吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 理科数学（四） 9页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019届高三第一次模拟考试卷 理 科 数 学（四）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·和平区期末]设集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．[2018·长沙一模]设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·汕头冲刺]《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2018银川一中·]等差数列的前11项和，则（ ）‎ A．8 B．16 C．24 D．32‎ ‎5．[2018·齐鲁名校]已知定义在上的函数满足，且为偶函数，‎ 若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．[2018·南宁二中]展开式中，含项的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·鄂尔多斯一中]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2018·兰州一中]若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·鄂尔多斯期中]要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎10．[2018·三湘名校]过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，‎ 以、为直径的圆分别与轴相切于点，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2018·云天化中学]已知，则，之间的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．无法比较 ‎12．[2018·太原期中]巳知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最大值为（ ）‎ A．9 B．32 C．35 D．61‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·深圳实验]已知，，若，则与的夹角是_________．‎ ‎14．[2018·射洪中学]设，满足约束条件则的最小值是_________．‎ ‎15．[2018·周南中学]已知双曲线的上支交抛物线于，两点，双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点，为抛物线的焦点，且，则_______．‎ ‎16．[2018·天水一中]如图，图形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，，为圆上的点，，，，分别以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）[2018·齐鲁名校]在中，，，分别为内角，，所对的边，已知，其中为外接圆的半径，为的面积，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎18．（12分）[2018·遵义航天中学]如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．‎ ‎（1）当是线段的中点时，求证：平面；‎ ‎（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，‎ 请说明理由．‎ ‎19．（12分）[2018·南昌模拟]‎ 中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”），这批海航班学员在10月参加活动的次数统计如图所示：‎ ‎（1）从海航班学员中任选2名学员，他们10月参加活动次数恰好相等的概率；‎ ‎（2）从海航班学员中任选2名学员，用表示这两学员10月参加活动次数之差绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎20．（12分）[2018·拉萨中学]已知椭圆过点，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．‎ ‎21．（12分）[2018·遵义航天中学]已知函数的两个零点为，．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎[2018·河南一模]在直角坐标系中，已知直线：，‎ ‎：，其中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，‎ 取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出，的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，分别与曲线交于点，（非坐标原点），求的值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎[2018·张家界三模]已知函数．‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围．‎ ‎2019届高三第一次模拟考试卷 理科数学（四）答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】∵集合，集合，‎ ‎∴，故选C．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】∵，在复平面内的对应点关于实轴对称，∴，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】直角三角形的斜边长为，‎ 设内切圆的半径为，则，解得，‎ ‎∴内切圆的面积为，‎ ‎∴豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】∵等差数列的前11项和，∴，∴，‎ 根据等差数列性质：，故选B．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】由，可得，‎ 又为偶函数，的图像关于对称，‎ ‎∴，，．‎ 又在内单调递减，∴．故选B．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】∵展开式的通项公式为，‎ ‎∴展开式中，含项的系数为，故选B．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】该几何体是由半个圆柱（该圆柱的底面圆半径是1，高是2）与一个四棱锥（该棱柱的底面面积等于，高是2）拼接而成，其体积等于，故选C．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】根据程序框图，运行结果如下：‎ ‎ ‎ 第一次循环 3‎ 第二次循环 4‎ 第三次循环 5‎ 第四次循环 6‎ 第五次循环 7‎ 第六次循环 8‎ 故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是．故选D．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】分别把两个函数解析式简化为，‎ 函数，‎ 可知只需把函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．故选D．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】设，，‎ ‎∵抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ ‎∵，为直径的圆分别与轴相切于点，，‎ ‎∴，，∴，‎ 将方程代入，‎ 整理得，，，‎ ‎，故选C．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】设，则，．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，即．故选A．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】数列的前项依次为：1，2，3，，5，7，，．‎ 利用列举法可得：当时，中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列，‎ ‎∴数列的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，‎ ‎，69，2，4，8，16，32，64，‎ ‎，‎ 当时，中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列，‎ ‎∴数列的前36项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，‎ ‎，71，2，4，8，16，32，64，‎ ‎，‎ ‎∴的最大值．故选C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】∵，，且，∴，‎ 即，解得，‎ ‎∴向量与的夹角是，故答案为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由得，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：‎ 平移直线，由图象可知当直线过点A时，直线截距最大，‎ 此时最小，由得，即，‎ 代入目标函数，得．‎ ‎∴目标函数的最小值是．故答案为．‎ ‎15．【答案】1‎ ‎【解析】设，，，‎ 由，得，，，‎ 由抛物线定义可得，，，‎ 由，得，，‎ 得，‎ 即，结合解得，故答案为1．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】‎ 连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，‎ 则，，‎ ‎∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，∴，解得，‎ 设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，‎ 则，，，解得，‎ 外接球的体积．故答案为．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得，∴，∴，‎ 又，∴，则．，，‎ 由余弦定理可得，∴，‎ 又，∴，∴．‎ ‎（2）由正弦定理得，又，∴，‎ ‎∴，∴的周长．‎ ‎18．【答案】（1）见解析；（2）存在．‎ ‎【解析】（1）证明：连接交于点，连接，‎ ‎∵四边形是菱形，∴点为的中点．‎ 又∵为的中点，‎ ‎∴．又∵平面，平面．‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）∵是菱形，，是的中点，‎ ‎ ∴．‎ 又∵平面，‎ 以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，．‎ 假设棱上存在点，设点坐标为，，‎ 则，∴，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，解得．‎ 令，则，得．‎ ‎∵平面，∴平面的法向量，‎ ‎∴．‎ ‎∵二面角的大小为，‎ ‎∴，即，解得，或（舍去）；‎ ‎∴在棱上存在点，当时，二面角的大小为．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由频率分布表可看出：50名海航班学员中参加活动一次有10人，参加活动2次有25人，参加活动3次有15人，据此计算可得．‎ ‎（2）依题意，随机变量的取值有0、1、2，求解相应的概率值可得 从海航班中任选2名学员，‎ 记事件：“这两人中一人参加1次活动，一人参加2次活动，‎ 事件：“这两人中一人参加2次活动，一人参加3次活动”，‎ 事件：“这两人中一人参加1次活动，一人参加3次活动”，‎ ‎∴；，‎ ‎，‎ ‎∴随机变量的分布列为：‎ ‎∴随机变量的期望．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，‎ ‎∴，，∴由，得，‎ ‎∴椭圆的标准方程是．‎ ‎（2）∵过椭圆的右焦点作斜率为直线，∴直线的方程是．‎ 联立方程组消去，得，‎ 显然，设点，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵轴平分，∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；‎ 当时，由可解得，由可解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 要使得在上有两个零点，则，解得，‎ 则的取值范围为．‎ ‎（2）令，则，‎ 由题意知方程有两个根，即方程有两个根，‎ 不妨设，，令，‎ 则当时，单调递增，时，单调递减，‎ 综上可知，，‎ 要证，即证，即，即证，‎ 令，下面证对任意的恒成立，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，则在单调递增，‎ ‎∴，故原不等式成立．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），的极坐标方程为，．‎ 曲线的极坐标方程方程为即得，‎ 利用，，‎ 得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴‎ ‎，∴的值为．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意知，原不等式等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）当时，则，‎ 此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：‎ 当时，，‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 要使函数的图象与轴围成一个三角形，‎ 则，解得；‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎