2020学年高一数学下册期末正弦定理和余弦定理知识梳理 12页

高一数学下学期期末备考正弦定理、余弦定理考点练习 正弦定理、余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内 容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变 形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ； cos B＝ c2＋a2－b2 2ac ； cos C＝ a2＋b2－c2 2ab 考点 1：利用正弦定理解三角形 例 1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A ＝ π 6 ，B＝ π 4 ，a＝1，则 b＝( ) A．2 B．1 C． 3 D． 2 【答案】D [由正弦定理得 b＝ asin B sin A ＝ 2 2 1 2 ＝ 2.] 练习 1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asin B＝ 3b，则角 A＝________. 【答案】 π 3 [∵2asin B＝ 3b，∴2sin Asin B＝ 3sin B，得 sin A＝ 3 2 ，∴A＝ π 3 或 A ＝ 2π 3 ，∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝ π 3 .] 利用正弦定理可解决两类问题 基本类型 一般解法 已知两角及其中一角的对边，如 A，B， a ①由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ②根据正弦定理，得 a sin A ＝ b sin B 及 a sin A ＝ c sin C ，求出边 b，c. 已知两边及其中一边所对的角，如 a，b， A ①根据正弦定理，经讨论求 B； ②求出 B 后，由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ③再根据正弦定理 a sin A ＝ c sin C ，求出 边 c. 考点 2：利用余弦定理解三角形 例 2．(2019·山东济南期中)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＝ac， c＝2a，则 cos C＝( ) A． 2 4 B．－ 2 4 C． 3 4 D．－ 3 4 【答案】B [由题意得，b2＝ac＝2a2，即 b＝ 2a， ∴cos C＝ a2＋b2－c2 2ab ＝ a2＋2a2－4a2 2a× 2a ＝－ 2 4 .] 练习 2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos B＝ acos C＋ccos A，则 B＝________. 【答案】 π 3 [方法一 由 2bcos B＝acos C＋ccos A 及正弦定理， 得 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A. ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)． 又 A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B. 又 sin B≠0，∴cos B＝ 1 2 .∴B＝ π 3 . 方法二 ∵在△ABC 中，acos C＋ccos A＝b， ∴条件等式变为 2bcos B＝b，∴cos B＝ 1 2 . 又 00， ∴sin A＝1，即 A＝ π 2 ，∴△ABC 为直角三角形．] [变式探究 1] 本题 1 中，若将条件变为 2sin Acos B＝sin C，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin(A－B)＝0. 又 A，B 为△ABC 的内角． ∴A＝B，∴△ABC 为等腰三角形． [变式探究 2] 本题 1 中，若将条件变为 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C，判断 △ABC 的形状． 解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝ a2＋b2－c2 2ab ＝ 1 2 ， 又 0∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A0，∴sin A＝ 1 2 . 由余弦定理得 cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ＝ 8 2bc ＝ 4 bc >0， ∴cos A＝ 3 2 ，bc＝ 4 cos A ＝ 8 3 3 ， ∴S△ABC＝ 1 2 bcsin A＝ 1 2 × 8 3 3 × 1 2 ＝ 2 3 3 .] 考点 5 求解几何计算问题 例 5、如图，在△ABC 中，B＝ π 3 ，BC＝2，点 D 在边 AB 上，AD＝DC，DE⊥AC，E 为 垂足． (1)若△BCD 的面积为 3 3 ，求 AB 的长； (2)若 DE＝ 6 2 ，求角 A 的大小． 解 (1)∵△BCD 的面积为 3 3 ，B＝ π 3 ，BC＝2， ∴ 1 2 ×2×BD×sin π 3 ＝ 3 3 ，∴BD＝ 2 3 . 在△BCD 中，由余弦定理可得 CD＝ BC2＋BD2－2BC·BD·cos B ＝ 4＋ 4 9 －2×2× 2 3 × 1 2 ＝ 2 7 3 . ∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝ 2 7 3 ＋ 2 3 ＝ 2 7＋2 3 . (2)∵DE＝ 6 2 ，∴CD＝AD＝ DE sin A ＝ 6 2sin A . 在△BCD 中，由正弦定理可得 BC sin ∠BDC ＝ CD sin B . ∵∠BDC＝2∠A，∴ 2 sin 2A ＝ 6 2sin Asin π 3 ，∴cos A＝ 2 2 .∴A＝ π 4 . 练习 5、 (2018·北京卷)在△ABC 中，a＝7，b＝8，cos B＝－ 1 7 . (1)求∠A； (2)求 AC 边上的高． 解 (1)在△ABC 中，因为 cos B＝－ 1 7 ， 所以 sin B＝ 1－cos2B＝ 4 3 7 . 由正弦定理得 sin A＝ asin B b ＝ 3 2 . 由题设知 π 2 <∠B<π，所以 0<∠A< π 2 . 所以∠A＝ π 3 . (2)在△ABC 中， 因为 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 3 14 ， 所以 AC 边上的高为 asin C＝7× 3 3 14 ＝ 3 3 2 . 考点 6 三角函数求值问题 例 6、(2018·天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin A＝ acos B－ π 6 . (1)求角 B 的大小； (2)设 a＝2，c＝3，求 b 和 sin(2A－B)的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，可得 bsin A＝asin B. 又由 bsin A＝acos B－ π 6 ，得 asin B＝acos B－ π 6 ， 即 sin B＝cos B－ π 6 ，所以 tan B＝ 3. 又因为 B∈(0，π)，所以 B＝ π 3 . (2)在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝ π 3 ， 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故 b＝ 7. 由 bsin A＝acos B－ π 6 ，可得 sin A＝ 3 7 . 因为 a