2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(六十)　定点、定值、探索性问题 8页

课时跟踪检测(六十)　定点、定值、探索性问题 ‎(分A、B卷，共2页)‎ A卷：夯基保分 ‎1．已知F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，抛物线上点G(2,2)满足|GF|＝3.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，A，B两点的横坐标均不为4，连接AM，BM并延长交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k2，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ ‎2．(2015·开封模拟)已知抛物线C：x2＝4y.‎ ‎(1)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎(2)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．‎ ‎3．(2015·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ B卷：增分提能 ‎1．(2014·山东高考改编)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．‎ ‎2．已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．‎ ‎3．(2014·福建高考)已知曲线Γ 上的点到点F(0,1) 的距离比它到直线y＝－3 的距离小2.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程；‎ ‎(2)曲线Γ在点 P处的切线l 与x 轴交于点A.直线y＝3分别与直线l 及y 轴交于点M，N.以 MN为直径作圆C，过点A 作圆 C的切线，切点为 B．试探究：当点 P在曲线Γ上运动(点 P与原点不重合)时，线段 AB的长度是否发生变化？证明你的结论．‎ 答案 A卷：夯基保分 ‎1．解：(1)根据抛物线定义知|GF|＝2＋＝3，‎ 解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，‎ 则k1＝＝＝，同理k2＝.‎ 设AC所在直线的方程为x＝ty＋4，‎ 与y2＝4x联立，得y2－4ty－16＝0，所以y1y3＝－16，‎ 同理y2y4＝－16，‎ 所以k2＝＝－·.‎ 设AB所在直线的方程为x＝my＋1，与y2＝4x联立，‎ 得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，‎ 所以k2＝－·＝，‎ 所以是定值，且＝4.‎ ‎2．解：(1)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，‎ 求导得y′＝x.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，‎ 所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，‎ 即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.‎ 同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.‎ 因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，‎ 所以x1x0－2y0－2y1＝0，‎ x2x0－2y0－2y2＝0，‎ 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．‎ 故直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.‎ ‎(2)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，‎ 所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)‎ ‎＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，‎ 联立方程 消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，‎ 由根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，‎ 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.‎ 又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，‎ 所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋，‎ 所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.‎ ‎3．解：(1)设F(c,0)，则＝，知a＝c.‎ 过点F且与x轴垂直的直线方程为x＝c，代入椭圆方程，有＋＝1，解得y＝±b.‎ 于是b＝，解得b＝1.‎ 又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQN的垂心．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为N(0,1)，F(1,0)，所以kNF＝－1.‎ 由NF⊥PQ，知kPQ＝1.设直线l的方程为y＝x＋m，‎ 由得3x2＋4mx＋‎2m2‎－2＝0.‎ 由Δ＞0，得m2＜3，且x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 由题意，有·＝0.‎ 因为＝(x1，y1－1)，＝(x2－1，y2)，‎ 所以x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0，‎ 即x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，‎ 所以2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0，‎ 于是2×－m(m－1)＋m2－m＝0，‎ 解得m＝－或m＝1.‎ 经检验，当m＝1时，△PQN不存在，故舍去m＝1.‎ 当m＝－时，所求直线l存在，‎ 且直线l的方程为y＝x－.‎ B卷：增分提能 ‎1．解：(1)由题意知F.‎ 设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为.‎ 因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，‎ 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．‎ 由＝3，解得p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明：由(1)知F(1,0)，‎ 设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，‎ 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，‎ 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．‎ 故直线AB的斜率kAB＝－.‎ 因为直线l1和直线AB平行，‎ 设直线l1的方程为y＝－x＋b，‎ 代入抛物线方程得y2＋y－＝0，‎ 由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.‎ 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.‎ 当y≠4时，kAE＝＝－＝，‎ 可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1，0)．当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1,0)．‎ ‎2．解：(1)设椭圆半焦距为c，‎ 圆心O到l的距离d＝＝，‎ 则l被圆O截得的弦长为2，所以b＝.‎ 由题意得 又b＝，∴a2＝3，b2＝2.‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，‎ 整理得y＝kx＋y0－kx0，‎ 联立直线l0与椭圆E的方程得 消去y得2[kx＋(y0－kx0)]2＋3x2－6＝0，‎ 整理得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，‎ ‎∵l0与椭圆E相切，‎ ‎∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，‎ 整理得(2－x)k2＋2x0y0k－(y－3)＝0，‎ 设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，‎ 则k1k2＝－.‎ ‎∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，‎ ‎∴k1k2＝－＝－1.‎ ‎∴两条切线斜率之积为常数－1.‎ ‎3．解：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，‎ 依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，‎ 所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，‎ 所以曲线Γ的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：‎ 由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，‎ 设P(x0，y0)(x0≠0)，‎ 则y0＝x，由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，‎ 所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，‎ 即y＝x0x－x.‎ 由得A.‎ 由得M.‎ 又N(0,3)，所以圆心C，‎ 半径r＝|MN|＝，‎ ‎|AB|＝ ‎＝＝.‎ 所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．‎