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- 2021-07-01 发布
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§12.1 坐标系与参数方程
第1课时 坐标系
最新考纲
考情考向分析
1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
会求伸缩变换,求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点,主要与参数方程相结合进行考查,以解答题的形式考查,难度中档.
1.平面直角坐标系
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点,射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(
如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径ρ=0,极角θ可取任意角.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面关系式成立:
或,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin θ(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R) 或θ=π+α(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos θ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin θ=a(0<θ<π)
概念方法微思考
1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗?
提示 不能,极径需和极角结合才能唯一确定一个点.
2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗?
提示 平面上的点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.( √ )
(2)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ )
(3)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × )
题组二 教材改编
2.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤
B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
答案 A
解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),
∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1);
∴ρ=.
3.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B. C.(1,0) D.(1,π)
答案 B
解析 方法一 由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.
方法二 由ρ=-2sin θ=2cos,知圆心的极坐标为,故选B.
题组三 易错自纠
4.在极坐标系中,已知点P,则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A.ρsin θ=1 B.ρsin θ=
C.ρcos θ=1 D.ρcos θ=
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示,P转化为直角坐标为x=ρcos θ=2cos =,y=ρsin θ=2sin =1,即(,1),过点(,1)且平行于x轴的直线为y=1,再化为极坐标为ρsin θ=1.
5.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为 .
答案 x2+y2-2y=0
解析 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
6.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时,求a的值.
解 由ρ=4sin θ可得圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,
即x2+(y-2)2=4.
由ρsin θ=a可得直线的直角坐标方程为y=a(a>0).
设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A,B与O构成等边三角形,如图所示.
由对称性知∠O′OB=30°,OD=a.
在Rt△DOB中,易求DB=a,
∴B点的坐标为.
又∵B在x2+y2-4y=0上,∴2+a2-4a=0,
即a2-4a=0,解得a=0(舍去)或a=3.
所以a=3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1.(1)化圆的直角坐标方程x2+y2=r2(r>0)为极坐标方程;
(2)化曲线的极坐标方程ρ=8sin θ为直角坐标方程.
解 (1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2=r2(r>0),得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=r2,即ρ=r.
所以以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r(0≤θ<2π).
(2)方法一 把ρ=,sin θ=代入ρ=8sin θ,
得=8·,化简得x2+y2-8y=0,
即x2+(y-4)2=16.
方法二 方程ρ=8sin θ两边同时乘ρ,得ρ2=8ρsin θ,因为ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,所以x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16.
2.在极坐标系中,已知曲线C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0,C2:ρ=2cos θ.
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;
(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.
解 (1)∵C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0,
∴x-y-1=0表示一条直线.
由C2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,
∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.
∴C2是圆心为(1,0),半径为1的圆.
(2)由(1)知,点(1,0)在直线x-y-1=0上,
∴直线C1过圆C2的圆心.
因此两交点A,B的连线是圆C2的直径.
∴两交点A,B间的距离|AB|=2r=2.
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解决此类问题常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.
题型二 求曲线的极坐标方程
例1 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.
解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得
由x+y=1,得x2+2=1,
即曲线C的标准方程为x2+=1.
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率为k=,
于是所求直线的方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
故所求直线的极坐标方程为ρ=.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,直线l的参数方程为(t为参数),射线OM的极坐标方程为θ=.
(1)求圆C和直线l的极坐标方程;
(2)已知射线OM与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解 (1)∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,
∴ρ2+2ρcos θ-2ρsin θ=0,
∴圆C的极坐标方程为ρ=2sin.
又直线l的参数方程为(t为参数),
消去t后得y=x+1,
∴直线l的极坐标方程为sin θ-cos θ=.
(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,
∴点P的极坐标为,|OQ|==,
∴点Q的极坐标为,故线段PQ的长为.
题型三 极坐标方程的应用
例2 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的直角坐标方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;
(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.
解 (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,
则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+7=0,
由于直线C2过原点,且倾斜角为,
故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).
(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,
∴+===.
思维升华 极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴正半轴重合;③取相同的长度单位.
(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解 (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题意知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cos α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
1.在极坐标系中,已知圆C被直线θ=截得的弦长为,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解 由已知在直线ρsin=-中,
令θ=0,得ρ=1,
∴圆C的圆心的极坐标为C(1,0).
又圆C被直线θ=截得的弦长为,
∴圆心C到直线θ=的距离为d=1×sin=,
∴圆C的半径为r==1.
又圆C过坐标原点,
∴圆C的极坐标方程为=cos θ,即ρ=2cos θ.
2.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin=4,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解 (1)圆C的参数方程为(φ为参数),
消去参数可得圆C的普通方程为x2+(y-3)2=9.
(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sin θ,
设P(ρ1,θ1),则由解得ρ1=3,θ1=,
设Q(ρ2,θ2),则由
解得ρ2=4,θ2=,∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1.
3.已知直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcos θ+2ρsin θ-4.
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|OA|·|OB|的值.
解 (1)∵直线l的参数方程为(t为参数),
∴直线l的普通方程为y=+(x-1),
即y=x,∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),
又∵曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcos θ+2ρsin θ-4,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴x2+y2=4x+2y-4,即(x-2)2+(y-)2=3,
∴曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-)2=3.
(2)∵将直线l:θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2=4ρcos θ+2ρsin θ-4,得ρ2-5ρ+4=0,
设直线l与曲线C的两交点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),∴|OA|·|OB|=ρ1ρ2=4.
4.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中α为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O)
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.
解 (1)C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=16cos2α,
联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,
|OA|2+|OB|2=4+12cos2α,0<α<,
∴|OA|2+|OB|2∈(4,16).
5.在直角坐标系xOy中,直线l1:x=0,圆C:(x-1)2+(y-1-)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l1,C的极坐标方程;
(2)若直线l2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设l1,l2与C的公共点分别为A,B,求△OAB的面积.
解 (1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴l1的极坐标方程为ρcos θ=0,即θ=(ρ∈R),
C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0,
得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ1=1+.
将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0,
得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ2=1+,
故△OAB的面积为×(1+)2×sin =1+.
6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M对应的参数φ=,射线θ=与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程;
(2)若点A,B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB,求+的值.
解 (1)将M及对应的参数φ=,
代入得即
所以曲线C1的方程为φ为参数,
所以曲线C1的直角坐标方程为+y2=1.
设圆C2的半径为R,由题意,圆C2的极坐标方程为ρ=2Rcos θ(或(x-R)2+y2=R2),
将点D代入ρ=2Rcos θ,得1=2Rcos ,
即R=1,
所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ,
所以曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设A(ρ1,θ),B在曲线C1上,
所以+ρsin2θ=1,+ρcos2θ=1,
所以+=+=+=.