分 , )
17.(10分) 设等差数列的前项和为,已知,.
求数列的通项公式;
若数列满足:,求数列的前项和.
18.(12分) 在锐角中,角,,所对的边分别是,,,且.
(1)求角的大小;
(2)求的范围.
19.(12分) 在中,内角,,所对的边分别为,,,已知.
证明:;
若的面积,求角的大小.
20.(12分) 已知,且,求:
的最小值;
的最小值.
21.(12分) 设数列中=,=,且数列,,…,,…,是以为公比的等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
22.(12分) 已知函数.
求函数的最小正周期及单调递增区间;
在中,角所对的边分别为,且,求面积的最大值.
参考答案与试题解析
景胜中学2019--2020学年度第二学期期末模考(6月)
高一数学
一、 选择题 (本题共计 12 小题 ,每题 5 分 ,共计60分 )
1.
【答案】
C
【解答】
解:∵ 角的终边过点,
∴ 根据三角函数的定义知
,
故选.
2.
【答案】
D
【解答】
解:,
.
故选.
3.
【答案】
A
【解答】
解:∵ 在中,,,
∴ 由正弦定理可得,
∴ .
故选.
4.
【答案】
A
【解答】
解:由题意可得,,成等差数列,可得,
,,成等比数列,
,
由正弦定理可得,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
故选.
5.
【答案】
B
【解答】
设等差数列的公差为,=,前项的和等于前的和,=,
则=,=,
解得=.
6.
【答案】
D
【解答】
画出实数,满足可行域,
由图可知目标函数=经过点时取得最大值.
7.
【答案】
D
【解答】
根据函数=在区间上的图象,
可得=,,∴ =.
再根据五点法作图,=,求得,故函数=.
故把的图象向右平移个单位长度,可得=的图象;
再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,可得=的图象,
8.
【答案】
C
【解答】
解:设,则对称轴为,
若,即时,则在,上是减函数,
应有,
若,即时,则在,上是增函数,
应有恒成立,
故,
若,即,
则应有恒成立,
故,
综上,有.
故选.
9.
【答案】
D
【解答】
解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大值,
∴ ,即,
∴ .
当且仅当时,的最小值为.
故选D.
10.
【答案】
C
【解答】
解:∵ 圆心是直径的中点,
∴ ,
所以,
∵ 与共线且方向相反
∴ 当大小相等时点乘积最小,
由条件知当时,
最小值为.
故选.
11.
【答案】
C
【解答】
解:,
则当,
,又在上有两个零点,
,解得.
故选.
12.
【答案】
D
【解答】
根据题意,该邮车到第站时,一共装上了……件邮件,
需要卸下……件邮件,
则,
二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 )
13.
【答案】
【解答】
由题意点和在直线=的两侧
∴
即
解得
14.
【答案】
【解答】
解:由,
得,
两式相减得,
即,
所以,
由,
得,所以,
故答案为:.
15.
【答案】
【解答】
解:∵ ,
∴ ,
∴
,
∴ .
又∵ ,
∴ 向量 在 方向上的投影为:.
故答案为:.
16.
【答案】
【解答】
解:.
因为,所以,
所以.
因为,所以,
所以,
由得,
即的图象与直线恰有两个交点,
结合图象(图略)可知,即.
故实数的取值范围是.
故答案为:.
三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,共计70分 )
17.
【答案】
解:设数列的公差为,
由,得,
又.
解得,,
因此的通项公式是:.
由知
,
所以
.
【解答】
解:设数列的公差为,
由,得,
又.
解得,,
因此的通项公式是:.
由知
,
所以
.
18.
【答案】
解:(1)因为,
所以,
因为,
所以,
又,
所以,可得:,
因为是锐角三角形,
所以,,,
(2)因为,
所以,,
因为是锐角三角形,
所以,的范围.
【解答】
解:(1)因为,
所以,
因为,
所以,
又,
所以,可得:,
因为是锐角三角形,
所以,,,
(2)因为,
所以,,
因为是锐角三角形,
所以,的范围.
19.
【答案】
证明:∵ ,
∴ 由正弦定理得,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∵ ,是三角形中的角,
∴ ,
∴ ;
∵ 的面积,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,或,
∴ 或.
【解答】
证明:∵ ,
∴ 由正弦定理得,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∵ ,是三角形中的角,
∴ ,
∴ ;
∵ 的面积,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,或,
∴ 或.
20.
【答案】
解:∵ ,且,
∴ ,
∴ ,∴ ,
当且仅当时取等号,
故的最小值为;
由,得:,
又,,
∴
,
当且仅当时取等号,
故的最小值为.
【解答】
解:∵ ,且,
∴ ,
∴ ,∴ ,
当且仅当时取等号,
故的最小值为;
由,得:,
又,,
∴
,
当且仅当时取等号,
故的最小值为.
21.
【答案】
数列,,…,,…,是以为首项,为公比的等比数列,
可得=,
可得=
==;
由=,可得数列为首项为,为公比的等比数列,
可得前项和.
【解答】
数列,,…,,…,是以为首项,为公比的等比数列,
可得=,
可得=
==;
由=,可得数列为首项为,为公比的等比数列,
可得前项和.
22.
【答案】
解:
,
所以函数的最小正周期为.
令,
解得,
所以函数的单调递增区间为
.
由,得,
又,所以,解得.
由,得,
即,
亦即,当且仅当时等号成立.
从而,
所以面积的最大值为.
【解答】
解:
,
所以函数的最小正周期为.
令,
解得,
所以函数的单调递增区间为
.
由,得,
又,所以,解得.
由,得,
即,
亦即,当且仅当时等号成立.
从而,
所以面积的最大值为.