高中数学讲义微专题38 向量的数量积——数量积的投影定义（含数量积综合练习题） 15页

- 1 - 微专题 38 向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴 ， 是轴上的有向线段，如果实数 满足 ，且当 与轴同向时， ，当 与轴反向时， ，则称 为轴 上有向线段 的值。 （2）点在直线上的投影：若点 在直线 外，则过 作 于 ，则称 为 在直线 上的投影；若点 在直线 上，则 在 在直线 上的投影 与 重合。所以说，投影往往 伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量 ，若 的起点 在 所在轴 （与 同向）上的投影分别 为 ，则向量 在轴 上的值称为 在 上的投影，向量 称为 在 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记 为向量 的夹角 （1） 为锐角：则投影（无论是 在 上的投影还是 在 上的投影）均为正 （2） 为直角：则投影为零 （3） 为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以 在 上的投影 为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当 为锐角时， ，因为 ，所以 （2）当 为锐角时， ，因为 ，所以 即 （3）当 为直角时， ，而 ，所以也符合 综上可得： 在 上的投影 ，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 l AB  AB   AB 0  AB 0   l AB A l A 'AA l 'A 'A A l A l A A l 'A A ,a b  a ,A B b l b ' ',A B ' 'A B l a b ' 'A B a b  ,a b   a b b a   a b   cosb   0  cosb     cos cosb b        0  cosb     cosb    0  cos 0  cosb   a b cosb   A A' - 2 - 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向 量 数 量 积 公 式 为 ， 可 变 形 为 或 ，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向 量上的投影，即 （记 为 在 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量 问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投 影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值， 则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题： 例 1：已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ） A．3 B． . C． D． 思 路 ： 考 虑 在 上 的 投 影 为 ， 所 以 只 需 求 出 即 可 。 由 可 得 ： ，所以 。进而 答案：C 小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量 的模长 例 2：如图，在 中， ， 是边 上的高，则 ,a b  cosa b a b       cosa b a b        cosa b b a       ,a b  a ba b b          a b   a b a b a b b        ,a b  3, 2 3a b    a a b    b a 3 3 3 2 3 3 2 b a a b b    a b  a a b      2 0a a b a a b           9a b    9 3 3 22 3 a b b        ABC 4, 30AB BC ABC     AD BC AD AC  - 3 - 的值等于（ ） A．0 B．4 C．8 D． 思路：由图中垂直可得： 在 上的投影为 ，所以 ，只需求出 的高即可。由已知可得 ，所以 答案：B 例 3 ： 两 个 半 径 分 别 为 的 圆 , 公 共 弦 长 为 3 ， 如 图 所 示 ， 则 __________. 思路： 为两个圆的公共弦，从而圆心 到弦 的投影为 的中点，进而 在 上的投影能够确定，所以考虑计 算 和 时可利用向量的投影定义。 解：取 中点 ，连结 ，由圆的性质可得： 例 4：如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则 的值为（ ） A.　4　　　 B.　 　　 　 C.　 　　 　 D. 思路：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ， 所 以 在 上 的 投 影 为 ，而 恰 好 为 中 点 ，故考 虑 ， 所 以 答案：B 小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而 在求数量积时可联想到投影法。 例 5 ：若过点 的直线 与 相交于 4 AC AD AD 2 AD AC AD    ABC sin 2AD AB ABC   2 4AD AC AD     1 2,r r ,M N AB AM AB AN AB       AB ,M N AB AB ,AM AN  AB AM AB  AN AB  AB T ,MT NT ,MT AB NT AB  21 9 2 2AM AB AT AB AB          21 9 2 2AN AB AT AB AB          9AM AB AN AB        O ABC 4, 2,AB AC BAC   M BC AM AO  5 6 7 O ,AB AC ,P Q AO ,AB AC 1 1,2 2AP AB AQ AC     M BC  1 2AM AB AC        2 21 1 1 1 1+ 52 2 2 2 2AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC                         1,1P l 2 2: 4O x y  - 4 - 两点，则 的取值范围是_______ 思路：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即 过 作直线 的垂线， 垂足为 ，通过旋转 可发现，当 时， ， 位于其他位置时， 点 始 终 位 于 的 反 向 延 长 线 上 ， ， 故 ， 故 ，下面寻找最小值，即 的最大值，可得当 在 上的投影与 重合 时 ， 最 大 ， 即 为 ， 此 时 直 线 即 为 直 线 。 所 以 。进而 的范围是 答案： 例 6：已知 ，且 的夹角为 ，点 是 的外接圆上优弧 上的一个动点，则 的最大值是________ 思路：题中 的模长为定值，考虑 即为 乘以 在 上的投影，从而 的最大值只需寻找投影的大小，观 察 图 形 可 得 只 有 当 与 同 向 时 ， 投 影 最 大 。 即 ，只需计算 的模长即可 解：当 与 同向时， 在 上的投影最大 在 中， 即 ,A B OA OB  ,OA OB  B OA D AB OB OA  0OA OB   AB D OA OA OB OA OD     0OA OB    max 0OA OB   DO B OA C DA AC OP AB   2 min 4OA OB OA OD OA OC r            OA OB   4,0  4,0 1, 3OA OB   ,OA OB  150 C AOB AB OA OC  OA OA OC  OA OC OA OA OC  MC OA  max OA OC OA OD      OD MC OA OC OA  max OA OC OA OD       AOB 2 2 2 2 cos 7AB OA OB OA OB AOB    7AB  72 2 71sin 2 ABR AOB    7R  1 1 72 2OD ON ND OA R       - 5 - 答案： 例 7：如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为菱形内任意一点（含 边界），则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 思路：在所给菱形中 方向大小确定，在求数量 积时可想到投影定义，即 乘以 在 上的投影，所以 的最大值只需要寻 找 在 上的投影的最大值即可，而 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在 投 影 距 离 最 远 的 ， 结 合 图 像 可 发 现 的 投 影 距 离 最 远 ， 所 以 ，再由 表示后进行数量积运算即可 解： 答案：9 小炼有话说： （1）从例 7 也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向 量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得 最值的情况 （2）在找到取到最值的 点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影， 不便 于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。正所谓：寻找最 值用投影，而计算时却有更多方法供选择。 例 8：如图，在等腰直角 中， ，点 分别是 的中点， 点  max 1 72OA OC OA OD         1 72  ABCD 2, 60 ,A M   DC N AM AN  3 2 3 6 9 AM AM AN AM AM AN  AN AM A AM A C A  max AM AN AM AC      ,AD DC         max 1 2AM AN AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC                          2 21 3 92 2AD DC AD DC        N AM ABC 2AC BC  ,M N ,AB BC P - 6 - 是 内（包括边界）任一点，则 的取值范围是____________ 思路：因为 点为 内任一点，所以很难用定义表示出 ，考虑利用投影定义。 由 长为定值，可得 为 乘以 在 上的投影，所以只需找到投影的范 围即可。如图，过 作 的垂线，则 点的投影为 ，当 在 点时， 在 上 的投影最大且为线段 的长，当 在 点时， 在 上的投影最小，为 ，分 别计算相关模长即可。在图中有条件可得： ，所以可 得： ，则 ，所以 ，由 ， 为中点可得： 为 中点，从而 在 方向上的投影分别为 ，由 即可求得 的范围为 答案： 例 9 ： 已 知 为 直 角 三 角 形 的 外 接 圆 ， 是 斜 边 上 的 高 ， 且 ， ，点 为线段 的中点， 若 是 中 绕 圆 心 运 动 的 一 条 直 径 ， 则 _________ 思路：本题的难点在于 是一条运动的直径，所以很难直接用定 义求解。考虑到 为直径，所以延长 交圆 于 ，即可得 ， 则 在 上 的 投 影 向 量 为 。 所 求 ，而由 联想到相交弦定理，从而 。考虑与已知条件联系求出直径 上的各段 线段长度。由射影定理可得： ，且 ，所以解得 ， 再 由 为 的 中 点 可 得 ， 所 以 ，进而 ABC AN MP  P ABC AN MP  AN AN MP  AN MP AN M AN M F P B MP AN FE P A MP AN AF 5, 1AN CN BN   BE AE Rt ACN Rt BEN   5= 5 AN NE NECN BN  6 55AE AN NE   FM BE∥ M F AE ,MB MA  AN 3 35, 55 5 5,AN  AN MP   3,3  3,3 M ABC OB AC 6, 2 2AC OB  AO OC P OA DE M M PD PE   DE DE EP M Q DQ QE PD PE PQ PD PE PE PQ     PE PQ PE PQ AP PC   AC 2 8AO CO OB   6AO CO AC   2, 4AO OC  P OA 1, 5AP PC  5PE PQ AP PC    5PD PE PE PQ       M CA O B P D E M CA O B P D E Q - 7 - P A BC I D F E 答案： 例 10 ： 已 知 为 线 段 上 一 点 ， 为 直 线 外 一 点 ， 为 上 一 点 ， 满 足 ， ， ， 且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 从 条 件 上 判 断 很 难 用 代 数 方 式 求 解 ， 所 以 考 虑 作 图 观 察 几 何 特 点 ， 则 。由 及所求 可想到投影与数量积的关系， 即 在 上 的 投 影 相 等 ， 即 可 得 到 平 分 。 再 分 析 ，且 为 的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分 ， 而 与和向量共线，从而 平分 ，由此可得 为 的内心，作出内切圆。所求 也可视为 在 上的投影，即 ，由内切圆性质可得： ，所 以 ， 且 有 ，可解得 答案：C 小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一 个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。 三、历年好题精选（数量积三种求法综合） 5 C AB P AB I PC 4PA PB   10PA PB   PA PC PB PC PA PB          0AC APBI BA AC AP                  BI BA BA    2 4 3 5 10PA PB AB     PA PC PB PC PA PB         BI BA BA    PC ,PA PB  PC APB  0AC AP AC APBI BA AI AC AP AC AP                                  AC AP AC AP      ,AC AP  PAC AI AI PAC I APB BI BA BA    BI BA BF PD PE AD AF BF BE           4PA PB PD AD BE PE AF BF               10AF BF AB   3BI BA BF BA       P A BC I - 8 - 1 、如图：在平行四边形 中，已知 ， ，则 的值是 . 2、已知 的半径为 1，四边形 为其内接正方形， 为 的一条直径， 为正方形 边界上一动点， 则 的最小值为_________ 3、已知点 是边长为 2 的正方形 的内切圆内（含边界)的一动点，则 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 4、已知 是单位圆上互不相同的三个点,且满足 ，则 的最小值 为（ ） A． B． C． D． 5 、如图， 是半径为 1 的圆 上两点，且 ，若 点 是圆 上任意一点，则 的取值范围是__________ 6 、（ 2015 ， 福 建 文 ） 设 ， 若 ，则实数 的值等于（ ） A. B. C. D. 7、（2015，天津）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上, 且, 则 的最小值为 ____ 答案： 8 、（ 2015 ， 山 东 ） 已 知 菱 形 的 边 长 为 ，则 （ ） A. B. C. D. ABCD 8, 5AB AD  3 , 2CP PD AP BP      AB AD  O ABCD EF O M ABCD ME MF  M ABCD MA MB   0,1  2,1  3,1  4,1 , ,P M N PM PN  PM PN  1 4 1 2 3 4 1 ,A B O 3AOB   C O OA BC     1,2 , 1,1 ,a b c a kb        b c  k 3 2 5 3 5 3 3 2 ABCD / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC     E F BC DC 1, ,9BE BC DF DC      AE AF  29 18 ABCD , 60a ABC   BD CD   23 2 a 23 4 a 23 4 a 23 2 a BA D C E F O A B C - 9 - 9、（2015，福建）已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A. B. C. D. 10、（2016，无锡联考）如图，已知正方形 的边长为 2，点 为 的中点．以 为 圆心， 为半径，作弧交 于点 ．若 为劣弧 上的动点， 则 的最小值为________ 11 、（2016 ，南京金陵中学期中）如图，梯形 中， ∥ ，若 ， 则 _______ 12、已知圆 的直径为 ，点 是圆周上异于 的一点，且 ，若点 是圆 所在平面内 一点，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 13、如图，在半径为 1 的扇形 中， 为弧上的动点， 与 交于点 ， 则 最小值是__________ 14、如图，已知圆 ，四边形 为圆 的内接正方形， 分别为边 的中点，当正方形 绕 圆心转动时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1, ,AB AC AB AC tt      P ABC 4AB ACAP AB AC       PB PC  13 15 19 21 ABCD E AB A AE AD F P EF PC PD  ABCD AB , 6, 2CD AB AD DC   12AC BD    AD BC   O BC A ,B C 1AB AC  P O 9AB ACAP AB AC       PB PC  2 3 9 76 81 AOB 60 ,AOB C   AB OC P OP BP     2 2: 4 4 4M x y    ABCD M ,E F ,AB AD ABCD M ME OF  8 2,8 2    8,8  4,4 4 2,4 2   F EA C B o M x y D - 10 - 15、在直角梯形 中， ， ，且 ， 是 的中点，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 16 、如图，在平行四边形 中， ，点 在 边上，且 ，则 （ ） A. B. C. D. ABCD AB CD∥ 2BAD   1 12AB AD CD   M AB 2BN ND  CM AN  5 4 5 4 7 6 7 6 ABCD 2, 1, 3AB AD A     M AB 1 3AM AB DM DB   3 2 3 2 1 1 - 11 - 习题答案： 1、答案： 解析： ， ， 所以 ， 即 ，解得 ． 2、答案： 解析：以 为坐标轴建系，则 ，设 ，所以 的最小值只需找到 的最小值 即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得： 3、答案：C 解析：考虑如图建立坐标系，可得： ，内切圆方程为： ，故 设 ，则 设 ，可得 ， 再由 可得： ，所以 4、答案：B 解析：设 ，则由 可得： 22 1 4AP AD DP AD AB        3 3 4 4BP BC CP BC CD AD AB            1 3( ) ( )4 4AP BP AD AB AD AB          2 21 3 2 16AD AD AB AB       1 32 25 642 16AD AB      22AD AB   1 2 EF    1,0 , 1,0E F  ,M x y    1 . , 1 .ME x y MF x y         2 2 1ME MF x y      ME MF  2 2x y  2 2 min 1 2x y   min 1 2ME MF        1, 1 , 1, 1A B   2 2 1x y     cos , sin , 0,2 ,0 1M r r r         1 cos , 1 sin , 1 cos , 1 sinMA r r MB r r              22 2 2cos 1 1 sin 2 sinMA MB r r r r            22 sinf r r     2 22 , 2f r r r r      0 1r     2 22 1,0 , 2 0,3r r r r      1,3MA MB       1,0 cos ,sinP M   PM PN   cos , sinN   - 12 - ，其中 当 时，可得 5、答案： 解 析 ： 方 法 一 ： 以 为 原 点 ， 为 轴 建 系 ， 则 ， 设 ，则 。所以 方法二：考虑 在 上的投影为 中点 ，利用数量积投影定义数形结合可知 取最大值时， 与 重合；当 取最小值时， 在 反向延长线与圆 的交点处， 经计算可得： 6、答案：A 解析：由已知可得： ，因为 ，所以 7、答案： 解析：因为 ， ， ，    cos 1,sin , cos 1, sinPM PN          0      2 2 2 2 1 1cos 1 sin 2cos 2cos 2 cos 2 2PM PN                    1cos 2   min 1 2PM PN     3 1,2 2     O OA x   1 31,0 , ,2 2OA B        cos ,sinC   1 3cos ,sin2 2BC          1 3 1cos ,2 2 2OA BC            B OA OA M OA BC  C A OA BC  C OA O 3 1,2 2OA BC          1, 2c k k   b c  31 2 0 2b c k k k          29 18 1 ,9DF DC  1 2DC AB  1 1 9 1 9 9 9 18CF DF DC DC DC DC AB                   AE AB BE AB BC        1 9 1 9 18 18AF AB BC CF AB BC AB AB BC                       2 21 9 1 9 1 9118 18 18AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC                                       1 9 19 94 2 1 cos12018 18             2 1 17 2 1 17 2929 2 18 9 2 18 18         - 13 - 当且仅当 即 时 的最小值为 . 8、答案：D 解析： 9、答案：A 解析：以 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则 ， 为单位 向 量 ， 坐 标 为 ， ， 则 所 以 ， 因 为 ，所以 10、答案： 解 析 ： 可 依 正 方 形 以 为 坐 标 轴 建 系 ， 则 ， 其 中 ， ， ， 其中 ，所以当 时， 取到最小值，为 11、答案：0 解析：依题意可得： 2 1 9 2   2 3  AE AF  29 18     2 2 23cos120 2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a                     A  1,0 , 0,B C tt      ,AB AC AB AC        1,0 , 0,1    1,4 1,4AP P   1 1, 4 , 1, 4PB PC tt            1 11 4 16 17 4PB PC t tt t               1 14 2 4 4t tt t    17 4 13PB PC     5 2 5 ,AB AD  cos ,sinP   0, 2          0,2 , 2,2D C    2 cos ,2 sin , cos ,2 sinPC PD               2cos 2 cos 2 sin 5 2cos 4sin 5 2 5sinPC PD                     1tan , 0,2 4        2    PC PD  5 2 5 1 3DC AB       1 3AC BD AD DC AD AB AD AB AD AB                      2 22 1 123 3AD AB AD AB         6AB AD    x y B C A P - 14 - 12、答案：C 解析：因为 为直径，所以可知 ，设 ，则 ，以 为原点， 所在直线为轴建系，可得 ，且 为 的单位向量， 则坐标分别为 ，所以 ，即 ， 可 得 到 ， 则 ， 由 可得 13、答案： 解析：点 在 上的投影为 中点 ，故考虑使用投影计算数量积的最值。可知 在线 段 上 时 ， ， 设 ， 则 ，所以 的最小值为 14、答案：B 解析： 设 ，其中 ，则由 可得： 15、答案：D   22 2 03 3AD BC AD BA AD DC AD AB AD AB AD AD                             BC AB AC AB t  1 0AC tt  A ,AB AC   1,0 , 0,B t C t      ,AB AC AB AC     ,AB AC     1,0 , 0,1      9 1,0 9 0,1 1,9AB ACAP AB AC           1,9P   11, 9 , 1, 9PB t PC t            982PB PC t t          9 92 6t tt t    76PB PC   1 16 O AB AB M P BM 0OP BP   10 2BP x x      21 1 1 2 4 16OP BP MP BP x x x                     OP BP  1 16    1 1 1,2 2 2OF OA OD ME DA OA OD            2 21 4ME OF OA OD        4 2cos ,4 2sinA     0,2  2DMA    4 2cos ,4 2sin 4 2sin ,4 2cos2 2D                               2 2 2 21 4 2cos 4 2sin 4 2sin 4 2cos4ME OF                   8cos 8,8   - 15 - 解析：如图可依直角建立坐标系，则 ，所以 ，由 可知 ，所以 ，所以 16、答案：D 解析：可知 ， 由已知可得： ，代入可得：      2,0 , 0,1 , 1,1C A B 1 ,12M      2BN ND  1 1,3 3N      3 1 2,1 , ,2 3 3CM AN               7 6CM AN    1 3DM DA AM DA AB        DB DA DB      2 21 4 1 3 3 3DM DB DA AB DA AB DA DA AB AB                       2cos 13DA AB DA AB         1DM DB  