数学理卷·2018届山东省济南一中高三1月月考（2018 10页

济南一中高三年级 2018 新年学业检测 数学试题（理科） 说明：满分 150 分，时间 120 分钟。分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（综合 题）两部分，第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页，第Ⅱ卷为第 3 页至第 5 页，请将答案按 要求写在答题纸指定位置。 第Ⅰ卷（选择题，共 12 题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数 z 满足 2 3 2z z i   ，其中i 为虚数单位，则 z  （ ） A．1 2i B．1 2i C． 1 2i  D． 1 2i  2. 已知集合 A＝{x|x2－x＞0}，B＝{x|－ 3＜x＜ 3}，则( ) A、A∩B＝ B、A∪B＝R C、B  A D、A  B 3.下列说法正确的是（ ） A、 a R ，“ 1 1a  ”是“ 1a  ”的必要不充分条件 B、“ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的必要不充分条件 C、命题“ x R  ，使得 2 2 3 0x x   ”的否定是：“ x R  ， 2 2 3 0x x   ” D、命题 :" ,sin cos 2"p x R x x    ，则 p 是真命题 4. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角 形 中为直角三角形的个数为（ ） A．2 B． 3 C. 4 D．5 5. 在区间 0, 2      上任选两个数 x 和 y ，则 siny x 的概率为 ( ) A. 2 21  B. 2 2  C. 2 41  D. 2 4  6. 一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计 开始 否 输出 b 是 结 束 a＝ n 2 b＝ 1 2 (a＋ n a ) a＝b 输入n |b－a|＜m？ 第 10 题图 如图所示的程序框图，若输入的 n 为 6 时，输出结果为 2.45，则 m 可以是( ) A、0.6 B、0.1 C、0.01 D、0.05 7.将函数 cos 2 6y x      图象上的点 ,4P t     向右平移  0m m  个单位长度得 到点 P，若 P位于函数 cos2y x 的图象上，则( ) A. 1 2t   ，m 的最小值为 6  B. 3 2t   ，m 的最小值为 12  C. 1 2t   ，m 的最小值为 12  D. 3 2t   ，m 的最小值为 6  8.已知正项非常数等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 3 7 1 1, ,3 7S S S 成等比数列， 则 2017 2014 2017 2014 a a a a   （ ） A. 2014 2017 B. 2017 4029 C. 3 4029 D. 3 4031 9. 当 0a  时，函数 2( ) ( 2 ) xf x x ax e  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 10.如图，扇形 AOB 中， 1, 90OA AOB    ， M 是OB 中点， P 是弧 AB 上的动点， N 是线段OA 上的动点，则 PM PN  的最小值为 ( ) A． 0 B．1 5 2  C． 5 3 2  D． 51 2  11.已知三棱锥 P ABC 中， , ,3PA ABC BAC   平面 且 2 , 1,AC AB PA  3BC  ，则该三棱锥的外接球的体积等于 ( ) A. 13 13 6  B. 3 3 2  C. 5 13 6  D. 5 3 2  12.已知函数 | |( ) ( )x xf x x Re   ，若关于 x 的方程 2 1 1( ) ( ) 1 02 2f x mf x m    恰 好有 4 个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A． 2(2, 2)e e  B． 2(1, 1)e e  C. 2(1, 1)2 e e  D． 2(2, 2)2 e e  第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题(本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中 的横线上). 13.已知 m ，n 是两条不同的直线，  ，， 是三个不同的平面，则下列命题 正确的有 1 若   ，   ，则  // 2 ②若 //// mnm ， ，则 //n ③若 n  ， //m ， //m ，则 nm // ④若 m ， nm  ，则 //n 14.已知函数 ( 1)y f x  是 R 上的偶函数，且 1x  时   0f x  恒成立，又 (4) 0, ( 3) ( 4) 0f x f x   则 的解集是 . 15.设实数 ,x y 满足 2 0 2 5 0 2 0 x y x y y           ，则 y xz x y   的取值范围是 . 16.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第 1 题为：今有户出银一斤八两一 十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次 户差各多三两，问户几何？题目的意思是：每户应交税银 1 斤 8 两 12 铢，若考虑 贫富的差别，家最贫者交 8 两，户别差为 3 两，则户数为 .(1 斤=16 两.1 两=24 铢) 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， a2＋b2＝λab． （Ⅰ）若λ＝ 6，B＝5π 6 ，求 sin A； （Ⅱ）若λ＝4，AB 边上的高为 3c 6 ， 求 C． 18. （本小题满分 12 分）各项均不为 0 的数列 na 满足 1 2 2 ( ) ,2 n n n n n a a a a a     且 3 8 12 .5a a  （Ⅰ）证明：数列 1 na       是等差数列，并求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若数列 nb 的通项公式为 2 6 n n ab n   ，求数列 nb 的前n 项和 nS . 19.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1A⊥平 面 ABC，∠ACB＝90，AC＝CB＝2，M，N 分别为 AB，A1C 的中 点． （Ⅰ）求证：MN∥平面 BB1C1C； （Ⅱ）若平面 CMN⊥平面 B1MN，求直线 AB 与平面 B1MN 所成 角的正弦值． 20.（本小题满分 12 分）2016 年 1 月 6 日北京时间上午 11 时 30 分，朝鲜中央 电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动了世界．朝鲜声明氢弹试验对周 边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的 声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜 “氢弹试验”事件引起了我国公民热议， 其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某 QQ 聊天群有 300 名网友，新疆乌鲁木齐某 A C1 B1 C B M N A1 微信群由 200 名微信好友．为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关 注度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名好友，先分别统计了他们在某 时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成 5 组：[40，50），[50， 60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分 布直方图． （Ⅰ）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）； （Ⅱ）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足 50 条的网友中随机抽取 2 人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率； （Ⅲ）规定：“留言条数”不少于 70 条为“强烈关注”． ①请根据已知条件完成下列 2×2 的列联表； 强烈关注 非强烈关 注 合计 丹东市 乌鲁木齐市 合计 ②判断是否有 90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？ 附：临界值表及参考公式 K2= ，n=a+b+c+d P（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21.( 12 ) ( ) ( 1)ln ( )af x x a x a Rx     本小题 分 已知函数 0 1 ( )a f x  （ ）当 时，求函数 的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个 0 (0, )x   ，使 0 0( )f x x 成立，若存在， 求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由． 22.（本小题满分 10 分）已知 0, 0a b  ，函数 1 1( ) | | | |f x x xa b     的最大值 为 1. （Ⅰ）求 1 1 a b  的值；（Ⅱ）求 4 1 1 a b a b   的最小值，并求出此时对应的 a 与b 的 值. 济南一中高三年级 2018 新年学业检测 数学试题（理科）答案 一、选择题答案：1—12 BBACD BCDBD AA ； 二、填空题答案 13-16 ③    6, 3 0,    8 3,3 2     12 17.解：（Ⅰ）由已知 B＝5π 6 ，a2＋b2＝ 6ab 结合正弦定理得： 4sin2A－2 6sinA＋1＝0，于是 sinA＝ 6± 2 4 ． …4 分 因为 0＜A＜ π 6 ，所以 sinA＜ 1 2 ，取 sinA＝ 6－ 2 4 …6 分 （Ⅱ）由题意可知 S△ABC＝ 1 2 absin C＝ 3 12 c2，得： 1 2 absin C＝ 3 12 (a2＋b2－2abcos C)＝ 3 12 (4ab－2abcos C)．从而有： 3sin C ＋cos C＝2，即 sin( 6c  )＝1 又 7 6 6 6c     ，所以 3c  ． …12分 18. （19）.解：（Ⅰ）连接 AC1，BC1，则 N∈AC1 且 N 为 AC1 的中 点，又∵M 为 AB 的中点， ∴MN∥BC1， 又 BC1 平面 BB1C1C，MN 平面 BB1C1C， A A1 C1 B1 C B M N x z y 故 MN∥平面 BB1C1C． …4 分 （Ⅱ）由 A1A⊥平面 ABC，得 AC⊥CC1，BC⊥CC1． 以 C 为原点，分别以 CB，CC1，CA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 设 CC1＝2λ（λ＞0）， 则 M(1，0，1)，N (0，λ，1)，B1(2，2λ，0)， CM→＝(1，0，1)， MN→＝(－1，λ，0)，NB1 →＝(2，λ，－1)． 取平面 CMN 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，由 CM→·m＝0， MN→·m＝0 得： x＋z＝0， －x＋λy＝0，令 y＝1，得 m＝(λ，1，－λ) 同理可得平面 B1MN 的一个法向量为 n＝(λ，1，3λ) …8 分 ∵平面 CMN⊥平面 B1MN，∴ m·n＝λ 2 ＋1－3λ 2 ＝0 解得λ＝ 2 2 ，得 n＝( 2 2 ，1，3 2 2 )，又 AB→＝(2，0，－2)， 设直线 AB 与平面 B1MN 所成角为θ，则 sinθ＝|cos n， AB→ |＝＝ 6 6 ． 所以，直线 AB 与平面 B1MN 所成角的正弦值是 6 6 ． …12 分 20（1）45×0.01×10+55×0.025×10+65×0.04×10+75×0.02×10+85×0.005 ×10=63.5≈64． ∴丹东市网友的平均留言条数是 64 条．（3 分） （2）留言条数不足 50 条的网友中，丹东市网友有 0.01×10×100× =6 人，乌鲁木齐网友有 0.005× =2 人， 从中随机抽取 2 人共有 =28 种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐网友的结果 共有 =12+1=13 种情况， ∴至少抽到 1 名乌鲁木齐网友的概率为 P= ．（7 分） （3）①列联表如下： 强烈关注 非强烈关注 合计 丹东市 15 45 60 乌鲁木齐市 15 25 40 合计 30 70 100 （8 分） ②K2 的观测值 k= ≈1.79，（10 分） ∵1.79＜2.706， ∴没有 90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关．（12 分） 21. （Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（0，+∞）， （1）当 0＜a＜1 时，由 f′（x）＞0，得 0＜x＜a 或 1＜x＜+∞，由 f′（x） ＜0，得 a＜x＜1 故函数 f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1） （2）当 a=1 时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）（4 分） （Ⅱ）先考虑“至少有一个 x0∈（0，+∞），使 f（x0）＞x0 成立”的否定“∀x ∈（0，+∞），f（x）≤x 恒成立”．即可转化为 a+（a+1）xlnx≥0 恒成立． 令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0 在 x∈（0，+∞）恒成立即可， （6 分） 求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx） 当 a+1＞0 时，在 时，φ′（x）＜0，在 时，φ′（x） ＞0 ∴φ（x）的最小值为 ，（8 分） 由 得 ，故当 时，f（x）≤x 恒成立， 当 a+1=0 时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0 在 x∈（0，+∞）不能恒成立，（10 分） 当 a+1＜0 时，取 x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0 在 x∈（0，+∞）不能 恒成立，（11 分） 综上所述，即 或 a≤﹣1 时，至少有一个 x0∈（0，+∞），使 f（x0） ＞x0 成立．（12