【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第8讲指数与指数函数学案 10页

第8讲　指数与指数函数 ‎1.根式 n次 方根 概念 如果xn=a,那么x叫作a的　　　　,其中n>1,n∈N* ‎ 性质 当n是　　　　时,a的n次方根为x= ‎na 当n是　　　　时,正数a的n次方根为x=±na,负数的偶次方根　　　　 ‎ ‎0的任何次方根都是0,记作n‎0‎=0‎ 根式 概念 式子na叫作　　　　,其中n叫作　　　　,a叫作　　　　 ‎ 性质 当n为奇数时,nan=　　　 ‎ 当n为偶数时,nan=|a|=　　　 ‎ ‎2.有理数指数幂 ‎(1)幂的有关概念 ‎①正数的正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).‎ ‎②正数的负分数指数幂:a‎-‎mn=‎1‎amn=‎1‎nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).‎ ‎③0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂　　　　. ‎ ‎(2)有理数指数幂的性质 ‎①aras=　　　　(a>0,r,s∈Q); ‎ ‎②(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈Q); ‎ ‎③(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈Q). ‎ ‎3.指数函数的图像与性质 y=ax(a>0‎ 且a≠1)‎ a>1‎ ‎00时,　　　　; ‎ 当x<0时,　　　 ‎ 当x>0时,　　　　; ‎ 当x<0时,　　　 ‎ 在R上是　　　 ‎ 在R上是　　　 ‎ 常用结论 ‎1.函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).‎ ‎2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线. ‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 若x+x-1=3,则x2-x-2=　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 已知2x-1<23-x,则x的取值范围是　　　　. ‎ ‎3.[教材改编] 函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点　　　　. ‎ ‎4.[教材改编] 下列所给函数中值域为(0,+∞)的是　　　　. ‎ ‎①y=-5x;②y=‎1‎‎3‎‎1-x;③y=‎1‎‎2‎x‎-1‎;④y=‎1-‎‎2‎x.‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:忽略n的范围导致式子nan(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.‎ ‎5.计算‎3‎‎(1+‎‎2‎‎)‎‎3‎+‎4‎‎(1-‎‎2‎‎)‎‎4‎=　　　　. ‎ ‎6.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=　　　　. ‎ ‎7.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　. ‎ ‎8.函数y=‎2‎‎1‎x-1‎的值域为　　　　　　　. ‎ 探究点一　指数幂的化简与求值 例1 (1)计算:‎8‎‎2‎‎3‎-‎-‎‎7‎‎8‎‎0‎+‎4‎‎(3-π‎)‎‎4‎+[(-2)6‎]‎‎1‎‎2‎=　　　　. ‎ ‎(2)已知x‎1‎‎2‎+x‎-‎‎1‎‎2‎=‎5‎,则x‎2‎‎+x‎-2‎-6‎x+x‎-1‎-5‎的值为　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 指数幂运算的一般原则:‎ ‎(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.‎ ‎(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.‎ ‎(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.‎ ‎(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.‎ 变式题 (1)计算:2x‎-‎‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎3‎‎+‎x‎4‎‎3‎= (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.3 B.2 ‎ C.2+x D.1+2x ‎(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则a‎-‎ba‎+‎b=　　　　. ‎ 探究点二　指数函数的图像及应用 例2 (1)函数y=xax‎|x|‎(a>1)的图像大致是 (　　)‎ A　　　　　 B　　　　　C　　　　　 D 图2-8-1‎ ‎(2)[2018·辽阳一模] 设函数f(x)=‎|‎2‎x-1|,x≤2,‎‎-x+5,x>2,‎若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是 (　　)‎ A.(16,32) B.(18,34) ‎ C.(17,35) D.(6,7)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),‎-1,‎‎1‎a.‎ ‎(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.‎ ‎(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.‎ 变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像如图2-8-2所示,则函数g(x)=ax+b的图像大致是(　　)‎ 图2-8-2‎ A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D 图2-8-3‎ ‎(2)函数f(x)=|ax+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是　　　　. ‎ 图2-8-4‎ 探究点三　利用指数函数的性质解决有关问题 微点1　比较指数式的大小 例3 (1)[2018·凯里一中二模] 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是 (　　)‎ A.c(1-a)b ‎ B.(1-a)b>(1-a‎)‎b‎2‎ C.(1+a)a>(1+b)b ‎ D.(1-a)a>(1-b)b ‎ ‎ ‎ [总结反思] 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较.‎ 微点2　解简单的指数方程或不等式 例4 (1)已知函数f(x)=a+‎1‎‎4‎x‎+1‎的图像过点1,-‎3‎‎10‎,若-‎1‎‎6‎≤f(x)≤0,则实数x的取值范围是　　　　. ‎ ‎(2)方程4x+|1-2x|=11的解为　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0b>c ‎ B.a>c>b C.c>a>b ‎ D.b>c>a ‎2.【微点1】[2018·河南八市联考] 设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=‎1‎a‎0.1‎的大小关系是(　　)‎ A.M=N B.M≤N C.MN ‎3.【微点2】当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)‎ A.(-1,2) ‎ B.(-4,3)‎ C.(-3,4) ‎ D.(-2,1)‎ ‎4.【微点2】若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是 (　　)‎ A.(0,1)∪(1,+∞) ‎ B.(0,1)‎ C.(1,+∞) ‎ D.‎‎0,‎‎1‎‎2‎ ‎5.【微点3】已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式‎1‎ax+‎1‎bx-m≥0,x∈(-∞,1]恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. ‎ 第8讲　指数与指数函数 考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.‎ ‎2.指数函数 ‎(1)了解指数函数模型的实际背景.‎ ‎(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎的指数函数的图像.‎ ‎(3)知道指数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.n次方根　奇数　偶数　没有意义　根式　根指数　被开方数　a　‎a(a≥0),‎‎-a(a<0)‎ ‎2.(1)0　没有意义　(2)ar+s　ars　arbr ‎3.(0,+∞)　(0,1)　y>1　01　增函数　减函数 对点演练 ‎1.±3‎5‎　[解析] 把x+x-1=3两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=±‎5‎,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±3‎5‎.‎ ‎2.(-∞,2)　[解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2).‎ ‎3.(1,3)　[解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3).‎ ‎4.②　[解析] 对于②,∵1-x∈R,∴y=‎1‎‎3‎‎1-x的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).‎ ‎5.2‎2‎　[解析] ‎3‎‎(1+‎‎2‎‎)‎‎3‎+‎4‎‎(1-‎‎2‎‎)‎‎4‎=1+‎2‎+|1-‎2‎|=2‎2‎.‎ ‎6.2　[解析] 由指数函数的定义可得a‎2‎‎-3=1,‎a>0,‎a≠1,‎解得a=2.‎ ‎7.2或‎1‎‎2‎　[解析] 若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若00且y≠1}　[解析] 函数的定义域为{x|x≠1},因为‎1‎x-1‎≠0,所以y≠1,又指数函数y=2x的值域为(0,+∞),故所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨] (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错误;(2)由已知平方得x+x-1的值,再平方可得x2+x-2的值,最后代入求值.‎ ‎(1)π+8　(2)-‎1‎‎2‎　[解析] (1)‎8‎‎2‎‎3‎-‎-‎‎7‎‎8‎‎0‎+‎4‎‎(3-π‎)‎‎4‎+[(-2)6‎]‎‎1‎‎2‎=‎2‎‎3×‎‎2‎‎3‎-1+(π-3)+‎2‎‎6×‎‎1‎‎2‎=22-1+π-3+23=4+π-4+8=π+8.‎ ‎(2)由已知可得x+x-1=(x‎1‎‎2‎+x‎1‎‎2‎)2-2=3,‎ 则x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,‎ 故原式=‎7-6‎‎3-5‎=-‎1‎‎2‎.‎ 变式题　(1)D　(2)‎5‎‎5‎　[解析] (1)原式=2x‎1‎‎3‎·‎1‎‎2‎x‎1‎‎3‎+2x‎1‎‎3‎·x‎4‎‎3‎=1+2x.‎ ‎(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以a‎-‎ba‎+‎b‎2‎=a+b-2‎aba+b+2‎ab=‎6-2‎‎4‎‎6+2‎‎4‎=‎1‎‎5‎.‎ 因为a>b>0,所以a>b,所以a‎-‎ba‎+‎b=‎5‎‎5‎.‎ 例2　[思路点拨] (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知2a+2b=2,再分析2c的范围求解.‎ ‎(1)B　(2)B　[解析] (1)由题意得y=xax‎|x|‎=‎ax‎,x>0,‎‎-ax,x<0.‎ ‎∵a>1,∴当x>0时,函数为增函数;当x<0时,函数为减函数.‎ 结合各选项可得B满足题意.故选B.‎ ‎(2)画出函数f(x)的图像如图所示.‎ 不妨令a1,f‎1‎‎2‎=0,b<0,‎ 所以a+b=0,所以a+b=a-a>1-‎1‎=0.‎ 例3　[思路点拨] (1)将a,b化为同底的指数式,利用指数函数y=2x的单调性比较a,b的大小,再估算c,从而得a,b,c的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于0小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.‎ ‎(1)A　(2)D　[解析] (1)因为a=0.5-2.1=22.1>20.5>1,所以a>b>1,又因为c=0.22.1<0.20=1,所以a>b>c,故选A.‎ ‎(2)因为0b,b>b‎2‎,‎ 所以(1-a‎)‎‎1‎b<(1-a)b,(1-a)b<(1-a‎)‎b‎2‎,所以A,B均错误; ‎ 又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以C错误;‎ 对于D,(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以(1-a)a>(1-b)b,所以D正确.故选D.‎ 例4　[思路点拨] (1)先确定a的值,再结合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.‎ ‎(1)0≤x≤‎1‎‎2‎　(2)x=log23　[解析] (1)由题意知f(1)=a+‎1‎‎4+1‎=a+‎1‎‎5‎=-‎3‎‎10‎,则a=-‎1‎‎2‎.因为-‎1‎‎6‎≤f(x)≤0,所以-‎1‎‎6‎≤‎1‎‎4‎x‎+1‎-‎1‎‎2‎≤0,所以‎1‎‎3‎≤‎1‎‎4‎x‎+1‎≤‎1‎‎2‎,所以2≤4x+1≤3,所以1≤4x≤2,解得0≤x≤‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)当x≤0时,1-2x≥0,‎ 原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=‎1‎‎2‎+‎41‎‎2‎,此时x>0,故舍去.‎ 当x>0时,1-2x<0,‎ 原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log23,即为原方程的解.‎ 例5　[思路点拨] (1)根据条件先确定a,b的值,再依据指数函数的单调性及值域确定函数f(x)的值域;(2)由函数f(x)为奇函数,确定a的值,将不等式分离变量,转化成b>g(x)的形式,从而转化为考查函数g(x)的最小值问题.‎ ‎(1)A　(2)b>2　[解析] (1)函数f(x)为奇函数,则f(0)=a+b‎2‎=0,①‎ 函数图像过点ln3,‎‎1‎‎2‎,则f(ln 3)=a+b‎4‎=‎1‎‎2‎.②‎ 结合①②可得a=1,b=-2,‎ 则f(x)=1-‎2‎ex‎+1‎.因为ex>0,所以ex+1>1,所以0<‎2‎ex‎+1‎<2,所以-1<1-‎2‎ex‎+1‎<1,‎ 即函数f(x)的值域为(-1,1).‎ ‎(2)由题意知f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,得a=1,所以f(x)=‎2‎x‎-1‎‎2‎x‎+1‎.设h(x)=‎2‎x‎-1‎‎2‎x‎+1‎+2x-b‎2‎x‎+1‎=‎(‎2‎x‎)‎‎2‎+‎2‎x+1‎-1-b‎2‎x‎+1‎,由题设知h(x)<0在[0,1]内有解,即不等式(2x)2+2x+1-1-b<0在[0,1]内有解,即b>(2x)2+2x+1-1在[0,1]内有解.设g(x)=(2x)2+2x+1-1,x∈[0,1],而函数y=2x,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以g(x)=(2x)2+2x+1-1在[0,1]上单调递增,所以g(x)min=g(0)=2,所以b>2.‎ 应用演练 ‎1.A　[解析] 因为函数f(x)=0.4x在R上为减函数,所以0.40.6<0.40.2<0.40=1,‎ 又因为20.2>20=1,所以20.2>0.40.2>0.40.6,即a>b>c.‎ 故选A.‎ ‎2.D　[解析] 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=‎1‎a‎0.1‎<1,所以M>N,故选D.‎ ‎3.A　[解析] 由题意知当x∈(-∞,-1]时,m2-m<‎2‎x‎4‎x=‎1‎‎2‎x恒成立,‎ 当x∈(-∞,-1]时,‎1‎‎2‎x∈[2,+∞),‎ 则m2-m<2,解得-10且a≠1)有两个不等实根可转化为函数y=|ax-1|与y=2a的图像有两个不同交点. ‎ 当01时,两函数图像如图②,而y=2a>1,不符合题意.‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ 故00且a≠1,解得a=2,‎b=3,‎ 所以f(x)=3·2x.‎ 要使‎1‎‎2‎x+‎1‎‎3‎x≥m,x∈(-∞,1]恒成立,只需函数y=‎1‎‎2‎x+‎1‎‎3‎x在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.‎ 因为函数y=‎1‎‎2‎x+‎1‎‎3‎x在(-∞,1]上为减函数,‎ 所以当x=1时,y=‎1‎‎2‎x+‎1‎‎3‎x取得最小值‎5‎‎6‎,‎ 所以只需m≤‎5‎‎6‎即可,‎ 即m的取值范围为‎-∞,‎‎5‎‎6‎.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1为指数幂的运算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例2为分段函数与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例3为含参不等式,进一步熟悉分离变量以及转化与化归思想;例4考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解.‎ 例1　[配合例1使用] 已知a‎2‎‎3‎=2+‎3‎,则a+‎a‎-1‎a‎1‎‎3‎‎+‎a‎1‎‎3‎的值为　　　　. ‎ ‎[答案] 3‎ ‎[解析] 设a‎1‎‎3‎=t,则t2=2+‎3‎,则a+‎a‎-1‎a‎1‎‎3‎‎+‎a‎1‎‎3‎=t‎3‎‎+‎‎1‎t‎3‎t+‎‎1‎t=t2+‎1‎t‎2‎-1=2+‎3‎+‎1‎‎2+‎‎3‎-1=3.‎ 例2　[配合例4使用] [2018·河南林州一中调研] 已知函数f(x)=‎2‎x‎-1,x>1,‎‎1,x≤1,‎则不等式f(x)0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎[答案] ‎‎-‎3‎‎4‎,+∞‎ ‎[解析] 从已知不等式中分离出实数a,得a>-‎1‎‎4‎x‎+‎‎1‎‎2‎x.‎ ‎∵函数y=‎1‎‎4‎x和y=‎1‎‎2‎x在R上都是减函数,∴当x∈(-∞,1]时,‎1‎‎4‎x≥‎1‎‎4‎,‎1‎‎2‎x≥‎1‎‎2‎,‎ ‎∴‎1‎‎4‎x+‎1‎‎2‎x≥‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎=‎3‎‎4‎,从而得-‎1‎‎4‎x‎+‎‎1‎‎2‎x≤-‎3‎‎4‎.‎ 故实数a的取值范围为a>-‎3‎‎4‎.‎ 例4　[配合例5使用] 已知定义在R上的函数f(x)=2x-‎1‎‎2‎x.‎ ‎(1)若f(x)=‎3‎‎2‎,求x的值;‎ ‎(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)由f(x)=‎3‎‎2‎⇒2x-‎1‎‎2‎x=‎3‎‎2‎⇒2·(2x)2-3·2x-2=0⇒(2x-2)(2·2x+1)=0.∵2x>0,∴2x=2,∴x=1.‎ ‎(2)由2tf(2t)+mf(t)≥0⇒2t‎2‎‎2t‎-‎‎1‎‎2‎‎2t+m‎2‎t‎-‎‎1‎‎2‎t≥0⇒m(2t-2-t)≥-2t(22t-2-2t).‎ 又t∈[1,2],∴2t-2-t>0,∴m≥-2t(2t+2-t),即m≥-22t-1,‎ 故只需m≥(-22t-1)max.‎ 令y=-22t-1,t∈[1,2],可得ymax=-22-1=-5,‎ 故m≥-5.‎