高中数学选修2-1公开课课件1_1_3四种命题的关系 23页

2021/2/16 1.1.3 四种命题的相互关系 高二数学 选修 2-1 第一章 常用逻辑用语 2021/2/16 回顾 交换原命题的条件和结论，所得的命题是 ________ 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是 ________ 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是 __________ 逆命题。 否命题。 逆否命题。 2021/2/16 原命题 , 逆命题 , 否命题 , 逆否命题 四种命题形式 : 原命题 : 逆命题 : 否命题 : 逆否命题 : 若 p, 则 q 若 q , 则 p 若 ┐ p , 则 ┐ q 若 ┐ q, 则 ┐ p 2021/2/16 观察与思考 ？ 你能说出其中任意两个命题之间的关系吗 ? 课堂小结 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若 ﹁ p 则 ﹁ q 逆否命题 若 ﹁ q 则 ﹁ p 互为逆否 同 真 同 假 互为逆否 同 真 同 假 互逆命题 真假 无关 互逆命题 真假 无关 互否命题真假 无关 互否命题真假 无关 2021/2/16 2 ）原命题：若 a=0, 则 ab=0 。 逆命题：若 ab=0, 则 a=0 。 否命题：若 a≠ 0, 则 ab≠0 。 逆否命题：若 ab≠0, 则 a≠0 。 ( 真 ) ( 假 ) ( 假 ) ( 真 ) ( 真 ) 2. 四种命题的真假 看下面的例子： 1 ）原命题：若 x=2 或 x=3, 则 x 2 -5x+6=0 。 逆命题：若 x 2 -5x+6=0, 则 x=2 或 x=3 。 否命题：若 x≠2 且 x≠3, 则 x 2 -5x+6≠0 。 逆否命题：若 x 2 -5x+6≠0 ，则 x≠2 且 x≠3 。 ( 真 ) ( 真 ) ( 真 ) 3 ）原命题：若 x ∈ A ∪ B ，则 x ∈ U A ∪ U B 。 逆命题： x ∈ U A ∪ U B ， x ∈ A ∪ B 。 否命题： x  A ∪ B ， x  U A ∪ U B 。 逆否命题： x  U A ∪ U B ， x  A ∪ B 。 Help 假 假 假 假 2021/2/16 四种命题的真假 , 有且只有下面四种情况 : 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 2021/2/16 想一想？ （ 2 ） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 （ 1 ） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。 ( 两个命题为互逆命题或互否命题 , 它们的真假性没有关系 ). 几条结论 : 2021/2/16 1. 判断下列说法是否正确。 1 ）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对） 2 ）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 2. 四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答： 0 个、 2 个、 4 个。 如：原命题：若 A∪B=A, 则 A∩B=φ 。 逆命题：若 A∩B=φ ，则 A∪B=A 。 否命题：若 A∪B≠A ，则 A∩B≠φ 。 逆否命题：若 A∩B≠φ ，则 A∪B≠A 。 （假） （假） （假） （假） 3 ）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4 ）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错） 练一练 2021/2/16 练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。 （ 1 ）若 q<1, 则方程 有实根。 （ 2 ）若 ab=0, 则 a=0 或 b=0. （ 3 ）若 或 ，则 。 （ 4 ）若 ，则 x,y 全为零。 2021/2/16 总结 2021/2/16 反证法： 要证明某一结论 A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明 A 的反面（非 A ）是错误的，从而断定 A 是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。 2021/2/16 反证法的步骤： 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 从这个 假设 出发，通过推理论证，得出矛盾。 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 推理过程中一定要用到才行 显而易见的矛盾 ( 如和已知条件矛盾 ). 2021/2/16 例 证明：若 p 2 ＋ q 2 ＝ 2 ，则 p ＋ q≤2. 将 “ 若 p 2 ＋ q 2 ＝ 2 ，则 p ＋ q≤2 ” 看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。 即证明 为真命题 2021/2/16 假设原命题结论的反面成立 看能否推出原命题条件的反面成立 尝试成功 得证 例 证明：若 p 2 ＋ q 2 ＝ 2 ，则 p ＋ q≤2. 2021/2/16 变式练习 1 、已知 。求证： 这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。 解：假设 p+q>2, 那么 q>2-p, 根据幂函数 的单调性，得 即 所以 因此 2021/2/16 可能出现矛盾四种情况： 与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。 2021/2/16 这些条件都与已知 矛盾 所以原命题 成立 证明 : 假设 不大于 则 或 因为 所以 例 用反证法证明： 如果 a>b>0 ，那么 . 2021/2/16 练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙ O 中，弦 AB 、 CD 交于 P ，且 AB 、 CD 不是直径 . 求证：弦 AB 、 CD 不被 P 平分 . 证明： 假设弦 AB 、 CD 被 P 平分， ∵P 点一定不是圆心 O ，连接 OP ，根据垂径定理的推论， 有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点 P 有两条直线与 OP 都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴ 弦 AB 、 CD 不被 P 平分。 2021/2/16 若 a 2 能被 2 整除， a 是整数，求证： a 也能被 2 整除 . 证：假设 a 不能被 2 整除，则 a 必为奇数， 故可令 a=2m+1(m 为整数 ), 由此得 a 2 =(2m+1) 2 =4m 2 +4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明 a 2 是奇数， 这与题中的已知条件（ a 2 能被 2 整除）相矛盾 , ∴ a 能被 2 整除 . 2021/2/16 2021/2/16 U A A ∩ B B Back