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  • 2021-07-01 发布

吉林省实验中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学(文)试题

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www.ks5u.com 吉林省实验中学2018---2019学年度下学期 高一年级数学(文科)学科期末考试试题 ‎ ‎ 第Ⅰ卷(满分60分)‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) ‎ ‎1.若直线经过两点,则直线的倾斜角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用斜率公式求出直线,根据斜率值求出直线倾斜角.‎ ‎【详解】直线的斜率为,因此,直线的倾斜角为,故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解,考查直线斜率公式的应用,考查计算能力,属于基础题。‎ ‎2.在等差数列中,,则( )‎ A. 5 B. 8 C. 10 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:设等差数列的公差为,由题设知,,所以,‎ 所以,‎ 故选B.‎ 考点:等差数列通项公式.‎ ‎3.圆和圆的公切线条数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两圆的位置关系,根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.‎ ‎【详解】圆的标准方程为,圆心坐标为,半径长为.‎ 圆的标准方程为,圆心坐标为,半径长为.‎ 圆心距为,由于,即,‎ 所以,两圆相交,公切线的条数为,故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查两圆公切线的条数,本质上就是判断两圆的位置关系,公切线条数与两圆位置的关系如下:‎ ‎①两圆相离条公切线;②两圆外切条公切线;③两圆相交条公切线;‎ ‎④两圆内切条公切线;⑤两圆内含没有公切线.‎ ‎4.若圆锥的高扩大为原来的3倍,底面半径缩短为原来的,则圆锥的体积( )‎ A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设原来的圆锥底面半径为,高为,可得出变化后的圆锥的底面半径为,高为,利用圆锥的体积公式可得出结果.‎ ‎【详解】设原来的圆锥底面半径为,高为,该圆锥的体积为,‎ 变化后的圆锥底面半径为,高为,‎ 该圆锥的体积为,变化后的圆锥的体积缩小到原来的,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥体积的计算,考查变化后的圆锥体积的变化,解题关键就是圆锥体积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为( )‎ A. 48 B. 64‎ C. 80 D. 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三视图复原的几何体是正四棱锥,根据三视图的数据,求出几何体的侧面积即可.‎ ‎【详解】解:三视图复原的几何体是正四棱锥,它的底面边长为:8cm,斜高为:5cm,‎ 所以正三棱柱的侧面积为:80 cm2‎ 故选:C.‎ 点睛】本题是基础题,考查三视图复原几何体的形状的判断,几何体的侧面积的求法,考查计算能力,空间想象能力.‎ ‎6.若函数在处取最小值,则等于( )‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的解析式配凑为 ‎,再利用基本不等式求出该函数的最小值,利用等号成立得出相应的值,可得出的值.‎ ‎【详解】当时,,则 ‎ ,‎ 当且仅当时,即当时,等号成立,因此,,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件,利用基本不等式要对代数式进行配凑,注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎7.下列命题中,表示两条不同的直线,、、表示三个不同的平面. ‎ ‎①若,,则; ②若,,则; ‎ ‎③若,,则; ④若,,,则. ‎ 正确的命题是(   )‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于①,由线面垂直判定定理知,直线m与平面内的任意一条直线垂直,由知,存在直线内,使,所以,故①正确;对于②,平面与平面可能相交,比如墙角的三个平面,故②错误;对于③,直线m与n可能相交,可能平行,可能异面,故错误;对于④,由面面平行的性质定理有 ,正确。故正确命题为①④,选C.‎ ‎8.在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 (  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用,得出异面直线与所成的角为,然后在中利用锐角三角函数求出.‎ ‎【详解】如下图所示,设正方体的棱长为,‎ 四边形为正方形,所以,,‎ 所以,异面直线与所成的角为,‎ 在正方体中,平面,平面,,‎ ‎,,,‎ 在中,,,‎ 因此,异面直线与所成角的余弦值为,故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,一般利用平移直线,选择合适的三角形,利用锐角三角函数或余弦定理求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题。‎ ‎9.在公比为整数的等比数列中,是数列的前项和,若,,则下列说法错误的是( )‎ A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的公比为整数,得到,再由等比数列的性质得出,可求出、的值,于此得出和的值,进而可对四个选项进行验证.‎ ‎【详解】由等比数列的公比为整数,得到,‎ 由等比数列的性质得出,解得,即,解得,‎ ‎,则,数列是等比数列.‎ ‎,,‎ 所以,数列是以为公差的等差数列,A、B、C选项正确,D选项错误,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本性质的应用,考查等比数列求和以及等比数列的定义,充分利用等比数列下标相关的性质,将项的积进行转化,能起到简化计算的作用,考查计算能力,属于中等题。‎ ‎10.若,且,恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与相乘,展开式利用基本不等式求出的最小值 ‎,将问题转化为解不等式,解出即可.‎ ‎【详解】由基本不等式得,‎ 当且仅当,即当时,等号成立,所以,的最小值为.‎ 由题意可得,即,解得.‎ 因此,实数的取值范围是,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法,对于不等式恒成立问题,常转化为最值来处理,考查计算能力,属于中等题。‎ ‎11.已知点,点是圆上任意一点,则面积的最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的方程,计算出圆心到直线的距离,可知的最大高度为,并计算出,最后利用三角形的面积公式可得出结果.‎ ‎【详解】直线的方程,且,‎ 圆的圆心坐标为,半径长为,‎ 圆心到直线的距离为,‎ 所以,点到直线距离的最大值为,‎ 因此,面积的最大值为,故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积的最值问题,考查圆的几何性质,当直线与圆相离时,若圆的半径为,圆心到直线的距离为,则圆上一点到直线距离的最大值为 ‎,距离的最小值为,要熟悉相关结论的应用.‎ ‎12.在直角坐标平面上,点的坐标满足方程,点的坐标满足方程则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点的坐标满足方程,可得在圆上,由坐标满足方程,可得在圆上,则求出两圆内公切线的斜率,利用数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 点的坐标满足方程,‎ 在圆上,‎ 在坐标满足方程,‎ 在圆上,‎ 则作出两圆的图象如图,‎ 设两圆内公切线为与,‎ 由图可知,‎ 设两圆内公切线方程为,‎ 则,‎ 圆心在内公切线两侧,,‎ 可得,,‎ 化为,,‎ 即,‎ ‎,‎ 的取值范围,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用,属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.‎ 第Ⅱ卷(满分90分)‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分)‎ ‎13.已知满足约束条件,则的最大值为__________.‎ ‎【答案】57‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域,平移直线,观察直线在轴的截距取最大值时的最优解,再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:‎ 平移直线,当直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距取最大值,此时,取最大值,即,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时,找最优解求解,考查数形结合数学思想,属于中等题。‎ ‎14.圆的一条经过点的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,设为,设过点圆的切线为,分析可得在圆上,求出直线 的斜率,分析可得直线的斜率,由直线的点斜式方程计算可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,设为,设过点圆的切线为,‎ 圆的方程为,则点在圆上,‎ 则,‎ 则直线的斜率,则直线的方程为,变形可得,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查圆的切线方程,注意分析点与圆的位置关系.‎ ‎15.已知数列的前项和为,,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用时,求出的值,再令,由得出,两式相减可求出数列的通项公式,再将的表达式代入,可得出.‎ ‎【详解】当时,则有,;‎ 当时,由得出,‎ 上述两式相减得,,得且,‎ 所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,则,,‎ 那么,因此,,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和与通项之间的关系,同时也考查了等比数列求和,一般在涉及与的递推关系求通项时,常用作差法来求解,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎16.在三棱锥中,平面,是边长为2的正三角形,‎ ‎,则三棱锥的外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设三棱锥的外接球半径为,利用正弦定理求出的外接圆半径,再利用公式可计算出外接球半径,最后利用球体的表面积公式可计算出结果.‎ ‎【详解】由正弦定理可得,的外接圆直径为,,‎ 设三棱锥的外接球半径为,平面,,‎ 因此,三棱锥的外接球表面积为,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查多面体的外接球,考查球体表面积的计算,在求解直棱柱后直棱锥的外接球,若底面外接圆半径为,高为,可利用公式得出外接球的半径,解题时要熟悉这些结论的应用.‎ 三、解答题:(本大题共6小题,其中17小题10分,18-22小题每小题12分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知直线和.‎ ‎(1)若,求实数的值;‎ ‎(2)若,求实数的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)借助两直线垂直的充要条件建立方程求解;(2)借助两直线平行充要条件建立方程求解.‎ ‎【详解】(1)若,则.‎ ‎(2)若,则或2.‎ 经检验,时,与重合,时,符合条件,∴.‎ ‎【点晴】解析几何是运用代数的方法和知识解决几何问题一门学科,是数形结合的典范,也是高中数学的重要内容和高考的热点内容.解答本题时充分运用和借助题设条件中的垂直和平行条件,建立了含参数的直线的方程,然后再运用已知条件进行分析求解,从而将问题进行转化和化归,进而使问题获解.如本题的第一问中求参数的值时,是直接运用垂直的充要条件建立方程,这是方程思想的运用;再如第二问中求参数的值时也是运用了两直线平行的条件,但要注意的是这个条件不是两直线平行的充要条件,所以一定代回进行检验,这也是学生经常会出现错误的地方.‎ ‎18.(1)已知圆经过和两点,若圆心在直线上,求圆的方程;‎ ‎(2)求过点、和的圆的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由直线AB的斜率,中点坐标,写出线段AB中垂线的直线方程,与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标,再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径,根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可;‎ ‎(2)设圆的方程为,代入题中三点坐标,列方程组求解即可 ‎【详解】(1)由点和点可得,线段的中垂线方程为.‎ ‎∵ 圆经过和两点,圆心在直线上,‎ ‎∴ ,解得,即所求圆的圆心,‎ ‎∴ 半径,所求圆的方程为; ‎ ‎(2)设圆的方程为,‎ ‎∵ 圆过点、和,‎ ‎∴ 列方程组得 解得,‎ ‎∴ 圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的方程求解,考查了待定系数法及运算能力,属于中档题.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,平面,底面是棱长为的菱形,,,是的中点.‎ ‎(1)求证://平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接交于点,则为的中点,由中位线的性质得出,再利用直线与平面平行的判定定理得出平面;‎ ‎(2)取的中点,连接,由中位线的性质得到,且,可得出平面,于此得出直线与平面所成的角为,然后在中计算即可.‎ ‎【详解】(1) 连接,交于点,连接,由底面是菱形,知是的中点,又是的中点,∴ .‎ ‎ 又∵平面,平面,∴平面;‎ ‎(2)取中点,连接,‎ ‎∵分别为的中点,∴,‎ ‎∵平面,∴平面,‎ ‎∴直线与平面所成角为,‎ ‎∵,,∴.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面所成角的计算,在计算直线与平面所成角时,要注意过点作平面的垂线,构造出直线与平面所成的角,再选择合适的直角三角形求解,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中等题。‎ ‎20.设正项等比数列且的等差中项为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,数列的前n项为,数列满足,为数列的前项和,求.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用已知条件列出方程,求出首项与公比,然后求解通项公式.‎ ‎(2)化简数列的通项公式,利用裂项相消法求解数列的和即可.‎ ‎【详解】(1)设等比数列的公比为,‎ 由题意,得,解得,‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)得,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎21.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3 000+50x(单位:元).‎ ‎(1)求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.‎ ‎(2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用最小值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)‎ ‎【答案】(1);(2)该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用最小值为5 000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用函数 ‎,再应基本不等式求其最小值及取得极小值时:‎ 解:设楼房每平方米的平均综合费用,,当且仅当时,等号取到.所以,当时,最小值为5000元.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知,,动点满足,设动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程,并说明曲线是什么图形;‎ ‎(2)过点的直线与曲线交于两点,若,求直线的方程;‎ ‎(3)设是直线上的点,过点作曲线的切线,切点为,设,求证:过三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.‎ ‎【答案】(1)动点的轨迹方程为,曲线是以为圆心,2为半径的圆(2)的方程为或.(3)证明见解析,所有定点的坐标为,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用两点间的距离公式并结合条件,化简得出曲线的方程,根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状;‎ ‎(2)根据几何法计算出圆心到直线的距离,对直线分两种情况讨论,一是斜率不存在,一是斜率存在,结合圆心到直线的距离求出直线的斜率,于此得出直线的方程;‎ ‎(3)设点的坐标为,根据切线的性质得出,从而可得出过、、三点的圆的方程,整理得出,然后利用 ‎,解出方程组可得出所过定点的坐标.‎ ‎【详解】(1)由题意得,化简可得:,‎ 所以动点的轨迹方程为.‎ 曲线是以为圆心,为半径的圆;‎ ‎(2)①当直线斜率不存在时,,不成立;‎ ‎②当直线的斜率存在时,设,即,‎ 圆心到的距离为 ∵ ‎ ‎∴, 即,解得或,‎ ‎∴的方程为或;‎ ‎(3)证明:∵在直线上,则设 ‎∵为曲线的圆心,由圆的切线的性质可得,‎ ‎∴经过的三点的圆是以为直径的圆,‎ 则方程为,‎ 整理可得,‎ 令,且,‎ 解得或 则有经过三点圆必过定点,所有定点的坐标为,.‎ ‎【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法,考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题,解决圆所过定点问题,关键是要将圆的方程求出来,对带参数的部分提公因式,转化为方程组求公共解问题。‎ ‎ ‎

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