2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章　第3讲　圆的方程 17页

第3讲　圆的方程 一、知识梳理 ‎1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆 标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)‎ 圆心：，‎ 半径： ‎2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ 常用结论 几种常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2‎ x2＋y2－r2＝0‎ 续　表 标准方程的设法 一般方程的设法 过原点 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2‎ x2＋y2＋Dx＋Ey＝0‎ 圆心在x轴上 ‎(x－a)2＋y2＝r2‎ x2＋y2＋Dx＋F＝0‎ 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2‎ x2＋y2＋Ey＋F＝0‎ 与x轴相切 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝b2‎ x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0‎ 与y轴相切 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝a2‎ x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0‎ 二、教材衍化 ‎1．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　)‎ A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1‎ B．(x－3)2＋(y－1)2＝1‎ C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1‎ D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1‎ 答案：A ‎2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．‎ 解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.‎ 所以圆心坐标为(2，－3)，半径为.‎ 答案：(2，－3)　 ‎3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．‎ 解析：设圆心坐标为C(a，0)，‎ 因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，‎ 所以|CA|＝|CB|，‎ 即＝，‎ 解得a＝2，‎ 所以圆心为C(2，0)，‎ 半径|CA|＝＝，‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝10‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)‎ ‎(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ ‎(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　　)‎ ‎(4)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．(　　)‎ ‎(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是.(　　)‎ ‎(6)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×‎ 二、易错纠偏 (1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；‎ ‎(2)错用点与圆的位置关系；‎ ‎(3)不能正确确定圆心坐标．‎ ‎1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．‎ 解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.‎ 由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.‎ 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为点(1，1)在圆内，‎ 所以(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－10)，又圆与直线4x－3y＝0相切，‎ 所以＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)．‎ 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ ‎　　　　　　求圆的方程(多维探究)‎ 角度一　已知不共线的三点，求圆的方程 ‎ (一题多解)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．‎ ‎【解析】　法一(待定系数法)：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．‎ 由题意得解得 所以圆E的标准方程为＋y2＝.‎ 法二(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，‎ 则由题意得解得 所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，‎ 即＋y2＝.‎ 法三(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．‎ 又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.‎ 则圆E的半径为EB＝＝，‎ 所以圆E的标准方程为＋y2＝.‎ ‎【答案】　＋y2＝ 角度二　已知两点及圆心所在直线，求圆的方程 ‎ (一题多解)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．‎ ‎【解】　法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，‎ 所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．‎ 又该圆经过A，B两点，‎ 所以|CA|＝|CB|，‎ 即＝，解得a＝－2，‎ 所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.‎ 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.‎ 法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 由题意得解得 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.‎ 法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.‎ 由题意得解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.‎ 角度三　已知直线与圆的位置关系，求圆的方程 ‎ (1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________．‎ ‎(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________________．‎ ‎【解析】　(1)x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以圆的半径为.又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎(2)设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.‎ 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎【答案】　(1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ 求圆的方程的两种方法 ‎(1)直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎(2)待定系数法 ‎①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．‎ ‎[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．　 ‎ ‎1．(一题多解)(2020·陕西西安一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(‎ ‎－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为(　　)‎ A．8　　　　　　　　　　 B．2 C．5 D． 解析：选D.法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以所以a＋b－2＝0，①‎ 又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|，②‎ 由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为，故选D.‎ 法二：因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为.故选D.‎ ‎2．(2020·湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________．‎ 解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，a≠0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，‎ 所以圆心为，因为圆心在直线2x－y－3＝0，所以－a＋－3＝0，所以a＝－6.‎ 所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.‎ 答案：(x－3)2＋(y－3)2＝34‎ ‎　　　　　　与圆有关的轨迹问题(师生共研)‎ ‎ 已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹方程．‎ ‎【解】　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，‎ 所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，‎ 因为点M为线段AB的中点，‎ 所以C1M⊥OM，‎ 所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝，‎ 又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．‎ 设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，‎ 消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.‎ 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解得x＝，因此0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.‎ ‎3．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 解析：选D.由题意得即或 故原方程表示两个半圆．‎ ‎4．(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为(　　)‎ A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0‎ C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0‎ 解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.‎ 法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，‎ 解方程组，得或(舍去)，即B，因为A(8，0)，所以kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.‎ ‎5．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|＋|的最大值为(　　)‎ A.＋2 B．＋4‎ C．2＋4 D．2＋2‎ 解析：选C.取AB的中点D(2，－3)，则＋＝2，|＋|＝|2|，||的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝＝，所以d＋r＝＋2.‎ 所以|2|的最大值为2＋4.故选C.‎ ‎6．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为________．‎ 解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为.因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，所以直线x－y＋1＝0经过圆心，即－＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为×＝3.‎ 答案：3‎ ‎7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．‎ 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－‎ y＝0的距离d＝＝，‎ 解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝9‎ ‎8．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．‎ 解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，‎ 所以圆心为C(0，4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．‎ 由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2‎ ‎9．(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．‎ 解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，‎ 所以设所求圆的圆心为(3a，a)，‎ 又所求圆与y轴相切，‎ 所以半径r＝3|a|，‎ 又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，‎ 所以d2＋()2＝r2，‎ 即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.‎ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ 法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，‎ 所以r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.　①‎ 由于所求圆与y轴相切，所以r2＝a2，　②‎ 又因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，‎ 所以a－3b＝0，　③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ 法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为，‎ 半径r＝.‎ 在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.‎ 由于所求圆与y轴相切，‎ 所以Δ＝0，则E2＝4F.　①‎ 圆心到直线y＝x的距离为d＝，‎ 由已知得d2＋()2＝r2，‎ 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．　②‎ 又圆心在直线x－3y＝0上，‎ 所以D－3E＝0.　③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ 答案：x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0‎ ‎10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ 解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0‎ C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0‎ 解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．‎ 因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，‎ 所以|PO|2＋r2＝|PC|2，‎ 所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，‎ 即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.‎ ‎2．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A.－2 B． C.－2 D．－2‎ 解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.故选C.‎ ‎3．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．‎ 解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．‎ 则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，‎ 所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，‎ 所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2.‎ 答案：5－2 ‎4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．‎ 解析：由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．‎ 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ 设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①‎ 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，‎ 所以(a＋1)2＋b2＝40.②‎ 由①②解得或 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．‎ 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ 答案：x＋y－3＝0　(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40‎ ‎5．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.‎ ‎(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．‎ 解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.‎ ‎(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．‎ 解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.‎ 设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.‎ 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－.‎ 由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，‎ 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，‎ 故所求圆的方程为＋y2＝.‎ ‎(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，‎ 将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，‎ 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，‎ 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.‎ 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.‎