2019-2020学年四川省成都外国语学校高二上学期期中考试 数学（理） Word版 6页

保密★启用前 考试时间：2019年11月5日 成都外国语学校2019-2020学年上期高2018级期中考试 数 学 试 卷（理科）‎ 第I卷 选择题 一、 选择题：本大题共12个小题，每小题仅有一个正确选项，每小题5分，共60分。‎ ‎1 、若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎2、点关于平面的对称点为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为(　　) ‎ A． B．C． D．‎ ‎4、已知椭圆（）的左焦点为，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5、若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1)‎ ‎7、正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥 的体积为（ ）‎ A．3 B． C．1 D． ‎ ‎8、直线与圆相切，则的值是（ ）‎ A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12‎ ‎9、已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、、、四点，四边形的的面积为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C．x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎ D．‎ ‎10、曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11、为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则的离心率为（ ）‎ A. B.2 C.或 D.2或3‎ ‎12、已知双曲线左焦点为，为双曲线右支上一点，若的中点在以为半径的圆上，则的横坐标为（ ）‎ A. B.4 C. D.6‎ 第II卷 非选择题 一、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 ‎ x y Ox QOx ‎（第16题）‎ ‎14、已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 ．‎ ‎15、过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ‎ ‎16、如图,已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1,则双曲线的离心率是 ‎ ‎ ‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共70分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17、（本题满分10分）记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值．‎ ‎18、（本题满分12分）在中，=60°，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎19、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C‎1‎：x‎2‎m‎2‎‎-y‎2‎n‎2‎=1(m>0,n>0)‎经过点‎(‎3‎,0)‎，其中一条渐近线的方程为y=‎3‎‎3‎x，椭圆C‎2‎：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎与双曲线C‎1‎有相同的焦点‎.‎椭圆C‎2‎的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为b‎7‎．‎ ‎(1)‎求双曲线C‎1‎的方程；‎ ‎(2)‎求椭圆C‎2‎的方程．‎ ‎20、（本题满分12分）已知点，及圆．‎ ‎（1）求过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）若过点的直线与圆相交，截得的弦长为，求直线的方程．‎ ‎21、（本题满分12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎(1)求的方程；(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎22、（本题满分12分）已知椭圆C：的长轴长为4，焦距为2‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B．‎ ‎(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值；‎ ‎(ii)求直线AB的斜率的最小值．‎ 高二数学半期理科答案 一、BDAB DBCD DDDC 二、13、‎5‎‎2‎ 14、‎2‎n‎-1‎ 15、‎2‎‎2‎ 16、2‎ 三、‎ ‎17、（1）‎S‎3‎‎=-15=a‎1‎+a‎2‎+a‎3‎=3a‎2‎∴a‎2‎=-5,∴d=2‎ ‎∴an=2n-9 ‎ ‎(2)‎ Sn=n‎2‎-8n,当n=4时，Sn最小为-16‎ ‎18、（1）‎c=‎3‎‎7‎a⇒sinC=‎3‎‎7‎sinA=‎3‎‎3‎‎14‎,cosA=‎‎13‎‎14‎ ‎(2)a=7,则c=3,‎ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=‎‎4‎‎3‎‎7‎ ‎∴‎S‎∆ABC‎=‎1‎‎2‎acsinB=6‎‎3‎ ‎19、（1）设双曲线方程为x‎2‎‎9‎-y‎2‎‎3‎‎=λ(λ>0)‎,过（‎3‎‎，0‎）∴‎λ=‎‎1‎‎3‎ ‎∴双曲线方程为：x‎2‎‎3‎-‎y‎2‎‎=1‎ ‎(2)由（1）可知F(-2,0),A(-a,0),B(0,b),且a‎2‎‎-b‎2‎=4‎ 设直线AB方程为：‎x‎-a‎+yb=1⇒bx-ay+ab=0‎ ‎∴ ‎|-2b+ab |‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎b‎7‎ ∴a=4或a=‎‎8‎‎5‎(舍)，∴‎b‎2‎‎=a‎2‎-4=12‎ ‎∴ 椭圆方程为：‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎ ‎20、（1）设过M的切线方程为：y=k(x-3)+1‎⇒‎kx-y-3k+1=0‎ 圆心到直线的距离d=‎|k-2-3k+1|‎k‎2‎‎+1‎=2⇒k=‎‎3‎‎4‎,所以方程为3x-4y-5=0‎ 当直线斜率不存在时：x=3与圆相切 综上：过M的切线方程为3x-4y-5=0或x=3‎ ‎（2）弦长为‎2‎‎3‎，圆半径为2，所以圆心到直线的距离为1‎ ‎∴ ‎‎|k-2-3k+1|‎k‎2‎‎+1‎‎=1⇒k=0或k=-‎‎4‎‎3‎ ‎∴所求直线方程为：y=1或4x+3y-15=0‎ ‎21、F(1，0)，设直线l：y=kx-1‎联立抛物线方程得：ky‎2‎-4y-4k=0‎ 设A(x‎1‎‎,‎y‎1‎), B(x‎2‎‎,‎y‎2‎)‎ ‎∴y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎4‎k, ‎y‎1‎y‎2‎‎=-4‎ ‎∴|AB|=‎1+‎‎1‎k‎2‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎-4‎y‎1‎y‎2‎‎=8‎ ∵k>0‎ ‎∴k=1,所以直线方程为x-y-1=0‎ ‎(2)由（1）可知AB中点为（3，2），AB中垂线为：y=-x+5‎ 设所求圆圆心为（x‎0‎‎,‎y‎0‎）‎ ‎∵‎y‎0‎‎=-x‎0‎+5‎‎(x‎0‎-3)‎‎2‎‎+‎(y‎0‎-2)‎‎2‎+16=‎‎(x‎0‎+1)‎‎2‎ ‎∴x‎0‎‎=3‎y‎0‎‎=2‎ ‎x‎0‎‎=11‎y‎0‎‎=-6‎ ‎∴所求圆方程为：‎(x-3)‎‎2‎‎+‎(y-2)‎‎2‎=16‎或‎(x-11)‎‎2‎‎+‎(y+6)‎‎2‎=144‎ ‎22、（1）椭圆方程为：‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎ ‎（2）设N（x‎1‎‎，0‎）则P(x‎1‎‎,2m),Q(x‎1‎‎,-2m),‎ ‎∴k=‎2m-mx‎1‎=‎mx‎1‎, k' =‎-2m-mx‎1‎=‎-3mx‎1‎ ∴= -3‎ ii)设AP直线为：y=kx+m(k>0)‎ 由y=kx+mx‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎得‎1+2‎k‎2‎x‎2‎‎+4kmx+2m‎2‎-4=0‎ ‎∴xAxP‎=‎2m‎2‎-4‎‎1+2‎k‎2‎⇒xA=‎‎2m‎2‎-4‎‎(1+2k‎2‎)‎x‎1‎ ∴‎yA‎=kxA+m 同理可得：xB‎=‎‎2m‎2‎-4‎‎(1+18k‎2‎)‎x‎1‎ ‎‎∴yB=-3kxB+m ‎∴‎kAB‎=yA‎-‎yBxA‎-‎xB=kxA+m-(-3kxB+m)‎xA‎-‎xB=k⋅xA‎+3‎xBxA‎-‎xB=k⋅‎2m‎2‎-4‎‎1+2‎k‎2‎x‎1‎‎+3‎‎2m‎2‎-4‎‎1+18‎k‎2‎x‎1‎‎2m‎2‎-4‎‎1+2‎k‎2‎x‎1‎‎-‎‎2m‎2‎-4‎‎1+18‎k‎2‎x‎1‎=‎3‎‎2‎k+‎1‎‎4k≥‎‎6‎‎2‎ 当且仅当k=‎6‎‎6‎时取等号 所以，AB斜率最小值为‎6‎‎2‎