高中数学必修1课时练习及详解第3章3_2_2知能优化训练 4页

‎ ‎ ‎1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　)‎ A．一次函数　　　　　　　　 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；‎ 二次函数在对称轴的两侧有增也有降；‎ 而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；‎ 因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．‎ ‎2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎…‎ 则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(　　)‎ A．y＝2x－1 B．y＝x2－1‎ C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2‎ 解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.‎ ‎3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：‎ ‎①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；‎ ‎②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；‎ ‎③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．‎ 其中正确信息的序号是(　　)‎ A．①②③　　　　　　　　　 B．①③‎ C．②③ D．①②‎ 解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．‎ ‎4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x＝________，面积S＝________.‎ 解析：依题意得：S＝(4＋x)(3－)＝－x2＋x＋12‎ ‎＝－(x－1)2＋12，∴当x＝1时，Smax＝12.‎ 答案：1　12 ‎1．今有一组数据，如表所示：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎3‎ ‎5‎ ‎6.99‎ ‎9.01‎ ‎11‎ 则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是(　　)‎ A．指数函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．‎ ‎2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　)‎ A．14400亩 B．172800亩 C．17280亩 D．20736亩 解析：选C.y＝10000×(1＋20%)3＝17280.‎ ‎3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是(　　)‎ A．增加7.84% B．减少7.84%‎ C．减少9.5% D．不增不减 解析：选B.设该商品原价为a，‎ 四年后价格为a(1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a.‎ 所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，‎ 即比原来减少了7.84%.‎ ‎4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)‎ A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)‎ B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)‎ C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)‎ D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)‎ 解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，‎ 则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8‎ ‎＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．‎ ‎5．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的(　　)‎ 解析：选C.设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.‎ ‎6．小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是(　　)‎ A．20 g B．25 g C．35 g D．40 g 解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm的蜥蜴的体重为W20，因此有W20＝W15·≈35.6(g)，合理的答案为35 g．故选C.‎ ‎7．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x ‎－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．‎ 解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．‎ 答案：甲 ‎8．一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，弹簧伸长________．‎ 解析：由＝，得x＝30.‎ 答案：30 cm ‎9．某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：‎ ‎①前3年总产量增长速度越来越快；‎ ‎②前3年中总产量增长速度越来越慢；‎ ‎③第3年后，这种产品停止生产；‎ ‎④第3年后，这种产品年产量保持不变．‎ 以上说法中正确的是________．‎ 解析：观察图中单位时间内产品产量y变化量快慢可知①④.‎ 答案：①④‎ 10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．‎ ‎(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；‎ ‎(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？‎ 解：(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，‎ 得解得 所以，y＝－x＋1000(500≤x≤800)．‎ ‎(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，‎ 成本总价＝成本单价×销售量＝500y，‎ 代入求毛利润的公式，得 S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)‎ ‎＝－x2＋1500x－500000‎ ‎＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．‎ 所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．‎ ‎11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，‎ 经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·()，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．‎ 现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？‎ 解：由题意知40－24＝(88－24)·()，‎ 即＝().‎ 解之，得h＝10.‎ 故T－24＝(88－24)·().‎ 当T＝35时，代入上式，得 ‎35－24＝(88－24)·()，‎ 即()＝.‎ 两边取对数，用计算器求得t≈25.‎ 因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.‎ ‎12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.‎ ‎(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．‎ ‎(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？‎ 解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 ‎200＋200×5%＝200(1＋5%)；‎ 经过2年后为200(1＋5%)2；‎ ‎　…‎ 经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，‎ ‎∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．‎ ‎(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示．‎ 作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．‎ 因为8