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- 2021-07-01 发布
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4.2.2
求数列的通项及前
n
项和
-
2
-
考向一
考向二
考向三
求数列的通项及错位相减求和
例
1
(2018
湖南衡阳二模
,
理
17)
等差数列
{
a
n
}
中
,
a
3
=
1,
a
7
=
9,
S
n
为等比数列
{
b
n
}
的前
n
项和
,
且
b
1
=
2,
若
4
S
1
,3
S
2
,2
S
3
成等差数列
.
(1)
求数列
{
a
n
},{
b
n
}
的通项公式
;
(2)
设
c
n
=|a
n
|
·
b
n
,
求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
T
n
.
-
3
-
考向一
考向二
考向三
解
:
(1)
在等差数列中
,
设公差为
d
,
a
7
-a
3
=
4
d=
9
-
1
=
8
⇒
d=
2,
∴
a
n
=a
3
+
(
n-
3)
d=
1
+
2(
n-
3)
=
2
n-
5
.
设等比数列
{
b
n
}
的公比为
q
,
依题意有
6
S
2
=
4
S
1
+
2
S
3
⇒
q=
2,
∴
b
n
=
2
n
.
(2)
∵
c
n
=|
2
n-
5
|·
2
n
.
当
n=
1
时
,
T
1
=
6,
当
n=
2
时
,
T
2
=
10
.
当
n
≥
3
时
,2
n-
5
>
0,
T
n
=
10
+
1
×
2
3
+
3
×
2
4
+
…
+
(2
n-
7)2
n-
1
+
(2
n-
5)2
n
,
①
2
T
n
=
20
+
1
×
2
4
+
3
×
2
5
+
…
+
(2
n-
7)2
n
+
(2
n-
5)2
n+
1
,
②
①
-
②
得
,
-T
n
=-
10
+
8
+
2(2
4
+
…
+
2
n
)
-
(2
n-
5)2
n+
1
,
∴
T
n
=
34
+
(2
n-
7)2
n+
1
.
-
4
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
若已知数列为等差或等比数列
,
求其通项是利用等差、等比数列通项公式
,
或通过变形转换成等差、等比数列求通项
;
如果数列
{
a
n
}
与数列
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列
,
那么数列
{
a
n
·
b
n
}
的前
n
项和采用错位相减法来求
.
-
5
-
考向一
考向二
考向三
对点训练
1
(2018
山东潍坊一模
,
理
17)
公差不为
0
的等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
S
4
=
10,
且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式
;
-
6
-
考向一
考向二
考向三
-
7
-
考向一
考向二
考向三
-
8
-
考向一
考向二
考向三
-
9
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
对于已知等式中含有
a
n
,
S
n
的求数列通项的题目
,
一般有两种解题思路
,
一是消去
S
n
得到
f
(
a
n
)
=
0,
求出
a
n
;
二是消去
a
n
得到
g
(
S
n
)
=
0,
求出
S
n
,
再求
a
n
.
把数列的通项拆成两项之差
,
求和时中间的项能够抵消
,
从而求得其和
.
注意抵消后所剩余的项一般前后对称
.
-
10
-
考向一
考向二
考向三
对点训练
2
(2018
江西南昌一模
,
理
17)
已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
满足
S
4
=
2
a
4
-
1,
S
3
=
2
a
3
-
1
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式及数列
{
a
n
}
的前
n
项和
;
(2)
记
b
n
=
log
2
(
a
n
·
a
n+
1
),
数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
,
-
11
-
考向一
考向二
考向三
-
12
-
考向一
考向二
考向三
求数列的通项及分项求和
例
3
(2018
山东济宁一模
,
理
17)
已知
{
a
n
}
是等比数列
,
满足
a
1
=
2,
且
a
2
,
a
3
+
2,
a
4
成等差数列
,
数列
{
b
n
}
满足
(
1)
求
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式
;
(2)
设
c
n
=
(
-
1)
n
(
a
n
-b
n
),
求数列
{
c
n
}
的前
2
n
项和
S
2
n
.
-
13
-
考向一
考向二
考向三
解
:
(1)
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
,
则由条件得
2(
a
3
+
2)
=a
2
+a
4
.
又
a
1
=
2,
则
2(2
q
2
+
2)
=
2
q+
2
q
3
⇒
2(
q
2
+
1)
=q
(1
+q
2
)
.
∵
1
+q
2
>
0,
∴
q=
2,
故
a
n
=
2
n
.
对于
{
b
n
},
当
n=
1
时
,
b
1
=
2
×
1
=
2
;
-
14
-
考向一
考向二
考向三
解题心得
若能把一个数列的通项分成一部分是等差数列通项
,
另一部分是等比数列
,
则其前
n
项和分成了两个数列的前
n
项和
,
分别求和后相加即可
;
同理
,
若一个数列的前
n
项和不好求
,
对其通项变形后
,
如果能分成两个部分
,
每一部分的前
n
项和能求
,
则问题得到解决
.
-
15
-
考向一
考向二
考向三
对点训练
3
(2018
福建龙岩
4
月质检
,
文
17)
已知正项等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
且
S
n
=
2
a
n
-
1(
n
∈
N
*
)
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
;
(2)
若
b
n
=
lg
a
n
,
求数列
{
a
n
+b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
-
16
-
考向一
考向二
考向三
解
:
(1)
由
S
n
=
2
a
n
-
1(
n
∈
N
),
可得
S
1
=
2
a
1
-
1,
∴
a
1
=
2
a
1
-
1
.
∴
a
1
=
1
.
∵
S
2
=
2
a
2
-
1,
∴
a
1
+a
2
=
2
a
2
-
1,
∴
a
2
=
2
.
∵
数列
{
a
n
}
是等比数列
,
∴
数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
=
2
n-
1
.
(2)
由
(1)
知
,
b
n
=
lg
a
n
=
(
n-
1)lg
2,
∴
数列
{
b
n
+a
n
}
的前
n
项和
T
n
=
(
b
1
+a
1
)
+
(
b
2
+a
2
)
+
…
+
(
b
n
+a
n
)
=
(0
+
1)
+
(lg
2
+
2)
+
…
+
[(
n-
1)lg
2
+
2
n-
1
]