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- 2021-07-01 发布
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一、选择题
1.平面α∥平面β,直线l∥α,则( )
A.l∥β B.l⊂β
C.l∥β或l⊂β D.l,β相交
[答案] C
[解析] 假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,又l∥α,则假设不成立,则l∥β或l⊂β.
2.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A.4条 B.6条
C.8条 D.12条
[答案] D
[解析] 如图,在A1A和四边形BB1D1D之间的四条棱的中点F、E、G、H组成的平面中,有EF、FG、GH、HE、EG、HF共6条直线与平面BB1D1D平行,另一侧还有6条,共12条.故选D.
3.有一正方体木块如图所示,点P在平面A′C′内,棱BC平行于平面A′C′,要经过P和棱BC将木料锯开,锯开的面必须平整,有N种锯法,则N为( )
A.0 B.1
C.2 D.无数
[答案] B
[解析] ∵BC∥平面A′C′,∴BC∥B′C′,在平面A′C′上过P作EF∥B′C′,则EF∥BC,∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可.又由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选B.
4.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是( )
A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥b
B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥β
C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
[答案] D
[解析] 选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b
可能平行也可能相交,故A不正确;
选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;
选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;
选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.
5.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A、B分别在平面α,β内运动时,所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.无论点A,B如何移动都共面
[答案] D
6.已知两条直线m,n两个平面α,β,给出下面四个命题:
①α∩β=m,n⊂α⇒m∥n或者m,n相交;
②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;
④α∩β=m,m∥n⇒n∥β且n∥α.
其中正确命题的序号是( )
A.① B.①④
C.④ D.③④
[答案] A
7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是AC1、CB1的中点,P是C1B1的中点,则与平面PEF平行的三棱柱的棱的条数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] C
8.平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α、β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α、β之间.若AB=2,AC=1,∠BAC=60°,OAOA′=32,则△A′B′C′的面积为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图∵α∥β,
∴BC∥B′C′,AB∥A′B′,AC∥A′C′,∴△ABC∽△A′B′C′,
且由==知相似比为,
又由AB=2,AC=1,∠BAC=60°,知S△ABC=AB·CD=AB·(AC·sin60°)=,∴S△A′B′C′=.
二、填空题
9.如右图所示,平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是________.
[答案] 平行四边形
[解析] ∵平面AC∥α,平面AA1B1B∩α=A1B1,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,∴AB∥A1B1,同理可证CD∥C1D1,又A1B1∥C1D1,∴AB∥CD,同理可证AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
10.(2012-2013·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.
[答案] 平行四边形
[解析] ∵平面ABFE∥平面CDHG,
又平面EFGH∩平面ABFE=EF,
平面EFGH∩平面CDHG=HG,
∴EF∥HG.
同理EH∥FG,
∴四边形EFGH的形状是平行四边形.
11.已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.
(1)若点S在平面α,β之间,则SC=________;
(2)若点S不在平面α,β之间,则SC=________.
[答案] (1)16 (2)272
[解析] (1)如图a所示,因为AB∩CD=S,所以AB,CD确定一个平面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.
因为α∥β,所以AC∥BD.于是=,即=.
所以SC===16.
(2)如图b所示,同理知AC∥BD,则=,
即=,解得SC=272.
12.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F.已知AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB、BC、EF的长分别为______、______、______.
[答案] cm cm 15cm
[解析] 容易证明=(1)
=(2)
由(1)得=,∴EF=15,∴DF=DE+EF=20,
代入(2)得,=,∴AB=,
∴BC=AC-AB=15-=,
∴AB、BC、EF的长分别为cm,cm,15cm.
三、解答题
13.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若=,求的值.
[分析] 由面面平行可得线线平行,再由等角定理可得对应角相等,从而三角形相似,利用相似三角形的比例关系找到面积比.
[解析] ∵平面α∥平面ABC,
平面PAB∩平面α=A′B′,
平面PAB∩平面ABC=AB,
∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC,A′C′∥AC.
∴∠B′A′C′=∠BAC,∠A′B′C′=∠ABC,∠A′C′B′=∠ACB,
∴△A′B′C′∽△ABC.
又∵PA′:A′A=2:3,∴PA′:PA=2:5.
∴A′B′:AB=2:5.
∴S△A′B′C′S△ABC=425,即=.
14.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD,AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.
[证明] 因为F为AB的中点,
CD=2,AB=4,AB∥CD,
所以CD綊AF,
因此四边形AFCD为平行四边形,
所以AD∥FC.
又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,
FC⊂平面FCC1,CC1⊂平面FCC1,
AD∩DD1=D,AD⊂平面ADD1A1,
DD1⊂平面ADD1A1,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1⊂平面ADD1A1,
EE1⊄平面FCC1,
所以EE1∥平面FCC1.
15.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
[解析] 如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ∥AE.
∵EC=2FB=2,∴PE綊BF,
∴四边形BFEP为平行四边形,
∴PB∥EF.
又AE,EF⊂平面AEF,PQ,PB⊄平面AEF,
∴PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.
又PQ∩PB=P,∴平面PBQ∥平面AEF.
又BQ⊂平面PBQ,
∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M,即点M为AC的中点时,BM∥平面AEF.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E、F分别为PC、PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
[解析] 取AD、BC的中点G、H,连接FG、HE.
∵F、G为DP、DA的中点,∴FG∥PA.
∵FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴FG∥平面PAB.
∵AB∥CD,EF∥CD,∴EF∥AB.
而EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.
∵EF∩FG=F,∴平面EFG∥平面PAB.
又GH∥CD,∴GH∥EF.∴平面EFG即平面EFGH.
∴平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD,
∴点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD).
∴点Q∈GH.∴点Q在底面ABCD的中位线GH上.