2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．若A（-2，3），B（3，-2），C（，m）三点共线，则m的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本道题目利用三点共线,得到,说明向量对应坐标成比例,建立等式,即可.‎ ‎【详解】‎ 因为A,B,C三点共线,故,而,建立等式 ‎ ,,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了向量平行问题,向量平行满足对应坐标成比例,即可得出答案.‎ ‎2．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设此圆锥的底面半径为r,高为h,则.‎ ‎3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：如图直观图：原平面图形：‎ 由已知有：四边形是一个直角梯形，且，，，所以其面积为：，故选A．‎ ‎【考点】斜二测画法．‎ ‎4．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．平面 B．与是异面直线 C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，‎ 所以对于A,AC与AB夹角为60°,即两直线不垂直，所以. AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A错误；‎ 对于B,CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；‎ 对于C,A1C1,B1E是异面直线；故C错误；‎ 对于D,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；‎ 故选：D.‎ ‎5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若m⊥β，则α⊥β； B．若α⊥β，则m⊥n；‎ C．若m∥β，则α∥β； D．若α∥β，则m∥n.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本道题目分别结合平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ A选项,结合一条直线与一平面垂直,则过该直线的平面垂直于这个平面,故正确;B选项,平面垂直,则位于两平面的直线不一定垂直,故B错误;C选项,可能平行于与相交线,故错误;D选项,m与n可能异面，故错误。‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，发挥空间想象能力，找出选项的漏洞，即可。‎ ‎6．已知，则直线通过（ ）‎ A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 ‎【答案】C ‎【解析】由直线ax＋by＋c＝0，得：‎ ‎∵ab＜0，bc＜0，∴，‎ 即直线的斜率为正值，纵截距为正值；‎ 故直线ax＋by＋c＝0通过第一、二、三象限.‎ ‎7．（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．‎ 解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．‎ ‎∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．‎ 故选B．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎8．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为 A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，所以设弦长为，则 ‎，即.‎ ‎【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.‎ ‎9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为　(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知可得AD⊥DC 又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD 在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角 ‎∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）‎ ‎∴cos∠BEF=‎ 故选C．‎ ‎10．如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）‎ A．45° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：将EF//AB,GH// CB,那么异面直线的的所成的角即为CB，与AB的夹角。而结合正方体 性质可知，三角形AB C是等边三角形，故所成的夹角为60度，选B.‎ ‎【考点】本题主要考查了空间几何体中异面直线的所成角的求解的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是通过平移法来得到相交直线的夹角即为所求的异面直线的所成的角的求解的问题的运用。‎ ‎11．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本道题目先理解的意义，实则为一个半圆，然后利用图像，绘制出该直线与该圆有交点的大致位置，计算出b的范围，即可.‎ ‎【详解】‎ 要使得这两条曲线有交点，则使得直线介于1与2之间，已知1与圆相切，2过点（1，0），则b分别为，故，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了圆与直线的位置关系，做此类题可以结合图像，得出b的范围。‎ ‎12．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（ ）‎ A． B．2 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】可以将三棱锥侧面展开,将计算周长最小值转化成计算两点间距离最小值,解三角形,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 将三棱锥的侧面展开,如图 ‎ ‎ 则将求截面 周长的最小值,转化成计算的最短距离,‎ 结合题意可知=,,所以,故 周长最小值为,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了解三角形的知识,可以将空间计算周长最小值转化层平面计算两点间的最小值,即可.‎ 二、填空题 ‎13．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．‎ ‎【考点】球的表面积，体积公式．‎ ‎14．经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的方程是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】设所求直线方程为 ，将点代入上式可得或 ‎.‎ ‎【考点】直线的方程 ‎15．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别计算出的长度,然后结合二面角的求法,找出二面角,即可.‎ ‎【详解】‎ 结合题意可知,‎ 所以,而发现 ‎ 所以,结合二面角的找法:如果两平面内两直线 分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故 为所求的二面角,为 ‎【点睛】‎ 本道题目考查了二面角的求法,寻求二面角方法:两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角 ‎16．已知点A(－1,1)，B(2，－2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本道题目先绘图，然后结合图像判断该直线的位置，计算斜率，建立不等式，即可。‎ ‎【详解】‎ 要使得与线段AB相交,则该直线介于1与2之间,1号直线 的斜率为,2号直线的斜率为,建立 不等式关系转化为,所以或解得m范围为 ‎【点睛】‎ 本道题考查了直线与直线的位置关系，结合图像，判断直线的位置，即可。‎ 三、解答题 ‎17．求满足以下条件的m值．‎ ‎(1)已知直线2mx＋y+6＝0与直线 (m－3)x-y+7=0平行； ‎ ‎(2)已知直线mx＋(1－m)y＝3与直线(m－1)x＋(2m＋3)y＝2互相垂直.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）平行即两直线的斜率相等,建立等式,即可得出答案.(2)直线垂直即两直线斜率之积为-1,建立等式,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当m=0或m=3时，两直线不平行 当m0且m3时，若两直线平行，则 ‎（2）当m=0或m=时，两直线不垂直 当m=1时，两直线互相垂直 当m0，1，时，若两直线垂直，则 ‎ 或 ‎ 也可用 m(m－1)＋(1－m)(2m＋3)＝0，即m2＋2m－3＝0，解得m＝1，或m＝－3.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了直线平行或垂直的判定条件,注意,当x,y的系数含有参数的时候，要考虑系数是否为0.‎ ‎18．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)求圆C在点B处的切线方程．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】（1）做辅助线，利用勾股定理，计算BC的长度，然后得出C的坐标，结合圆的方程，即可得出答案。（2）利用直线垂直，斜率之积为-1，计算切线的斜率，结合点斜式，得到方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ 过C点做CDBA，联接BC，因为，所以，因为 ‎ 所以，所以圆的半径 ‎ 故点C的坐标为，所以圆的方程为 ‎ ‎ ‎ （2）点B的坐标为，直线BC的斜率为 ‎ 故切线斜率，结合直线的点斜式 ‎ 解得直线方程为 ‎【点睛】‎ 本道题目考查了圆的方程的求解和切线方程计算，在计算圆的方程的时候，关键找出圆的半径和圆心，建立方程，计算切线方程，可以结合点斜式，计算方程，即可。‎ ‎19．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面ECD；‎ ‎（2）求D点到面CEB的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）点到平面的距离为 ‎【解析】试题分析：（1）根据题意选择，只需证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）把点到面的距离，转化为三棱锥的高，利用等体积法，即可求解高．‎ 试题解析：（1）证明：∵四边形为正方形∴‎ 又∵平面 平面，‎ 平面 平面=，‎ ‎∴ 平面 ‎∴‎ 又∵,∴平面 ‎（2）解：，，， 又∵ 矩形中，DE=1‎ ‎∴，，‎ ‎∴过B做CE的垂线交CE与M，CM=∴‎ 的面积等于 由得（1） 平面∴点到平面的距离 ‎∴‎ ‎∴∴‎ 即点到平面的距离为．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的应用．‎ ‎20．已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为，BC边上中线AD所在的直线方程为．‎ ‎(1) 求直线AB的方程；‎ ‎(2) 求点C的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)由,知两条直线的斜率乘积为-1,进而由点斜式求直线即可;‎ ‎(2) 设，则，代入方程求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵,且直线的斜率为，‎ ‎∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即．‎ ‎（2）设，则，‎ ‎∴，解得，∴．‎ ‎21．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．‎ ‎(1) 证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2) 若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】(1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，‎ 又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D＝45°，‎ 所以A1D＝CD＝AB＝，在Rt△AA1D中，AA1＝，所以FC＝AA1＝，故三棱锥F－AEC的体积V＝‎ S△AEC×FC＝.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定.‎ ‎22．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面A1B1BA；‎ ‎(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）30°‎ ‎【解析】（1）连接A1B，结合三角形中位线定理，得到平行，结合直线与平面平行，的判定定理，即可。（2）取的中点N，连接，利用直线与平面垂直判定定理，得到平面，找出即为所求的角，解三角形，计算该角 的大小，即可。‎ ‎【详解】‎ 解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，‎ 因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.‎ 又EF⊄平面A1B1BA，‎ 所以EF∥平面A1B1BA ‎(2)解：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.‎ 因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.‎ 又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.‎ 取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.‎ 因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，‎ 故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.‎ 因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．‎ 在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.‎ 因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，‎ 由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.‎ 在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝4.‎ 在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝，‎ 因此∠A1B1N＝30°.‎ 所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面垂直、平行判定定理和直线与平面所成角的找法，证明直线与平面平行关键找出一条直线与平面内一条直线平行，直线与平面所成角的找法关键找出直线垂直平面的那条直线，建立角，解三角形，即可。‎