- 1.76 MB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
连云港市2018~2019学年第二学期期末考试
高二数学(选修历史)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.
1.已知,则实数值为______.
【答案】0
【解析】
【分析】
分别讨论、的情况.
【详解】当时,,不满足互异性;
当时,或(舍),所以集合是满足.
故:.
【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值,注意使用集合中元素的互异性,难度较易.
2.函数的最小正周期是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用二倍角公式将化简,然后根据周期计算公式计算周期,
【详解】因为,所以.
【点睛】二倍角公式:;;
周期计算公式:.
3.已知i是虚数单位,若,则________
【答案】
【解析】
由
即答案为
4.已知正四棱锥的底面边长是2,高为,则这个正四棱锥的侧面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】
通过底面边长和高求出侧面等腰三角形的高,然后计算四个等腰三角形的面积和,即为侧面积.
【详解】
如图所示,,,所以,则,所以,则.
【点睛】本题考查正四棱锥的侧面积,关键是计算出斜高并计算的值,难度较易.
5.函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数函数的真数大于求解的范围,即为定义域.
【详解】因为,所以,故的定义域为.
【点睛】本题考查对数型函数的定义域,注意真数大于,难度容易.
6.若是定义在R上的奇函数,当时,,则当时,______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用计算的表达式,再根据奇函数可得,由此得到时,的表达式.
【详解】因为,所以,则;
又因为是奇函数,所以,则.
【点睛】求解含奇偶性的分段函数的解析式,从已知某段函数入手,将未知转化为已知,然后再利用奇偶性完成求解.
7.给出下列等式:
由以上等式可推出一个一般结论:
对于,__________________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知中三个式子,我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势,可以归纳出其通项为,分析等式右边的式子,发现每一个式了均为两项差的形式,且被减数均为1,减数为,由此即可得到结论.
【详解】由已知中的等式:
…
由以上等式我们可以推出一个一般结论:
对于 .
故答案为:.
【点睛】本题考查的知识点是归纳推理,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
8.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列命题:
①若,,则∥; ②若,,则∥;
③若∥,,则; ④若∥,∥,∥,则∥.
其中的真命题是______.(填上所有真命题的序号)
【答案】①③
【解析】
【分析】
①根据线面垂直的性质定理可判断真假;②包含特殊情况,直线在平面内;③根据线面平行性质定理和面面垂直的判定定理判断真假;④根据特殊模型判断真假.
【详解】①垂直于同一平面的两条直线互相平行,故为真命题;②可能在内,故为假命题;③过作平面与平面相交于直线,因为,所以,且,所以,故为真命题;④在正方体中,取上底面的对角线记为,作两个平行于上底面的平面,则,但是与不平行,故为假命题.故填写:①③.
【点睛】符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系如何判断正误:
(1)利用公理、定义、性质定理、判定定理再辅助图形去分析;
(2)在规则几何体中找到能反映问题的模型(正方体等).
9.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则函数在上的单调增区间是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由向右平移个单位得到,写出函数解析式;根据单调增区间列出不等式,再对取值,得到上单调区间.
【详解】向右平移个单位后得,令,则,由于,所以取,则,综上:.
【点睛】向左(或右)平移个单位即可得到,而不是得到,这里需要注意的就是时,平移是在这个整体上进行的,并不是简单的在括号里加、减.
10.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,,底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,.若,则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据表面积与侧面积之比求出的值,然后将的值代入体积之比的式子中计算.
【详解】因为,所以,故;
所以.
【点睛】圆锥的体积公式:;
圆锥的侧面积公式:(是底面圆半径,是母线长);
圆锥的表面积公式:(是底面圆半径,是母线长);
注意区分侧面积和表面积.
11.已知为钝角,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
将改写成的形式,利用二倍角公式计算的值,代入相关数值.
【详解】因为,所以;
因为且为钝角,所以是第二象限角,则
,故.
【点睛】(1)常见的二倍角公式:
, ;
(2)常用的角的配凑:,; ,.
12.已知定义在上的奇函数,若,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据奇函数求出的值,然后分析 单调性并由函数值之间的关系转变为自变量之间的关系,最后求出的范围.
【详解】因为是定义在上的奇函数,所以,则;
又因为与在上递增,所以由可得: ,故,即.
【点睛】(1)奇函数在处有定义时,必定有;
(2)通过函数的单调性,可以将函数值之间的关系转为自变量之间的关系(注意定义域),从而完成对自变量范围的求解.
13.在中,已知,,则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据的值利用余弦定理得到的一个关系式;再将化切为弦得到第二个的关系式,两式联立消去,从而得到的关系式,化简可得的值,即为的值.
【详解】由余弦定理可得:,则;
又因为,所以,化简得;
两式联立消得,则 ,解得;
由正弦定理可知:.
【点睛】解三角形的问题中,出现了有关正切的条件,要注意将其转化为正、余弦的形式去处理,因为这对后面去使用正、余弦定理会更加的便捷.
14.已知函数若存在实数,,,,满足,且,则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
数形结合:作出函数图象,考虑,,,分布的特点,然后将计算的结果代入进行化简并求范围.
【详解】作出函数图象:
由可知:,所以,即;
又因为关于对称,所以且,
又,
则原式.
【点睛】分段函数中涉及到的函数性质问题,采用数形结合思想去解决问题更加简便;同时对于常见的一些函数图象变换要熟悉,例如:是将位于轴下方的图象翻折到轴上方.
二、解答题:共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中,已知角,,的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)先用正弦定理化简所给式子,得到有关的三角函数值,求出的值;
(2)利用三角形内角和为以及的大小,将改写成的表示形式计算即可.
【详解】解:(1)在中,由正弦定理得,
所以,
所以,
所以,因为,所以.
(2)在中,,所以
.
【点睛】(1)解三角形求解的时候,一般都是通过对所给的条件利用正、余弦定理进行化简,进而得到相关角度的值;
(2)三角形内角和为这一隐含条件很容易忽视,要注意.
16.已知函数.
(1)求在区间上的值域;
(2)由函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用两角和余弦公式以及二倍角公式将变形,再利用辅助角公式将变形,然后根据所给区间求解值域;
(2)通过平移和伸缩变化将变换为.
【详解】解:(1)
.
因为,所以,
所以,所以,
所以函数在区间上的值域为;
(2)①将函数的图象向左平移个单位得到的图象;
②将函数的图象上所有点横坐标不变,纵坐标缩短到原来的倍
得到的图象.
【点睛】(1)巧用辅助角公式:;(2)图象在进行平移变换的时候一定要注意是否为,如果不为,不能进行简单的“左加右减”,一定要将看成一个整体.
17.如图,在四棱锥中,平面平面,∥平面,,,
求证:(1)∥平面;
(2)平面平面.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)先通过线面平行性质定理得到∥,再通过线面平行判定定理得到结论;
(2)利用数量关系得到,再借助已知条件证明,通过线线垂直证明线面垂直,最后证明面面垂直.
【详解】证明:(1)∵∥平面,而平面,
平面平面,∴∥.
∵平面,平面,
∴∥平面.
(2)∵,满足,∴.
由知.
又∵平面平面,
,,
∴平面.
又∵,所以.
又,,,∴.
又,∴平面平面.
【点睛】(1)线面平行的性质定理:一条直线平行一个平面,那么过这条直线的任意平面与此平面的交线必定平行于已知直线;
(2)面面垂直的判定:一个平面过另外一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
18.如图,在直三棱柱中,点,分别是与的中点.
(1)求证:平面∥平面;
(2)若,,,求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)通过辅助线,可分别证明∥平面与∥平面
,再通过面面平行的判定定理即可证明;
(2)根据条件求解出的值,然后利用面积公式可求,通过将棱锥的顶点换成计算三棱锥的体积.
【详解】(1)证明:连结.
∵在直三棱柱中,点,分别是与的中点.
∴∥且,∴四边形是平行四边形.
∴∥且,
又∵∥且,∴∥且.
∴四边形是平行四边形,∴∥.
又∵平面,平面,∴∥平面.
同理可证:∥平面.
又∵,,平面,
∴平面∥平面.
(2)解:在中,,,,
由余弦定理可知
又因为,所以.
所以
又∵在直三棱柱中,平面.
∴.
【点睛】(1)证明线面、面面平行时,注意辅助线的用处,经常会用到三角形中位线、不相邻两边中点间连线等辅助线;
(2)计算锥体体积时,要注意待计算的三棱锥的顶点是可以更换的,有时能很大程度上简化计算,需要注意.
19.某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域,其中在边长为20米的正方形内种植经红色郁金香,在正方形的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香.现要在以为边长的矩形内种植绿色草坪,要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积.设,米.
(1)求与之间函数关系式;
(2)求的最大值.
【答案】(1),其中(2)米
【解析】
【分析】
(1)利用已知条件将黄色郁金香和绿色草坪的面积表示出来,然后根据面积相等,得到与之间的函数关系式,注意定义域;
(2)根据,用换元法并构造新函数完成最大值的求解.
【详解】解:(1)在中,,则,
同理,在中,,则,
所以.
因为在矩形内种植与黄花面积相等的草坪,
设矩形的面积为,则,
所以,
所以,其中.
(2)令,则.
因为,所以,
所以,因为在上单调递增,
所以,
答:的最大值为米.
【点睛】(1)实际问题中求解函数关系式时,不仅要给出正确的函数解析式同时还要注意定义域问题;
(2)与的关系:.
20.设函数(R).
(1)求函数在R上的最小值;
(2)若不等式在上恒成立,求的取值范围;
(3)若方程在上有四个不相等的实数根,求的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
【分析】
(1)通过换元法将函数变形为二次函数,同时利用分类讨论的方法求解最大值;
(2)恒成立需要保证即可,对二次函数进行分析,根据取到最大值时的情况得到的范围;
(3)通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求
的范围,这里将所有满足条件的不等式列出来,求解出的范围.
【详解】解:(1)令,,则,对称轴为.
①,即,.
②,即,.
③,即,.
综上可知,
(2)由题意可知,,,的图象是开口向上的抛物线,最大值一定在端点处取得,所以有
故.
(3)令,.由题意可知,当时,有两个不等实数解,所以原题可转化为在内有两个不等实数根.所以有
【点睛】(1)三角函数中,形如或者都可以采用换元法求解函数最值;
(2)讨论二次函数的零点的分布,最好可以采用数形结合的方法解决问题,这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.