数学文卷·2018届河北省武邑中学高二上学期周考（1-8）（2017-01） 7页

‎ ‎ 推理与证明 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设均为正实数，则三个数（ ）‎ A．都大于 B．都小于 C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于 ‎2.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）‎ A．和都是锐角三角形 ‎ B．和都是钝角三角形 ‎ C．是钝角三角形，是锐角三角形 ‎ D．是锐角三角形，是钝角三角形 3. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：‎ 他们研究过图中的由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图中的这样的数为正方形数.‎ 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设，若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.下列推理是归纳推理的是（ ）‎ A．为定点，动点满足，则点的轨迹为椭圆 ‎ B．由，求出，猜想出数列的前项和的表达式 ‎ C.由圆的面积，猜想出椭圆的面积 ‎ D．以上均不正确 ‎6.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ )‎ A．方程没有实根 ‎ B．方程至多有一个实根 ‎ C. 方程至多有两个实根 ‎ D．方程恰好有两个实根 ‎7.已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.与命题“若，则”等价的命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C.若，则 D．若，则 ‎9.命题“且的否定形式是（ ）‎ A．且 B．或 ‎ C.且 D．或 ‎10.至少有一个负的实根的充要条件是（ ）‎ A． B． C. D．或 ‎11.已知.若且，非同时为假命题，则满足条件的的集合为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 12. 已知下列命题：‎ ‎①命题“存在”的否定是“任意”；‎ ‎②已知为两个命题，若“或”为假命题，则“非且非”为真命题；‎ ‎③“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎④“若，则且”的逆否命题为真命题.‎ 其中所有真命题的序号是（ ）‎ A．①②③ B．②④ C.② D．④‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知圆的面积，显然表示的是圆的周长：.把该结论类比到空间，写出球中的类似结论： ．‎ ‎14.已知且，则使得恒成立的的取值范围是 ．‎ ‎15.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.‎ 试将错误的对数值加以改正 ．‎ 16. 观察下列等式：‎ ‎......‎ 照此规律，第个等式可为 ．‎ 17. 古希腊毕达哥斯拉学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数第 个三角形数为，记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：‎ 三角形数 ， 正方形数 ,‎ 正五边形数 ， 六边形数 ，......‎ 可以推测的表达式，由此计算________.‎ 三、解答题 ‎18. 已知.‎ ‎（1）求：；‎ ‎（2）求证：中至少有一个不小于.‎ ‎19. 观察下表：‎ 问：（1）此表第行的最后一个数是多少？‎ （2） 此表第行的各个数之和是多少？‎ ‎（3）是第几行的第几个数？‎ ‎20. 将各项均为正数的数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示.记表中各行的第一个数构成数列，各行的最后一个数构成数列，第行所有数的和为.已知数列是公差为的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数，且.‎ （1） 求数列，的通项公式；‎ （2） 求数列的前项和的表达式.‎ 21. 若是不全相等的正数，求证：.‎ ‎22.设数列的前项和为，并且满足.猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.‎ 答案 一、选择题 ‎1-5:DDCDB 6-10:ADDDC 11、12：DC 二、填空题 ‎13.以半径为的球的体积为，其导函数表示的是球的表面积： ‎ ‎14. 15. 16. 17.‎ 三、解答题 ‎18.（1）解：∵，∴.‎ ‎（2）证明：假设都小于，‎ 19. 解：（1）∵第行的第个数是，∴第行的最后一个数是.‎ （2） ‎.‎ （3） ‎∵，‎ ‎∴在第行，该行第个数是，‎ 由，知是第行的第个数.‎ 20. 解：（1），前行共有个数，因为，‎ 所以，即，又因为，所以，‎ 即，解得，所以，‎ ‎.‎ （2） 21. 证明：∵，∴‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立，‎ 所以成立，上式两边同时取常用对数，‎ 得，∴.‎ 22. 解：分别令，得 ‎∵.猜想：.由①可知，‎ 当时，②‎ ‎①-②，得，即，‎ （1） 当时，，∵.‎ （2） 假设当时，，那么当时，‎ ‎，‎ ‎∵.‎ 即当时也成立.∴.‎ 显然时，也成立，故对于一切，均有.‎