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  • 2021-07-01 发布

江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题

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连云港市2018~2019学年第二学期期末考试 高二数学(选修历史)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎1.已知,则实数值为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论、的情况.‎ ‎【详解】当时,,不满足互异性;‎ 当时,或(舍),所以集合是满足.‎ 故:.‎ ‎【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值,注意使用集合中元素的互异性,难度较易.‎ ‎2.函数的最小正周期是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用二倍角公式将化简,然后根据周期计算公式计算周期,‎ ‎【详解】因为,所以.‎ ‎【点睛】二倍角公式:;;‎ 周期计算公式:.‎ ‎3.已知i是虚数单位,若,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由 ‎ 即答案为 ‎4.已知正四棱锥的底面边长是2,高为,则这个正四棱锥的侧面积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过底面边长和高求出侧面等腰三角形的高,然后计算四个等腰三角形的面积和,即为侧面积.‎ ‎【详解】‎ 如图所示,,,所以,则,所以,则.‎ ‎【点睛】本题考查正四棱锥的侧面积,关键是计算出斜高并计算的值,难度较易.‎ ‎5.函数的定义域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的真数大于求解的范围,即为定义域.‎ ‎【详解】因为,所以,故的定义域为.‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数的定义域,注意真数大于,难度容易.‎ ‎6.若是定义在R上的奇函数,当时,,则当时,______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用计算的表达式,再根据奇函数可得,由此得到时,的表达式.‎ ‎【详解】因为,所以,则;‎ 又因为是奇函数,所以,则.‎ ‎【点睛】求解含奇偶性的分段函数的解析式,从已知某段函数入手,将未知转化为已知,然后再利用奇偶性完成求解.‎ ‎7.给出下列等式:‎ 由以上等式可推出一个一般结论:‎ 对于,__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中三个式子,我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势,可以归纳出其通项为,分析等式右边的式子,发现每一个式了均为两项差的形式,且被减数均为1,减数为,由此即可得到结论.‎ ‎【详解】由已知中的等式:‎ ‎… 由以上等式我们可以推出一个一般结论: 对于 . 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是归纳推理,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).‎ ‎8.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若,,则∥; ②若,,则∥;‎ ‎③若∥,,则; ④若∥,∥,∥,则∥.‎ 其中的真命题是______.(填上所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据线面垂直的性质定理可判断真假;②包含特殊情况,直线在平面内;③根据线面平行性质定理和面面垂直的判定定理判断真假;④根据特殊模型判断真假.‎ ‎【详解】①垂直于同一平面的两条直线互相平行,故为真命题;②可能在内,故为假命题;③过作平面与平面相交于直线,因为,所以,且,所以,故为真命题;④在正方体中,取上底面的对角线记为,作两个平行于上底面的平面,则,但是与不平行,故为假命题.故填写:①③.‎ ‎【点睛】符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系如何判断正误:‎ ‎(1)利用公理、定义、性质定理、判定定理再辅助图形去分析;‎ ‎(2)在规则几何体中找到能反映问题的模型(正方体等).‎ ‎9.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则函数在上的单调增区间是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由向右平移个单位得到,写出函数解析式;根据单调增区间列出不等式,再对取值,得到上单调区间.‎ ‎【详解】向右平移个单位后得,令,则,由于,所以取,则,综上:.‎ ‎【点睛】向左(或右)平移个单位即可得到,而不是得到,这里需要注意的就是时,平移是在这个整体上进行的,并不是简单的在括号里加、减.‎ ‎10.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,,底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,.若,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据表面积与侧面积之比求出的值,然后将的值代入体积之比的式子中计算.‎ ‎【详解】因为,所以,故;‎ 所以.‎ ‎【点睛】圆锥的体积公式:;‎ 圆锥的侧面积公式:(是底面圆半径,是母线长);‎ 圆锥的表面积公式:(是底面圆半径,是母线长);‎ 注意区分侧面积和表面积.‎ ‎11.已知为钝角,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将改写成的形式,利用二倍角公式计算的值,代入相关数值.‎ ‎【详解】因为,所以;‎ 因为且为钝角,所以是第二象限角,则 ‎ ,故.‎ ‎【点睛】(1)常见的二倍角公式:‎ ‎, ;‎ ‎(2)常用的角的配凑:,; ,.‎ ‎12.已知定义在上的奇函数,若,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据奇函数求出的值,然后分析 单调性并由函数值之间的关系转变为自变量之间的关系,最后求出的范围.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数,所以,则;‎ 又因为与在上递增,所以由可得: ,故,即.‎ ‎【点睛】(1)奇函数在处有定义时,必定有;‎ ‎(2)通过函数的单调性,可以将函数值之间的关系转为自变量之间的关系(注意定义域),从而完成对自变量范围的求解.‎ ‎13.在中,已知,,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的值利用余弦定理得到的一个关系式;再将化切为弦得到第二个的关系式,两式联立消去,从而得到的关系式,化简可得的值,即为的值.‎ ‎【详解】由余弦定理可得:,则;‎ 又因为,所以,化简得;‎ 两式联立消得,则 ,解得;‎ 由正弦定理可知:.‎ ‎【点睛】解三角形的问题中,出现了有关正切的条件,要注意将其转化为正、余弦的形式去处理,因为这对后面去使用正、余弦定理会更加的便捷.‎ ‎14.已知函数若存在实数,,,,满足,且,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数形结合:作出函数图象,考虑,,,分布的特点,然后将计算的结果代入进行化简并求范围.‎ ‎【详解】作出函数图象:‎ 由可知:,所以,即;‎ 又因为关于对称,所以且,‎ 又,‎ 则原式.‎ ‎【点睛】分段函数中涉及到的函数性质问题,采用数形结合思想去解决问题更加简便;同时对于常见的一些函数图象变换要熟悉,例如:是将位于轴下方的图象翻折到轴上方.‎ 二、解答题:共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在中,已知角,,的对边分别为,,,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先用正弦定理化简所给式子,得到有关的三角函数值,求出的值;‎ ‎(2)利用三角形内角和为以及的大小,将改写成的表示形式计算即可.‎ ‎【详解】解:(1)在中,由正弦定理得,‎ 所以, ‎ 所以, ‎ 所以,因为,所以. ‎ ‎(2)在中,,所以 ‎.‎ ‎【点睛】(1)解三角形求解的时候,一般都是通过对所给的条件利用正、余弦定理进行化简,进而得到相关角度的值;‎ ‎(2)三角形内角和为这一隐含条件很容易忽视,要注意.‎ ‎16.已知函数.‎ ‎(1)求在区间上的值域;‎ ‎(2)由函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用两角和余弦公式以及二倍角公式将变形,再利用辅助角公式将变形,然后根据所给区间求解值域;‎ ‎(2)通过平移和伸缩变化将变换为.‎ ‎【详解】解:(1)‎ ‎. ‎ ‎ 因为,所以,‎ ‎ 所以,所以,‎ ‎ 所以函数在区间上的值域为; ‎ ‎(2)①将函数的图象向左平移个单位得到的图象;‎ ‎②将函数的图象上所有点横坐标不变,纵坐标缩短到原来的倍 得到的图象.‎ ‎【点睛】(1)巧用辅助角公式:;(2)图象在进行平移变换的时候一定要注意是否为,如果不为,不能进行简单的“左加右减”,一定要将看成一个整体.‎ ‎17.如图,在四棱锥中,平面平面,∥平面,,, ‎ 求证:(1)∥平面;‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先通过线面平行性质定理得到∥,再通过线面平行判定定理得到结论;‎ ‎(2)利用数量关系得到,再借助已知条件证明,通过线线垂直证明线面垂直,最后证明面面垂直.‎ ‎【详解】证明:(1)∵∥平面,而平面,‎ 平面平面,∴∥. ‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴∥平面. ‎ ‎(2)∵,满足,∴.‎ 由知.‎ 又∵平面平面,‎ ‎,,‎ ‎∴平面. ‎ 又∵,所以.‎ 又,,,∴.‎ 又,∴平面平面.‎ ‎【点睛】(1)线面平行的性质定理:一条直线平行一个平面,那么过这条直线的任意平面与此平面的交线必定平行于已知直线;‎ ‎(2)面面垂直的判定:一个平面过另外一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.‎ ‎18.如图,在直三棱柱中,点,分别是与的中点.‎ ‎(1)求证:平面∥平面;‎ ‎(2)若,,,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过辅助线,可分别证明∥平面与∥平面 ‎,再通过面面平行的判定定理即可证明;‎ ‎(2)根据条件求解出的值,然后利用面积公式可求,通过将棱锥的顶点换成计算三棱锥的体积.‎ ‎【详解】(1)证明:连结.‎ ‎∵在直三棱柱中,点,分别是与的中点.‎ ‎∴∥且,∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴∥且,‎ 又∵∥且,∴∥且.‎ ‎∴四边形是平行四边形,∴∥.‎ 又∵平面,平面,∴∥平面.‎ 同理可证:∥平面.‎ 又∵,,平面,‎ ‎∴平面∥平面. ‎ ‎(2)解:在中,,,,‎ 由余弦定理可知 又因为,所以.‎ 所以 又∵在直三棱柱中,平面.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】(1)证明线面、面面平行时,注意辅助线的用处,经常会用到三角形中位线、不相邻两边中点间连线等辅助线;‎ ‎(2)计算锥体体积时,要注意待计算的三棱锥的顶点是可以更换的,有时能很大程度上简化计算,需要注意.‎ ‎19.某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域,其中在边长为20米的正方形内种植经红色郁金香,在正方形的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香.现要在以为边长的矩形内种植绿色草坪,要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积.设,米.‎ ‎(1)求与之间函数关系式;‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎【答案】(1),其中(2)米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用已知条件将黄色郁金香和绿色草坪的面积表示出来,然后根据面积相等,得到与之间的函数关系式,注意定义域;‎ ‎(2)根据,用换元法并构造新函数完成最大值的求解.‎ ‎【详解】解:(1)在中,,则,‎ 同理,在中,,则,‎ 所以. ‎ 因为在矩形内种植与黄花面积相等的草坪,‎ 设矩形的面积为,则,‎ 所以,‎ 所以,其中.‎ ‎(2)令,则.‎ 因为,所以,‎ 所以,因为在上单调递增,‎ 所以,‎ 答:的最大值为米.‎ ‎【点睛】(1)实际问题中求解函数关系式时,不仅要给出正确的函数解析式同时还要注意定义域问题;‎ ‎(2)与的关系:.‎ ‎20.设函数(R).‎ ‎(1)求函数在R上的最小值;‎ ‎(2)若不等式在上恒成立,求的取值范围;‎ ‎(3)若方程在上有四个不相等的实数根,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过换元法将函数变形为二次函数,同时利用分类讨论的方法求解最大值;‎ ‎(2)恒成立需要保证即可,对二次函数进行分析,根据取到最大值时的情况得到的范围;‎ ‎(3)通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求 的范围,这里将所有满足条件的不等式列出来,求解出的范围.‎ ‎【详解】解:(1)令,,则,对称轴为.‎ ‎①,即,.‎ ‎②,即,.‎ ‎③,即,.‎ 综上可知, ‎ ‎(2)由题意可知,,,的图象是开口向上的抛物线,最大值一定在端点处取得,所以有 故. ‎ ‎(3)令,.由题意可知,当时,有两个不等实数解,所以原题可转化为在内有两个不等实数根.所以有 ‎【点睛】(1)三角函数中,形如或者都可以采用换元法求解函数最值;‎ ‎(2)讨论二次函数的零点的分布,最好可以采用数形结合的方法解决问题,这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.‎ ‎ ‎ ‎ ‎

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