2019届二轮复习(理)2-4-2-2求数列的通项及前n项和课件（16张） 16页

4.2.2 　求数列的通项及前 n 项和 - 2 - 考向一 考向二 考向三 求数列的通项及错位相减求和 例 1 (2018 湖南衡阳二模 , 理 17) 等差数列 { a n } 中 , a 3 = 1, a 7 = 9, S n 为等比数列 { b n } 的前 n 项和 , 且 b 1 = 2, 若 4 S 1 ,3 S 2 ,2 S 3 成等差数列 . (1) 求数列 { a n },{ b n } 的通项公式 ; (2) 设 c n =|a n | · b n , 求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . - 3 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 在等差数列中 , 设公差为 d , a 7 -a 3 = 4 d= 9 - 1 = 8 ⇒ d= 2, ∴ a n =a 3 + ( n- 3) d= 1 + 2( n- 3) = 2 n- 5 . 设等比数列 { b n } 的公比为 q , 依题意有 6 S 2 = 4 S 1 + 2 S 3 ⇒ q= 2, ∴ b n = 2 n . (2) ∵ c n =| 2 n- 5 |· 2 n . 当 n= 1 时 , T 1 = 6, 当 n= 2 时 , T 2 = 10 . 当 n ≥ 3 时 ,2 n- 5 > 0, T n = 10 + 1 × 2 3 + 3 × 2 4 + … + (2 n- 7)2 n- 1 + (2 n- 5)2 n , ① 2 T n = 20 + 1 × 2 4 + 3 × 2 5 + … + (2 n- 7)2 n + (2 n- 5)2 n+ 1 , ② ① - ② 得 , -T n =- 10 + 8 + 2(2 4 + … + 2 n ) - (2 n- 5)2 n+ 1 , ∴ T n = 34 + (2 n- 7)2 n+ 1 . - 4 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 若已知数列为等差或等比数列 , 求其通项是利用等差、等比数列通项公式 , 或通过变形转换成等差、等比数列求通项 ; 如果数列 { a n } 与数列 { b n } 分别是等差数列和等比数列 , 那么数列 { a n · b n } 的前 n 项和采用错位相减法来求 . - 5 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 1 (2018 山东潍坊一模 , 理 17) 公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S 4 = 10, 且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; - 6 - 考向一 考向二 考向三 - 7 - 考向一 考向二 考向三 - 8 - 考向一 考向二 考向三 - 9 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 对于已知等式中含有 a n , S n 的求数列通项的题目 , 一般有两种解题思路 , 一是消去 S n 得到 f ( a n ) = 0, 求出 a n ; 二是消去 a n 得到 g ( S n ) = 0, 求出 S n , 再求 a n . 把数列的通项拆成两项之差 , 求和时中间的项能够抵消 , 从而求得其和 . 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 . - 10 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 2 (2018 江西南昌一模 , 理 17) 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 满足 S 4 = 2 a 4 - 1, S 3 = 2 a 3 - 1 . (1) 求 { a n } 的通项公式及数列 { a n } 的前 n 项和 ; (2) 记 b n = log 2 ( a n · a n+ 1 ), 数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , - 11 - 考向一 考向二 考向三 - 12 - 考向一 考向二 考向三 求数列的通项及分项求和 例 3 (2018 山东济宁一模 , 理 17) 已知 { a n } 是等比数列 , 满足 a 1 = 2, 且 a 2 , a 3 + 2, a 4 成等差数列 , 数列 { b n } 满足 ( 1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 设 c n = ( - 1) n ( a n -b n ), 求数列 { c n } 的前 2 n 项和 S 2 n . - 13 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 设数列 { a n } 的公比为 q , 则由条件得 2( a 3 + 2) =a 2 +a 4 . 又 a 1 = 2, 则 2(2 q 2 + 2) = 2 q+ 2 q 3 ⇒ 2( q 2 + 1) =q (1 +q 2 ) . ∵ 1 +q 2 > 0, ∴ q= 2, 故 a n = 2 n . 对于 { b n }, 当 n= 1 时 , b 1 = 2 × 1 = 2 ; - 14 - 考向一 考向二 考向三 解题心得 若能把一个数列的通项分成一部分是等差数列通项 , 另一部分是等比数列 , 则其前 n 项和分成了两个数列的前 n 项和 , 分别求和后相加即可 ; 同理 , 若一个数列的前 n 项和不好求 , 对其通项变形后 , 如果能分成两个部分 , 每一部分的前 n 项和能求 , 则问题得到解决 . - 15 - 考向一 考向二 考向三 对点训练 3 (2018 福建龙岩 4 月质检 , 文 17) 已知正项等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S n = 2 a n - 1( n ∈ N * ) . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 b n = lg a n , 求数列 { a n +b n } 的前 n 项和 T n . - 16 - 考向一 考向二 考向三 解 : (1) 由 S n = 2 a n - 1( n ∈ N ), 可得 S 1 = 2 a 1 - 1, ∴ a 1 = 2 a 1 - 1 . ∴ a 1 = 1 . ∵ S 2 = 2 a 2 - 1, ∴ a 1 +a 2 = 2 a 2 - 1, ∴ a 2 = 2 . ∵ 数列 { a n } 是等比数列 , ∴ 数列 { a n } 的通项公式为 a n = 2 n- 1 . (2) 由 (1) 知 , b n = lg a n = ( n- 1)lg 2, ∴ 数列 { b n +a n } 的前 n 项和 T n = ( b 1 +a 1 ) + ( b 2 +a 2 ) + … + ( b n +a n ) = (0 + 1) + (lg 2 + 2) + … + [( n- 1)lg 2 + 2 n- 1 ]