数学卷·2018届广东省汕头市金山中学高二12月月考考试文科数学（解析版）x 11页

‎2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二12月月考考试文科数学 一、选择题：共12题 ‎1．已知过点P(-2,m),Q(m,4)‎的直线的倾斜角为45°，则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查直线的倾斜角与斜率.由题意可得m-4‎‎-2-m‎=tan‎45°‎=1‎,所以m=1.‎ ‎ ‎ ‎2．命题“若f(x)‎是奇函数，则f(-x)‎是奇函数”的否命题是 A.若f(x)‎是偶函数，则f(-x)‎是偶函数 B.若f(-x)‎是奇函数，则f(x)‎是奇函数 C.若f(x)‎不是奇函数，则f(-x)‎不是奇函数 D.若f(-x)‎不是奇函数，则f(x)‎不是奇函数 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查四种命题.由否命题的定义可知，答案为C.‎ ‎ ‎ ‎3．设a∈R，则“a=2‎或a=-2‎”是“直线l‎1‎‎: x+ay+3=0‎与直线l‎2‎‎: ax+4y+6=0‎平行”的 A.充分不必要条件           B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、两条直线的位置关系，考查了逻辑推理能力.必要性：若直线l‎1‎‎: x+ay+3=0‎与直线l‎2‎‎: ax+4y+6=0‎平行，则‎4×1-a‎2‎=0‎且‎1×6-3a≠0‎,则a=‎-2‎，所以必要性成立；充分性：当a=2时，显然直线l1与直线l2重合，故充分性不成立，因此答案为B.‎ ‎ ‎ ‎4．在空间中，设m表示直线，α,β表示不同的平面，则下列命题正确的是 A.若α//β，m//α，则m//β B.若α⊥β，m⊥α，则m//β C.若α⊥β，m//α，则m⊥β D.若α//β，m⊥α，则m⊥β ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查了空间想象能力.若α//β，m//α，则m//β或m在β内，故A错误；若α⊥β，m⊥α，则m//β或m在β内，故B错误；若α⊥β，m//α，则m与β的位置关系不确定，故C错误；因此答案为D.‎ ‎ ‎ ‎5．已知焦点在y轴上的椭圆方程为x‎2‎‎7-m‎+y‎2‎m-4‎=1‎，则m的范围为 A.（4,7） B.‎(‎11‎‎2‎,7)‎ C.‎(7,+∞)‎ D.‎‎(-∞,4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查椭圆的方程.因为焦点在y轴上的椭圆方程为x‎2‎‎7-m‎+y‎2‎m-4‎=1‎，所以m-4>7-m>0‎,则‎11‎‎2‎‎2‎x+2>‎2‎x,则‎2‎2‎-20‎ ‎【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为‎∀x∈R,‎‎2‎x‎>0‎ ‎ ‎ ‎14．将直线l:y=-‎3‎x+2‎‎3‎绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线l‎'‎，则直线l‎'‎的方程是               .‎ ‎【答案】‎y=‎3‎x-2‎‎3‎ ‎【解析】本题主要考查直线的倾斜角、斜率与方程，考查了逻辑推理能力.由y=-‎3‎x+2‎‎3‎直线的斜率为‎-‎‎3‎，所以倾斜角为‎120°‎，按顺时针方向旋转6‎0°‎可得直线l‎'‎的倾斜角为6‎0°‎，则斜率为‎3‎，则直线l‎'‎的方程是y=‎3‎(x-2)‎ ‎ ‎ ‎15．已知实数x,y满足‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎，则‎2x-y的最大值是         ‎ ‎【答案】‎‎2+‎‎5‎ ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了方程思想与计算能力.设‎2x-y=t,则y=2x-t,代入‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎，化简可得‎5x‎2‎-‎2+4tx+t‎2‎=0‎,由题意可得‎∆=‎2+4t‎2‎-20t‎2‎≥0‎,化简可得t‎2‎‎-4t-1≤0‎,求解可得‎2-‎5‎≤t≤2+‎‎5‎,故答案为‎2+‎‎5‎ ‎ ‎ ‎16．在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，底面ABCD是正方形，AB=2,AA‎1‎=2‎‎3‎，点A,B,C,D在球O的表面上，球O与BA‎1‎的另一个交点为E，与CD‎1‎的另一个交点为F，且AE⊥BA‎1‎，则球O的表面积为           .‎ ‎【答案】‎‎8π ‎【解析】本题主要考查空间几何体、球的表面积与体积，考查了空间想象能力.由题意，因为AE⊥BA‎1‎，所以AB为三角形ABC的外接圆的直径，由对称性可知，三棱柱ABE-DCF的外接球是球O，设AB的中点为O1，则OO‎1‎‎⊥‎平面ABE，所以球的半径R=‎2‎，则球O的表面积为‎4πR‎2‎=8π 三、解答题：共6题 ‎17．设函数f(x)=cos(x+‎2‎‎3‎π)+2cos‎2‎x‎2‎,x∈R.‎ ‎（1）求f(x)‎的值域；‎ ‎（2）记‎△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c，若f(B)‎ =1，b=1,c=‎3‎，求‎|AP|‎‎2‎‎+‎‎|BP|‎‎2‎的值.‎ ‎【答案】(1)fx=cosxcos‎2‎‎3‎π-sinxsin‎2‎‎3‎π+cosx+1‎ =‎-‎1‎‎2‎cosx-‎3‎‎2‎sinx+cosx+1‎=‎-‎3‎‎2‎sinx+‎1‎‎2‎cosx+1‎=‎sin(x+‎5π‎6‎)+1‎ 所以f(x)‎的值域为‎[0,2]‎ ‎（2）由f(B)=1‎得sin(B+‎5π‎6‎)+‎1=1,即sin(B+‎5π‎6‎)‎=0，又因01‎,命题q：方程x‎2‎‎+y‎2‎+4mx-2y+5m=0‎表示圆，若‎¬p和p∨q都为真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】由d=‎|3-4m-2|‎‎5‎>1‎，解得m>‎‎3‎‎2‎或m<-1‎.‎ 即p:m>‎‎3‎‎2‎或m<-1‎.‎ 再由‎16m‎2‎+4-20m>0‎解得m<‎‎1‎‎4‎或m>1‎，‎ 即q:m<‎‎1‎‎4‎或m>1‎.‎ 因为‎¬p和p∨q都为真命题，所以p为假命题，q为真命题.‎ 故有‎-1≤m≤‎‎3‎‎2‎m<‎1‎‎4‎或m>1‎，所以‎-1≤m<‎‎1‎‎4‎或‎1‎‎3‎‎2‎或m<-1‎；由圆的方程的充要条件可得q:m<‎‎1‎‎4‎或m>1‎.易得p为假命题，q为真命题，则‎-1≤m≤‎‎3‎‎2‎m<‎1‎‎4‎或m>1‎，求解即可.‎ ‎ ‎ ‎19．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=‎3‎‎3‎‎2‎‎,‎D是CB延长线上一点，且BD=BC.‎ ‎（1）求证：直线BC1//平面AB1D；‎ ‎（2）求三棱锥C1—ABB1的体积.‎ ‎【答案】（1）证明：CD//C1B1，BD=BC=B1C1‎ ‎∴四边形BDB1C1是平行四边形，‎ ‎∴BC1//DB1.‎ 又‎∵‎DB1‎⊂‎平面AB1D，BC1‎⊄‎平面AB1D，‎ ‎∴直线BC1//平面AB1D ‎（2）过C1作C1F⊥A1B1于F 由正三棱柱的性质有 平面A1B1C1⊥平面BB1A1A 又‎∵‎面A1B1C1‎∩‎面BB1A1A=A1B1‎ ‎∴C1F⊥面BB1A1A ‎∵C1F=‎3‎‎2‎‎×3=‎‎3‎‎2‎‎3‎ 且SΔABB‎1‎‎=‎1‎‎2‎×3×‎3‎‎3‎‎2‎=‎‎9‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴‎VC‎1‎‎-ABB‎1‎‎=‎1‎‎3‎×‎9‎‎3‎‎4‎×‎3‎‎3‎‎2‎=‎‎27‎‎8‎ ‎【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积，考查了转化思想、逻辑推理能力与空间想象能力.(1)证明四边形BDB1C1是平行四边形，则易得结论；(2) 过C1作C1F⊥A1B1于F，再证明C1F⊥面BB1A1A，则结论易得.‎ ‎ ‎ ‎20．已知圆C：‎(x-3)‎‎2‎‎+‎(y-4)‎‎2‎=4‎,平面上有两点A(1,0),B(-1,0)‎，点P是圆C上的动点，‎ ‎(1)求‎|AP|‎‎2‎‎+‎‎|BP|‎‎2‎的最小值；‎ ‎(2)若Q是x轴上的点，QM,QN分别切圆C于M,N两点，若‎|MN|=2‎‎3‎，求直线QC的方程.‎ ‎【答案】（1）设P(x,y)‎, 则‎|AP|‎‎2‎‎+‎‎|BP|‎‎2‎=‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎+‎(x+1)‎‎2‎+y‎2‎=2(x‎2‎+y‎2‎)+2‎=‎‎2‎|OP|‎‎2‎+2‎ 由于P为圆上的点，所以‎|OP|‎min‎=|OC|-r=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎-2=3‎ 所以‎|AP|‎‎2‎‎+‎‎|BP|‎‎2‎的最小值为20‎ ‎（2）‎ 设Q(x‎0‎,0)‎，因为圆C的半径r=2‎，而‎|MN|=2‎‎3‎，‎ 则‎∠MCN=‎‎2π‎3‎ 又‎∵ΔQCN≅ΔQCM ‎∴∠MCQ=‎π‎3‎ 又‎∵∠CMQ=‎π‎2‎,‎‎|CM|=2‎ ‎∴|QC|=4‎ 由‎(x‎0‎-3)‎‎2‎‎+‎(0-4)‎‎2‎=16‎得 x‎0‎‎=3‎ 所求直线QC的方程：‎x=3‎ ‎【解析】本题主要考查点线圆的位置关系、圆的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1) 设P(x,y)‎, 化简可得‎|AP|‎‎2‎‎+‎|BP|‎‎2‎=2‎|OP|‎‎2‎+2‎，又‎|OP|‎min‎=|OC|-r，则结论易得；(2)由题意可得‎∠MCN=‎‎2π‎3‎，求出‎|QC|=4‎，即可求出点Q坐标，则结论可得.‎ ‎ ‎ ‎21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥‎平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6‎，BD=6‎‎3‎，E是PB上任意一点。‎ ‎（1）求证：AC⊥DE；‎ ‎（2）当ΔAEC的面积最小时，求证：CE⊥‎面PAB ‎（3）当ΔAEC的面积最小值为9时，问：线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,‎ 又‎∵PD⊥‎平面ABCD，AC⊂‎平面ABCD ‎∴PD⊥AC 而PD∩BD=D ‎∴AC⊥‎平面PDB 又‎∵DE⊂‎平面PBD ‎∴AC⊥DE ‎（2）连结EF, 由（I）知AC⊥‎平面PDB，EF⊂‎平面PBD 所以 AC⊥EF.‎ ‎∵SΔACE=‎1‎‎2‎AC⋅EF,‎且AC=6‎ 当ΔACE面积最小时，EF最小，这时EF⊥PB.‎ ‎∵AC⊥‎平面PDB ‎∴PB⊥AC 又‎∵EF∩AC=F ‎∴PB⊥‎平面AEC ‎∴PB⊥EC 又由EF=AF=FC=3‎可得 ‎EC⊥AE 而PB∩AE=E，‎ 故EC⊥‎平面PAB,‎ ‎（3）由已知，‎(SΔACE)‎min‎=‎1‎‎2‎×6×EF=9‎，解得EF=3‎ 作GH//CE交PB于点G，由（2）知EC⊥‎平面PAB ‎∴GH⊥‎平面PAB 所以‎∠GEH就是EG与平面PAB所成角 在直角三角形CEB中，‎BC=6, EC=3‎2‎ , EB=3‎‎2‎ 所以‎∠CBE=‎‎45‎‎°‎ 设BG=x，则BH=HG=‎2‎‎2‎x,‎ 由tan∠GEH=2‎得EH=‎2‎‎4‎x,‎ 由EH+HB=EB得x=4‎ 即存在满足题意的点G，且BG=4‎ ‎【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)由题意，证明AC⊥BD，PD⊥AC,可得AC⊥‎平面PDB，则结论易得;(2) 连结EF,易得SΔACE‎=‎1‎‎2‎AC⋅EF，知当ΔACE面积最小时，EF最小，这时EF⊥PB,可得PB⊥‎平面AEC，则PB⊥EC，在三角形ACE中，证明EC⊥AE，即可得出结论；(3) 作GH//CE交PB于点G，由（2）知EC⊥‎平面PAB，则‎∠GEH就是EG与平面PAB所成角，由tan∠GEH=2‎求解可得结论.‎ ‎ ‎ ‎22．已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的一个焦点为F‎1‎‎(-‎3‎,0)‎,而且过点H(‎3‎,‎1‎‎2‎)‎.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A‎1‎‎,‎A‎2‎,P是椭圆上异于A‎1‎‎,‎A‎2‎的任一点,直线PA‎1‎,‎PA‎2‎分别交轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）解:由题意得a‎2‎‎-b‎2‎=3‎,‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1‎ ,解得a‎2‎‎=4,b‎2‎=1‎,‎ 所以椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A‎1‎‎(0,1),A‎2‎(0,-1)‎,设P(x‎0‎,y‎0‎)‎,‎ 直线PA‎1‎:y-1=y‎0‎‎-1‎x‎0‎x,令y=0‎,得xN‎=‎‎-‎x‎0‎y‎0‎‎-1‎;‎ 直线PA‎2‎:y+1=y‎0‎‎+1‎x‎0‎x,令y=0‎,得xM‎=‎x‎0‎y‎0‎‎+1‎;‎ 设圆G的圆心为‎(‎1‎‎2‎(x‎0‎y‎0‎‎+1‎-x‎0‎y‎0‎‎-1‎),h)‎,则r‎2‎‎=‎[‎1‎‎2‎(x‎0‎y‎0‎‎+1‎-x‎0‎y‎0‎‎-1‎)-x‎0‎y‎0‎‎+1‎]‎‎2‎+‎h‎2‎=‎‎1‎‎4‎‎(x‎0‎y‎0‎‎+1‎+x‎0‎y‎0‎‎-1‎)‎‎2‎‎+‎h‎2‎ OG‎2‎=‎1‎‎4‎‎(x‎0‎y‎0‎‎+1‎-x‎0‎y‎0‎‎-1‎)‎‎2‎+‎h‎2‎ OT‎2‎=OG‎2‎-‎r‎2‎‎=‎1‎‎4‎‎(x‎0‎y‎0‎‎+1‎+x‎0‎y‎0‎‎-1‎)‎‎2‎‎+h‎2‎-‎1‎‎4‎‎(x‎0‎y‎0‎‎+1‎-x‎0‎y‎0‎‎-1‎)‎‎2‎-h‎2‎=‎x‎0‎‎2‎‎1-‎y‎0‎‎2‎，‎ 而x‎0‎‎2‎‎4‎‎+y‎0‎‎2‎=1‎,所以x‎0‎‎2‎‎=4(1-y‎0‎‎2‎)‎ 所以OT‎2‎=‎4(1-y‎0‎‎2‎)‎‎1-‎y‎0‎‎2‎=4‎ 所以‎|OT|=2‎,即线段OT的长度为定值‎2‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1) 由题意得a‎2‎‎-b‎2‎=3‎,‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1‎ ,求解易得结论；(2)设点P的坐标，求出直线PA‎1‎,‎PA‎2‎，进而得M、N两点的坐标，设圆G的圆心为‎(‎1‎‎2‎(x‎0‎y‎0‎‎+1‎-x‎0‎y‎0‎‎-1‎),h)‎,由题意，结合椭圆方程，化简OT‎2‎=OG‎2‎-‎r‎2‎，即可得出结论.‎ ‎ ‎