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- 2021-07-01 发布
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辽宁省朝阳市朝阳县柳城高中2019-2020学年高一上学期期中数学试题
一、选择题(请把正确选项填涂到答题卡对应题号位置。共12题,每题5分,共60分)
1.下列关系中,正确的是( )
①;②;③;④.
A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用元素与集合、集合与集合的包含关系判断出命题①②③④的正误,可得出正确选项.
【详解】,命题①正确;,命题②错误;,命题③正确;,命题④错误.
因此,正确的命题的序号为①③.
故选:C.
【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断,考查推理能力,属于基础题.
2.命题“,” 的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】
由全称命题的否定可得出该命题的否定.
【详解】由全称命题的否定可知,命题“,” 的否定为“,”,
故选:B.
【点睛】本题考查全称命题的否定,考查推理能力,属于基础题.
3.已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用补集的定义可求出,然后利用并集的定义可得出集合.
【详解】,且,,
,.
故选:A.
【点睛】本题考查补集与并集的混合运算,利用补集和并集的定义进行计算是解题的关键,考查计算能力,属于基础题.
4. “黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”的后一句中,“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据返回家乡的前提条件是攻破楼兰,即可判断出结果.
【详解】“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.
5.函数定义域为( )
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶次根式中被开方数非负列出不等式,解出即可得出该函数的定义域.
【详解】由题意可得,即,解得.
因此,函数定义域为.
故选:A.
【点睛】本题考查函数定义域的求解,解题时要熟悉一些求函数定义域的基本原则,考查运算求解能力,属于基础题.
6.已知,则取最大值时的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析:由,利用基本不等式可得结果.
详解:∵,
∴,当且仅当时取等号.
∴取最大值时的值为.
故选.
点睛:本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).
7.下列函数中,有相同图象的一组是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】
求出各选项中两个函数的定义域,并将解析式化简,结合定义域和解析式判断两个函数是否相等,可得出正确选项.
【详解】对于A选项,两个函数的定义域为,由于,两个函数的解析式不相同,则这两个函数不相等,A选项中的两个函数图象不相同;
对于B选项,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不相同,B选项中的两个函数图象不相同;
对于C选项,两个函数的定义域均为,且,两个函数相等,C选项中的两个函数图象相同;
对于D选项,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不相等,D选项中的两个函数图象不相同.
故选:C.
【点睛】本题考查函数相等的判断,一般利用定义域和解析式是否相同进行判断,考查推理能力,属于基础题.
8.已知,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式的性质得出,,然后利同向不等式的可加性求出的取值范围.
【详解】,,,由不等式的性质可得,
因此,的取值范围为.
故选:B.
【点睛】本题考查不等式取值范围的计算,充分利用不等式的性质进行计算是解题的关键,考查计算能力,属于基础题.
9.若不等式解集为,不等式解集为,不等式解集为,那么值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解出题中的两个不等式,可得出集合、,利用交集的定义得出集合,可得出方程的两根,利用韦达定理可求出实数、的值,即可得出的值.
【详解】解不等式得,则.
解不等式得,则,.
所以,程的两根分别为和,由韦达定理得,解得,
因此,.
故选:A.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,同时也考查了交集的运算以及由一元二次不等式的解求参数,考查运算求解能力,属于基础题.
10. 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】由已知可得,则,所以的最小值,应选答案C.
11.若二次函数,且,那么的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的解析式,由内到外逐层计算,可得出关于的方程,解出实数的值,但要注意.
【详解】函数为二次函数,则,则,
,,,.
故选:C.
【点睛】本题考查利用函数值求参数,在涉及多层函数值的计算时,应遵循由内到外的原则进行计算,考查计算能力,属于基础题.
12.在上定义运算:,若不等式对恒成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题中定义得出不等式对恒成立,可得出,解出实数取值范围,即可得出实数的最大值.
【详解】由题中定义可得,
由题意知,不等式对恒成立,
则,即,解得,
因此,实数的最大值为.
故选:D.
【点睛】本题考查利用二次不等式恒成立求参数,同时也涉及了新定义运算,考查运算求解能力,属于中等题.
二、填空题(把答案填在答题卡中对应位置横线上。本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.若集合,,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
解出集合、,利用交集的定义可求出集合.
【详解】解不等式,即,解得,.
解不等式,即,解得,.
因此,.
故答案为:.
【点睛】本题考查交集的计算,同时也考查了绝对值不等式的解法和函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.
14.函数的最小值为_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意可得,变形可得,由基本不等式可得.
【详解】
,
当且仅当,即时,等号成立,
故答案是:
【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题,在解题的过程中,注意对式子进行正确的变形,注意一正二定三相等的条件.
15.已知定义域为,则定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由,得出,然后解不等式即可得出函数的定义域.
【详解】由于函数的定义域为,即,得,
对于函数,则,解得.
因此,函数的定义域为.
故答案为:.
【点睛】本题考查抽象函数定义域的计算,解题要注意定义域为自变量的取值范围,以及中间变量的取值范围一致,由此列不等式求解,考查运算求解能力,属于基础题.
16.已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为 .
【答案】9.
【解析】
∵f(x)=x2+ax+b的值域为[0,+∞),∴Δ=0,
∴b-=0,∴f(x)=x2+ax+a2=2.
又∵f(x)<c的解集为(m,m+6),
∴m,m+6是方程x2+ax+-c=0的两根.由一元二次方程根与系数的关系得
解得c=9.
三、解答题 (本大题共6小题,解答应写出相应的文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知集合,,且,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
解出集合,然后分和两种情况讨论,结合得出关于实数的不等式组,解出即可得出实数的取值范围.
【详解】.
当时,则,,此时成立;
当时,则,得.
,,解得,此时
综上所述,实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围,同时也涉及了一元二次不等式的解法,解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.
18.已知集合.
(1)若,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题分析:(1)把a=1代入绝对值不等式|x-a|<4求出解集,再求解|x-2|>3的解集,再求出A∩B;(2)先求解|x-a|<4得出集合A,再由A∪B=R画出数轴,由图列出关于a的不等式,注意等号是否取到,求出a范围.
试题解析:
由题,或
(1)当时,,于是.
(2)若,则用数轴表示如下:
,即,所以.
故的取值范围为.
19.已知关于的方程.
(1)求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程两根分别为和,且满足,求的值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)计算出,并配方,由可证明出该方程恒有两根;
(2)列出韦达定理,可得出,代入韦达定理可得出关于的等式,解出即可.
详解】(1),
所以,不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)由韦达定理得,
,解得.
【点睛】本题考查一元二次方程根的个数的判断,同时也考查了利用韦达定理求参数,考查计算能力,属于基础题.
20.已知函数.
(1)求的值;
(2)当时,求的值域.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)求出的取值范围,再结合函数的解析式,可计算出;
(2)分别求出函数在、、时的值域,取并集即可得出函数在区间上的值域.
【详解】(1),
当时,,所以;
(2)①当时,,所以;
②当时,;
③当时,,此时,所以.
综上所述,当时,函数的值域是.
【点睛】本题考查分段函数值的计算,同时也考查了分段函数值域的计算,解题时要对自变量的取值进行分类讨论,并选择合适的解析式进行计算,考查计算能力,属于基础题.
21.若二次函数(,,)满足,且.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析: (1)由,求出,根据,通过系数相等,从而求出的值,得到的解析式;
(2)问题转化为,使不等式成立,令,求出的最大值即可.
试题解析:(1)由,得,∴,
又,
∴,
即,
∴∴∴.
(2)等价于,
即在上恒成立,
令,,∴.
考点:二次函数的性质,函数恒成立问题
22.设.
(1)若不等式对一切实数恒成立,求实数取值范围;
(2)解关于的不等式(R).
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立,利用二次函数的性质,即可求解,得到答案.
(2)不等式化为
,根据一元二次不等式的解法,分类讨论,即可求解.
【详解】(1)由题意,不等式对于一切实数恒成立,等价于对于一切实数恒成立.
当时,不等式可化为,不满足题意;
当时,满足,即,解得.
(2)不等式等价于.
当时,不等式可化为,所以不等式的解集为;
当时,不等式可化,此时,
所以不等式的解集为;
当时,不等式可化为,
①当时,,不等式的解集为;
②当时,,不等式的解集为;
③当时,,不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题,以及含参数的一元二次不等式的解法,其中解答中熟记一元二次不等式的解法,以及一元二次方程的性质是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.